高考数学一轮复习第1单元集合与常用逻辑用语测评理Word文档下载推荐.docx
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山东卷]已知命题p:
∀x>
0,ln(x+1)>
0;
命题q:
若a>
b,则a2>
b2.下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.p∧綈q
C.綈p∧qD.綈p∧綈q
11.[xx·
北京卷]能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>
b>
c,则a+b>
c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为 .
12.[xx·
山东卷]若“∀x∈,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为 .
题组二 模拟强化
13.[xx·
陕西师大附中模拟]命题“∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1”的否定是( )
A.∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1
B.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1
C.∀x∈(0,+∞),lnx=x-1
D.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1
14.[xx·
山东齐鲁名校协作体二模]已知集合A=x∈Z≤0,B={y|y=x2+1,x∈A},则集合B的子集的个数为( )
A.5B.8C.3D.2
15.[xx·
河南百校联盟模拟]已知集合A={x|2x2-7x+3<
0},B={x∈Z|lgx<
1},则图X1-1中阴影部分表示的集合的元素个数为( )
图X1-1
A.1B.2C.3D.4
16.[xx·
鹰潭二模]设全集U=R,集合A={y|y=x2-2},B={x|y=log2(3-x),则(∁UA)∩B=( )
A.{x|-2≤x<
3}B.{x|x≤-2}
C.{x|x<
-2}D.{x|x<
3}
17.[xx·
襄阳五中一模]“m<
0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
18.[xx·
郴州四模]设集合A={x∈Z|(x+1)(x-4)≤0},B={x|x≤a},若A⊆B,则a的值可以是( )
19.[xx·
呼和浩特一模]“sinα=cosα”是“cos2α=0”的( )
20.[xx·
江西重点中学盟校二模]下列命题中真命题的个数是( )
①若p∧q是假命题,则p,q都是假命题;
②命题“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R,-+1>
0”;
③若p:
x≤1,q:
<
1,则綈p是q的充分不必要条件;
④∃x0∈R,tanx0=xx.
21.[xx·
汕头潮南区模拟]已知命题p1:
∃a,b∈(0,+∞),当a+b=1时,+=4,命题p2:
函数y=ln是偶函数.则下列命题是真命题的是( )
A.p1∧p2B.p1∧綈p2
C.綈p1∨p2D.綈p1∧綈p2
22.[xx·
运城模拟]给定下列三个命题:
p1:
函数y=ax+x(a>
0且a≠1)在R上为增函数;
p2:
∃a,b∈R,a2-ab+b2<
p3:
cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β(k∈Z).
则下列命题中的真命题为( )
A.p1∨p2B.p2∧p3
C.p1∨綈p3D.綈p2∧p3
23.[xx·
西宁二模]在△ABC中,“内角A,B,C成等差数列”是“(b+a-c)(b-a+c)=ac”的 条件.
24.[xx·
合肥模拟]设命题p:
关于x的不等式ax>
1(a>
0且a≠1)的解集是{x|x<
0},命题q:
函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数a的取值范围是 .
小题必刷卷
(一)
1.A [解析]利用数轴可得P∪Q=(-2,1),因此选A.
2.D [解析]要使二次根式有意义,则M={x︱1-x2≥0}=[-1,1],故∁RM=(-∞,-1)∪(1,+∞).
3.D [解析]∵x2<
9,∴-3<
3,∴B={x|-3<
3},∴A∩B={1,2}.
4.A [解析]当a=3时,A={1,3},A⊆B;
当A⊆B时,a=2或a=3,故选A.
5.D [解析]集合A={2,5,8,11,14,17,…},所以A∩B={8,14},所以A∩B中有2个元素.
6.C [解析]特称命题的否定是全称命题,故选C.
7.B [解析]A表示圆x2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合.∵直线y=x过圆心,∴直线与圆的交点有两个,故选B.
8.C [解析]因为A∩B={1},所以方程x2-4x+m=0有一个根为1,得m=3,此时方程为x2-4x+3=0,得方程的另一个根为3,故B={1,3}.
9.B [解析]由2-x≥0得x≤2;
由|x-1|≤1得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2.因为{x|0≤x≤2}⫋{x|x≤2},所以“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.
10.B [解析]因为x>
0时,x+1>
1,所以ln(x+1)>
0,所以p为真命题.若a>
b,可取a=1,b=-2,此时a2<
b2,所以q为假命题,所以綈q为真命题,所以p∧綈q为真命题,故选B.
11.-1,-2,-3(答案不唯一) [解析]应用拼凑法,找出特例即可.比如a=-1,b=-2,c=-3.
12.1 [解析]∵y=tanx在区间上单调递增,∴y=tanx的最大值为tan=1.
又∵“∀x∈,tanx≤m”是真命题,∴m≥1.
13.A [解析]因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1”的否定是“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”,故选A.
14.B [解析]由题知A={-1,0,1,2},则B={1,2,5},则集合B的子集的个数为23=8,故选B.
15.B [解析]阴影部分所表示的集合为A∩B,A={x|2x2-7x+3<
0}=,3,B={x∈Z|lgx<
1}={x∈Z|0<
10},则A∩B={1,2},那么阴影部分表示的集合的元素个数为2,故选B.
16.C [解析]全集U=R,集合A={y|y=x2-2}={y|y≥-2},∴∁UA={y|y<
-2},又B={x|y=log2(3-x)}={x|3-x>
0}={x|x<
3},∴(∁UA)∩B={x|x<
-2}.
17.C [解析]若方程x2+my2=1表示双曲线,则m<
0,反过来也成立,则“m<
0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的充要条件,故选C.
18.D [解析]A={x∈Z|(x+1)(x-4)≤0}={-1,0,1,2,3,4},∵A⊆B,B={x|x≤a},∴a≥4,故选D.
19.A [解析]因为cos2α=0⇔cos2α-sin2α=0⇔|sinα|=|cosα|,所以“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件,故选A.
20.C [解析]对于①,若p∧q是假命题,则p,q中至少有一个为假命题,并非都是假命题,故①错误;
对于②,命题“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R,-+1>
0”,故②正确;
对于③,∵p:
x≤1,∴綈p:
x>
1,又∵q:
1,则x>
1⇒<
1,反之不成立,即綈p是q的充分不必要条件,故③正确;
对于④,由函数y=tanx的值域为R,可判定∃x0∈R,tanx0=xx,故④正确.
综上,真命题的个数是3,故选C.
21.B [解析]当a=,b=时,符合条件,并能得到+=4,∴命题p1是真命题;
解>
0得-1<
1,∴函数y=ln的定义域为(-1,1),把函数中的x换成-x得到y=ln=-ln,∴该函数为奇函数,∴命题p2是假命题.∴p1∧p2是假命题,綈p2是真命题,p1∧綈p2是真命题,綈p1是假命题,綈p1∨p2是假命题,綈p1∧綈p2是假命题.故选B.
22.D [解析]当0<
a<
1时,函数y=ax+x在R上不是增函数,故p1是假命题;
∀a,b∈R,a2-ab+b2=a-b2+≥0,因此不存在a,b∈R,使得a2-ab+b2<
0,故p2是假命题;
cosα=cosβ⇔α=2kπ±
β(k∈Z),因此cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β(k∈Z),故p3是真命题.
因此p1∨p2,p2∧p3,p1∨綈p3是假命题,綈p2∧p3是真命题.故选D.
23.充要 [解析]①若A,B,C成等差数列,则2B=A+C,∴3B=180°
即B=60°
∴由余弦定理得b2=a2+c2-ac,∴a2+c2-b2=ac,∴(b+a-c)(b-a+c)=b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=-ac+2ac=ac,即(b+a-c)(b-a+c)=ac,∴“内角A,B,C成等差数列”是“(b+a-c)(b-a+c)=ac”的充分条件.
②若(b+a-c)(b-a+c)=ac,则b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=ac,∴a2+c2-b2=ac,由余弦定理得a2+c2-b2=2ac·
cosB,∴cosB=,∴B=60°
∴60°
-A=180°
-(A+60°
)-60°
即B-A=C-B,∴A,B,C成等差数列,∴“内角A,B,C成等差数列”是“(b+a-c)(b-a+c)=ac”的必要条件.
∴综合①②得,“内角A,B,C成等差数列”是“(b+a-c)(b-a+c)=ac”的充要条件.
24.0<
a≤或a≥1 [解析]p:
0},则0<
1;
q:
函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,当a=0时不成立,当a≠0时,有解得a>
.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则命题p与q必然一真一假,所以或
解得0<
a≤或a≥1,则实数a的取值范围是0<
a≤或a≥1.
2019-2020年高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算学案文
[知识梳理]
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:
A∪∅=A;
A∪A=A;
A∪B=B∪A;
A∪B=A⇔B⊆A.
(2)交集的性质:
A∩∅=∅;
A∩A=A;
A∩B=B∩A;
A∩B=A⇔A⊆B.
(3)补集的性质:
A∪(∁UA)=U;
A∩(∁UA)=∅;
∁U(∁UA)=A;
∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);
∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
(4)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n个,非空子集个数为2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集的个数为2n-2个.
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.( )
(2)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.( )
(3)设集合A={0,1},若B={x|x⊆A},则A⊆B.( )
(4)设集合A={x|ax=1},B={x|x2=1},若A⊆B,则a=1或-1.( )
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.教材衍化
(1)(必修A1P12T10)若集合P={x|x≥5},Q={x|5≤x≤7},则P与Q的关系是( )
A.P=QB.PQ
C.PQD.P⊄Q
答案 C
解析 因为集合P={x|x≥5},Q={x|5≤x≤7},所以QP.故选C.
(2)(必修A1P12T2)已知A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则A∩B=________.
答案 {(1,2)}
解析 A∩B={(x,y)|4x+y=6}∩{(x,y)|3x+2y=7}=
={(1,2)}.
3.小题热身
(1)已知集合A={x|-3<
3},B={x|x(x-4)<
0},则A∪B=( )
A.(0,3)B.(-3,4)
C.(0,4)D.(3,4)
答案 B
解析 集合B=(0,4),故A∪B=(-3,4).故选B.
(2)若集合A=[2,3],B={x|x2-5x+6=0},则A∩B=( )
A.{2,3}B.∅
C.(2,3)D.[2,3]
答案 A
解析 因为A={x|2≤x≤3},B={2,3},所以A∩B={2,3}.故选A.
题型1 集合的基本概念
(xx·
四川高考)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )
A.3B.4
C.5D.6
本题用列举法.
解析 A中包含的整数元素有-2,-1,0,1,2,共5个,所以A∩Z中的元素个数为5.故选C.
(xx·
豫北名校联考)设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P⊗Q={z|z=a÷
b,a∈P,b∈Q},若P={-1,0,1},Q={-2,2},则集合P⊗Q中元素的个数是( )
A.2B.3
C.4D.5
本题用分类讨论法,根据元素的互异性确定元素个数.
解析 当a=0时,无论b取何值,z=a÷
b=0;
当a=-1,b=-2时,z=
;
当a=-1,b=2时,z=-
当a=1,b=-2时,z=-
当a=1,b=2时,z=
.
故P⊗Q=
,该集合中共有3个元素.故选B.
方法技巧
解决集合概念问题的一般思路
1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合,然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的意义.常见的集合的意义如下表:
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性.见典例1,2.
3.集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.见典例2.
冲关针对训练
1.已知集合A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},则下列关系正确的是( )
A.A∩B=∅B.A∩B=A
C.A=BD.A∩B=B
答案 D
解析 A=R,B=[1,+∞),故A∩B=B.故选D.
2.已知a,b为两个不相等的实数,集合M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},f:
x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b等于( )
A.1B.2
C.3D.4
解析 因为集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,所以
即
因为a,b为两个不相等的实数,则a,b为方程x2-4x+2=0的两根,∴a+b=4.故选D.
题型2 集合间的基本关系
(xx·
资阳模拟)含有三个实数的集合可表示为
,也可表示为{a2,a+b,0},则axx+bxx的值为( )
A.0B.±
1
C.-1D.1
利用集合相等分类讨论,根据元素的互异性求解.
解析 三个实数的集合可表示为
,也可表示为{a2,a+b,0},可得b=0,a2=1,因为集合含有三个实数,所以a=-1,∴axx+bxx=-1.故选C.
已知集合A={x|x<
-3或x>
7},B={x|x<
2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
本题可结合数轴用数形结合方法.
答案 (-∞,-1]
解析 由题意知2m-1≤-3,m≤-1,∴m的取值范围是(-∞,-1].
[条件探究1] 典例2中的B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余不变,该如何求解?
解 当B=∅时,有m+1>
2m-1,则m<
2;
当B≠∅时,
或
解得m>
6.综上可知m的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞).
[条件探究2] 典例2中的A改为A={x|-3≤x≤7},B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},又该如何求解?
解 当B=∅时,满足B⊆A,此时有m+1>
2m-1,
即m<
当B≠∅,要使B⊆A,则有
解得2≤m≤4.
综上可知m的取值范围是(-∞,4].
1.集合相等的问题求解思路
首先分析已知元素与另一个集合中的哪个元素相等,一般要分类讨论,列出方程(组)求解,最后要验证是否满足互异性.例如典例1.
2.已知两个集合间的关系求参数时的关键点及注意点
(1)关键点:
将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.
(2)注意点:
①利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论;
②注意区间端点的取舍.例如典例2.
提醒:
空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
冲关针对训练
1.已知集合A={x|x2-2x>
0},B={x|-
},则( )
A.A∩B=∅B.A∪B=R
C.B⊆AD.A⊆B
解析 易得A={x|x>
2或x<
0},又B={x|-
},利用数轴表示A与B(略),易知A∩B={x|-
0或2<
},A项错误;
A∪B=R,B项正确;
A与B没有包含关系,C项与D项均错误.故选B.
2.(xx·
河北校级期中)已知集合A={2,3},B={x|mx-6=0},若B⊆A,则实数m=( )
A.3B.2
C.2或3D.0或2或3
解析 因为B⊆A,所以根据B是否为空集分以下两种情况:
①当B=∅时,mx-6=0无解,即m=0,
②当B≠∅时,mx-6=0的解为2或3,则m的值分别为3,2.故选D.
题型3 集合的基本运算
角度1 求交集
全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2x-3>
0},则A∩B=( )
A.
B.
C.
D.
本题用转化法,数形结合法.
解析 易知A=(1,3),B=
,∴A∩B=
.故选D.
角度2 求并集
浙江模拟)已知集合P={x|-1<
1},Q={x|0<
2},那么P∪Q=( )
A.(-1,2)B.(0,1)
C.(-1,0)D.(1,2)
本题用数形结合法.
解析 ∵P={x|-1<
2},
∴P∪Q={x|-1<
2}.故选A.
角度3 交、并、补的综合运算
广东七校联考)已知全集U=R,集合A={x|x2-2x>
0},B={x|y=lg(x-1)},则(∁UA)∩B=( )
A.{x|x>
0}B.{x|1<
2}
C.{x|1<
x≤2}D.{x|1≤x≤2}
本题用转化法、数形结合法.
解析 解不等式x2-2x>
0,即x(x-2)>
0,得x<
0或x>
2,故A={x|x<
2}.集合B是函数y=lg(x-1)的定义域,由x-1>
0,解得x>
1,所以B={x|x>
1}.易知∁UA={x|0≤x≤2},所以(∁UA)∩B={x|0≤x≤2}∩{x|x>
1}={x|1<
x≤2}.故选C.
角度4 知集合的运算结果求参数
全国卷Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )
A.{1,-3}B.{1,0}
C.{1,3}D.{1,5}
解析 ∵A∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3.
∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.
1.集合的基本运算的求解策略
(1)求解思路一般是先化简集合,再根据交、并、补的定义求解.例如角度1典例.
(2)求解原则一般是先算括号里面的,再按运算顺序求解.
(3)求解思想一般是注重数形结合思想的运用,利用数轴、Venn图等.例如角度2,3典例,冲关针对训练3.
2.参数求解策略
一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,根据画出的Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;
若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的范围,此时要注意端点的情况.见角度4典例,冲关针对训练2.
1.(xx·
天津高考)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )
A.{2}B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}
解析 A∪B={1,2,4,6}.
又C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C={1,2,4}.
故选B.
合肥质检二)已知集合A=[1,+∞),B={x∈R
,若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.
D.(1,+∞)
解析 因为A∩B≠∅,所以
解得a≥1,故选A.
3.(xx·
唐山二模)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3},图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{1,2}B.{4,5}
C.
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- 高考 数学 一轮 复习 单元 集合 常用 逻辑 用语 测评