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充要条件
教学目标:
(4)在充要条件的教学中,培养等价转化思想.
教学重点难点:
关于充要条件的判断
教学用具:
幻灯机或实物投影仪
教学过程设计
1.复习引入
练习:
判断下列命题是真命题还是假命题(用幻灯投影):
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)全等三角形的面积相等;
(4)对角线互相垂直的四边形是菱形;
(5)若,则;
(6)若方程有两个不等的实数解,则.
(学生口答,教师板书.)
(1)、(3)、(6)是真命题,
(2)、(4)、(5)是假命题.
置疑:
对于命题“若,则”,有时是真命题,有时是假命题.如何判断其真假的?
答:
看能不能推出,如果能推出,则原命题是真命题,否则就是假命题.
对于命题“若,则”,如果由经过推理能推出,也就是说,如果成立,那么一定成立.换句话说,只要有条件就能充分地保证结论的成立,这时我们称条件是成立的充分条件,记作.
2.讲授新课
(板书充分条件的定义.)
一般地,如果已知,那么我们就说是成立的充分条件.
提问:
请用充分条件来叙述上述
(1)、(3)、(6)的条件与结论之间的关系.
(学生口答)
(1)“,”是“”成立的充分条件;
(2)“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件;
(3)“方程的有两个不等的实数解”是“”成立的充分条件.
从另一个角度看,如果成立,那么其逆否命题也成立,即如果没有,也就没有,亦即是成立的必须要有的条件,也就是必要条件.
(板书必要条件的定义.)
提出问题:
用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.
(学生口答).
(1)因为,所以是的充分条件,是的必要条件;
(2)因为,所以是的必要条件,是的充分条件;
(3)因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”,所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件,“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件;
(4)因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”,所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件,“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件;
(5)因为,所以是的必要条件,是的充分条件;
(6)因为“方程的有两个不等的实根”“”,而且“方程的有两个不等的实根”“”,所以“方程的有两个不等的实根”是“”充分条件,而且是必要条件.
总结:
如果是的充分条件,又是的必要条件,则称是的充分必要条件,简称充要条件,记作.
(板书充要条件的定义.)
3.巩固新课
例1
(用投影仪投影.)
B
A是B的什么条件
B是的什么条件
是有理数
是实数
、是奇数
是偶数
是4的倍数
是6的倍数
(学生活动,教师引导学生作出下面回答.)
①因为有理数一定是实数,但实数不一定是有理数,所以是的充分非必要条件,是的必要非充分条件;
②一定能推出,而不一定推出,所以是的充分非必要条件,是的必要非充分条件;
③、是奇数,那么一定是偶数;
是偶数,、不一定都是奇数(可能都为偶数),所以是的充分非必要条件,是的必要非充分条件;
④表示或,所以是成立的必要非充分条件;
⑤由交集的定义可知且是成立的充要条件;
⑥由知且,所以是成立的充分非必要条件;
⑦由知或,所以是,成立的必要非充分条件;
⑧易知“是4的倍数”是“是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件;
(通过对上述问题的交流、思辩,在争论中得到了正确答案,并加深了对充分条件、必要条件的认识.)
例2
已知是的充要条件,是的必要条件同时又是的充分条件,试与的关系.(投影)
解:
由已知得
,
所以是的充分条件,或是的必要条件.
4.小结回授
今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念,并学会了判断条件A是B的什么条件,这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础.
课内练习:
课本(人教版,试验修订本,第一册(上))第35页练习l、2;
第36页练习l、2.
(通过练习,检查学生掌握情况,有针对性的进行讲评.)
5.课外作业:
教材第36页
习题1.8
1、2、3.
关于《两个平面垂直的判定定理》说课
1教材结构与内容简析:
1.1本节内容在全书及章节的地位;
两平面垂直的判定定理出现在高中立几第一章最后一节,这之前学生已学习了空间两直线位置关系,空间直线和平面位置关系,特别是已学习了直线和平面垂直判定定理,二面角的平面角,这是学习本节内容的基础,而本节内容是第二章多面体、旋转体的学习基础,因此,本节的学习有着极其重要的地位。
1.2数学思想方法分析:
1.2.1从定理的证明过程,面面垂直可转化为线面垂直,就可以看到数学的化归,”降维”思想。
1.2.2在教材所提供的材料中,从建构手段角度分析,可以看到归纳思想,而这一思想中包含着重组的意识和能力。
2教学目标:
根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构及心理特征,制定如下教学目标:
2.1基础知识目标:
掌握平面与平面垂直的判定定理及其变
式,能利用它们解决相关的问题。
2.2能力训练目标:
逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力,会准确地阐述自己的思路和观点,着重培养学生的认知和元认知能力。
2.3创新素质目标:
引导学生从日常生活中发现判定定理,培养学生的发现意识和能力;
判定定理及变式的教学培养学生的重组意识和能力;
判定定理在现实生活中的应用培养学生的应用的意识和能力。
2.4个性品质目标:
培养学生勇于探索,善于发现,独立的意识,不断超越自我的创新品质。
3教学重点、难点、关键:
重点:
判定定理的证明及变式探索
难点:
判定定理的变式。
关键:
本节课通过判定定理的证明及变式探索,着重培养和发展学生的认知和元认知能力。
4教材处理
建构主义学习理论认为,建构即认知结构的组建,其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系,串成知识线,再由若干条知识线联构成知识面,最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。
本课时为何提出变式呢,应该说,这一处理方法正是基于此理论的体现。
其次,本节课处理过程力求达到解决如下问题:
知识是如何产生的?
如何发展?
又如何从实际问题抽象成数学问题,并赋予抽象的数学符号和表达式,如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系。
5教学模式
遵循教学过程是教师活动和学生活动的十分复杂的动态性总体,是教师和每一个学生积极参与下进行集体认识的过程,教为主导,学为主体,又互为客体,启动学生主动学习,启发引导学生实践思维过程,自得知识,自觅规律,自悟原理,主动发展思维和能力。
6学法
6.1让学生在认知过程中,着重掌握元认知过程:
6.2使学生把独立思考与多向交流相结合。
7教学程序及设想环节教学程序及设计设计意图7.1设置问题,创设情景1.提出问题:
教室两相邻墙面与地面位置关系如何?
在日常生活中,你是如何验证两平面垂直的实际问题。
2.(在学生讨论基础上,教师引导)建筑工人在砌墙过程中,为了验证墙面与地面是否垂直,常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直1.把教材内容转化为具有潜在意义的问题,让学生产生强烈的问题意识,使学生的整个学习过程成为”猜想”,惊讶,困感,感到棘手;
紧张地沉思,期待寻找理由和证明的过程。
2.我们知道,学习总与一定知识背景即情景相联系,在实际情境下进行学习,可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前学习的新知识,这样获取的知识,不但便于保持,而且易于迁移到陌生的问题情境中。
7.2提供实际背景材料,形成假说1.在实际生活中,建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直,即若紧贴墙面的铅锤的线,如垂直地面,则确定墙面与地面垂直,否则不垂直。
2.紧贴墙面的线?
这句话的实质意义是什么?
(学生讨论,期望回答:
即此线在墙所在平面)3.由此实际问题如何抽象为数学问题呢?
(学生交流讨论,期望回答:
若平面过另一平面的垂线,则平面垂直)1.教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上(即思维的最邻近发展)通过问题引领,来促成学生形成面面垂直的判定定理。
2.通过学生交流讨论,把实际问题抽象成数学问题,并赋予抽象的数学符号和表达方式。
7.3引导探索,寻找解决方案1.如何证明上述假说呢?
从已学过知识可知,只能从定义出发。
2.定义的实质是什么呢?
即证明两平面垂直的根据是什么?
期望回答:
即证二面角的平面是直角。
3.二面角的平面角如何做出呢?
在本假说中,如何做出二面角的平面角?
关键在哪里?
(学生交流)期望回答:
假说中已知平面的垂线故此垂线必垂直于两平面的交线,所以关键在于在已知平面做与公共棱垂直的直线。
尽可能地揭示出认知思想方法的全貌,使学生从整体上把握问题的解决方法。
7.4总结结论,强化认识经过引导,学生得出结论,教师强调此定理的含义促进学生数学思想方法的形成,引导学生确实掌握”降维”的思想方法7.5变式延伸,进行重构1.教师引导:
在此判定定理中已经知道,欲证两平面垂直,可以转化为证明直线与平面垂直进行解决。
下面继续研究,已知平面α.β,直线L考察面α,β的位置关系,引导学生利用模型演示进行观察。
命题1:
如果一个平面平行另一个平面的垂线则这两个平面垂直。
事实上此命题实质是判定定理中若平面不经过已知平面垂线时,我们给予加上此平面与垂线平行这一条件。
命题2:
如果一个平面与另一个平面的平行线垂直,则这两个平面垂直。
3.教师引导:
若问题中,只出现平面与平面位置关系时你是否能找出这样一个命题证明两平面垂直吗?
学生的演示模型命题3:
如果一个平面垂直于两个平行面中的一个平面则必垂直于另一个平面。
1.学生在教师引导下,在积累了已有探索经验的基础上进行讨论交流,相互评价,共同完成了面面垂直判定定理变式定义上的建构。
2.这一问题设计试图让学生不唯书敢于和善于质疑批判和超越书本和教师,这是创新素质的突出表现,让学生不满足于现状,执着的追求。
3.让学生对教学思想方法,及其应情境达到较为纯熟的认识,并将这种认识思维地贮存在大脑中,随时提取和应用。
7.6总结回授调整1.知识性内容:
证明两平面垂直的方法,常有判定定理,命题1,命题2,命题3。
2.对运用数学思想方法创新素质培养的小结:
a.要善于在实际生活中,发现问题,从而提练出相应的数学问题。
发现作为一种意识,可以解释为”探察问题的意识”;
发现作为一种能力,可以解释为”找到新东西”的能力,这是培养创造力的基本途径。
b.问题的解决,采用了化归降维等数学思想,体现了数学思想方法是解决问题的根本途径:
c.问题的变式探究的过程,是一个创新思维活动过程中一种多维整合过程。
重组知识的过程,是一种多维整合的过程,是一个高层次的知识综合过程,是对教材知识在更高水平上的概括和总结,有利于形成一个自我再生力强的开放的动态的知识系统,从而使得思维具有整体的功能,创新的能力。
1、知识性内容的总结,可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质。
2、运用数学方法,创新素质的小结能让学生更系统,更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用,并且逐渐培养学生的良好个性品质。
这是每堂课必不可少的一个重要环节。
7.7布置作业反馈命师1、命题2、命题3的探究过程,并整理证明过程
4.6两角和与差的正弦、余弦、正切(第一课时)
(一)教具准备
直尺、圆规、投影仪
(二)教学目标
1.掌握公式的推导,并能用赋值法,求出公式.
2.应用公式,求三角函数值.
(三)教学过程
1.设置情境
上一单元我们学习了同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系.本节开始讨论两个角的三角函数,已知任意角的三角函数值,如何求出,或的三角函数值,这一节课我们将研究、.
2.探索研究
(1)公式、推导.
请大家考虑,如果已知、,怎样求出?
是否成立.
生:
不成立,,等式就不成立.
师:
很好,把写成是想应用乘法对加法的分配律,可是是角的余弦值,并不是“”乘以,不能应用分配律.
事实上如果都是锐角,那么总有.
考虑两组数据
①,
这时,而
②,
从这组数据我们发现不能由、直接得出.师:
如果我们再算出,,试试看能否找到什么关系.
①,,,,
而
②,,,,
而
由
(1)、
(2)可得出,
这位同学用具体的例子得到的一个关系式:
只有通过严格的理论证明才行.下面给出证明:
为了证明它,首先给出两点间的距离,图1(也可以利用多媒体课件演示).考虑坐标平面内的任意两点,过点分别作轴的垂线,,与轴交于点,;
同理,
那么,,由勾股定理,由此得到平面内两点间的距离公式
(可以用课件演示)如右图2,在直角坐标系内作单位圆,并作出角、与请同学们把坐标系中,,,各点的坐标用三角函数表示出来.
,,,
线段与有什么关系?
为什么?
因为△≌△,所以.
请同学们用两点间的距离公式把表示出来并加以整理.
展开并整理,得
所以(记为)
这个公式对任意的,均成立,如果我们把公式中的都换成,又会得到什么?
即
(记为)
(2)例题分析
【例1】不查表,求及的值.
因为题目要求不查表,所以要想办法用特殊角计算,为此化成,化成,请同学们自己利用公式计算.
注:
拆角方法并不惟一.事实上,如果求出,那么,再者,也可写成,甚至等均可以.
【例2】已知,,,,求的值.
分析:
观察公式要算应先求出,.
由,得
又由,得
【例3】不查表,求下列各式的值:
(1);
(2);
(3).
解:
(1)
(2)
(3)
【例4】
证明公式:
(2)
证明:
(1)利用
可得
∴
(2)因为上式中为任意角,故可将换成,就得
练习(投影、学生板演)
(1)
(2)已知,,求
解答:
(1)逆用公式
(2)凑角:
∵,∴,故
.
说明:
请同学们很好体会一下,上述凑角的必然性和技巧性,并能主动尝试训练,以求熟练。
3.演练反馈
(1)的值是( )
A. B. C. D.
(2)等于( )
A.0 B. C. D.2
(3)已知锐角满足,,则为(
)
A. B. C.或 D.,
参考答案:
(1)B;
(2)B;
(3)A.
4.总结提炼
(1)牢记公式“”结构,不符合条件的要能通过诱导公式进行变形,使之符合公式结构,即创造条件用公式.
(2)在“给值求值”题型中,要能灵活处理已、未知关系,如已知角、的值,求,应视、分别为已知角,为未知角,并实现“”与“”及“”之间的沟通:
.
(3)利用特值代换证明,,体会的强大功能.
(四)板书设计
1.平面内两点间距离公式
2.两角和余弦公式及推导
例1
例2
例3
例4
练习反馈
总结提炼
一、知识结构
本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明.然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子.
二、重点难点分析
这一节的重点是集合的基本概念和表示方法,难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合.这一节的特点是概念多、符号多,正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键.为此,在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目,以帮助学生提高判断能力,加深理解集合的概念和表示方法.
1.关于牵头图和引言分析
章头图是一组跳伞队员编成的图案,引言给出了一个实际问题,其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题,必须用到集合和逻辑的知识,也就是把它数学化.一方面提高用数学的意识,一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础.
2.关于集合的概念分析
点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念,集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.
初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”;
初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等.在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有一个初步认识.教科书给出的“一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.”这句话,只是对集合概念的描述性说明.
我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念,从而阐明集合概念如同其他数学概念一样,不是人们凭空想象出来的,而是来自现实世界.
3.关于自然数集的分析
教科书中给出的常用数集的记法,是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意.
新的国家标准定义自然数集N含元素0,这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准,以便早日与之接轨,另一方面,0还是十进位数{0,1,2,…,9}中最小的数,有了0,减法运算仍属于自然数,其中.因此要注意几下几点:
(1)自然数集合与非负整数集合是相同的集合,也就是说自然数集包含0;
(2)自然数集内排除0的集,表示成或,其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集,也可类似表示,,;
(3)原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如
,
,…不再适用.
4.关于集合中的元素的三个特性分析
集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这一集合的元素是:
北京、上海、天津、重庆。
集合中的元素常用小写的拉丁字母
,…表示.如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作
;
否则,就说a不属于A,记作
要正确认识集合中元素的特性:
(l)确定性:
和
,二者必居其一.
集合中的元素必须是确定的.这就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如,给出集合{地球上的四大洋},它的元素是:
太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其他对象都不用于这个集合.如果说“由接近
的数组成的集合”,这里“接近
的数”是没有严格标准、比较模糊的概念,它不能构成集合.
(2)互异性:
若
,则
集合中的元素是互异的.这就是说,集合中的元素是不能重复的,集合中相同的元素只能算是一个.例如方程
有两个重根
,其解集只能记为{1},而不能记为{1,1}.
(3)无序性:
{a,b}和{b,a}表示同一个集合.
集合中的元素是不分顺序的.集合和点的坐标是不同的概念,在平面直角坐标系中,点(l,0)和点(0,l)表示不同的两个点,而集合{1,0}和{0,1}表示同一个集合.
5.要辩证理解集合和元素这两
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