离散数学例题整理.docx
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离散数学例题整理
第一章
定律证明:
(1)A⋃B=B⋃A(交换律)
证∀xx∈A⋃B
⇒x∈A或x∈B,自然有x∈B或x∈A
⇒x∈B⋃A
得证A⋃B⊆B⋃A.
同理可证B⋃A⊆A⋃B.
(2)A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C)(分配律)
证∀xx∈A⋃(B⋂C)
⇒x∈A或(x∈B且x∈C)
⇒(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C)
⇒x∈(A⋃B)⋂(A⋃C)
得证A⋃(B⋂C)⊆(A⋃B)⋂(A⋃C).
类似可证(A⋃B)⋂(A⋃C)⊆A⋃(B⋂C).
(3)A⋃E=E(零律)
证根据并的定义,有E⊆A⋃E.
根据全集的定义,又有A⋃E⊆E.
(4)A⋂E=A(同一律)
证根据交的定义,有A⋂E⊆A.
又,∀xx∈A,
根据全集E的定义,
x∈E,从而x∈A且x∈E,
⇒x∈A⋂E
得证A⊆A⋂E.
例4证明A⋃(A⋂B)=A(吸收律)
证利用例3证明的4条等式证明
A⋃(A⋂B)
=(A⋂E)⋃(A⋂B)(同一律)
=A⋂(E⋃B)(分配律)
=A⋂(B⋃E)(交换律)
=A⋂E(零律)
=A(同一律)
例5证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
证(A-C)-(B-C)
=(A⋂~C)⋂~(B⋂~C)(补交转换律)
=(A⋂~C)⋂(~B⋃~~C)(德摩根律)
=(A⋂~C)⋂(~B⋃C)(双重否定律)
=(A⋂~C⋂~B)⋃(A⋂~C⋂C)(分配律)
=(A⋂~C⋂~B)⋃(A⋂∅)(矛盾律)
=A⋂~C⋂~B(零律,同一律)
=(A⋂~B)⋂~C(交换律,结合律)
=(A–B)–C(补交转换律)
例6证明(A⋃B)⊕(A⋃C)=(B⊕C)-A
证(A⋃B)⊕(A⋃C)
=((A⋃B)-(A⋃C))⋃((A⋃C)-(A⋃B))
=((A⋃B)⋂~A⋂~C)⋃((A⋃C)⋂~A⋂~B)
=(B⋂~A⋂~C)⋃(C⋂~A⋂~B)
=((B⋂~C)⋃(C⋂~B))⋂~A
=((B-C)⋃(C-B))⋂~A
=(B⊕C)-A
例7设A,B为任意集合,证明:
若A⊆B,则P(A)⊆P(B)
证∀xx∈P(A)⇔x⊆A
⇒x⊆B(已知A⊆B)
⇔x∈P(B)
例8证明A⊕B=A⋃B-A⋂B.
A⊕B=(A⋂~B)⋃(~A⋂B)
=(A⋃~A)⋂(A⋃B)⋂(~B⋃~A)⋂(~B⋃B)
=(A⋃B)⋂(~B⋃~A)
=(A⋃B)⋂~(A⋂B)
=A⋃B-A⋂B
直接法若n是奇数,则n2也是奇数.
假设n是奇数,则存在k∈N,n=2k+1.
于是n2=(2k+1)2=2(2k2+2k)+1
得证n2是奇数.
间接法若n2是奇数,则n也是奇数.
只证:
若n是偶数,则n2也是偶数.
假设n是偶数,则存在k∈N,n=2k.
于是n2=(2k)2=2(2k2)
得证n2是偶数.
归谬法若A-B=A,则A⋂B=∅
证用归谬法,假设A⋂B≠∅,则存在x,使得
x∈A⋂B⇔x∈A且x∈B
⇒x∈A-B且x∈B(A-B=A)
⇔(x∈A且x∉B)且x∈B
⇒x∉B且x∈B,矛盾
构造性对每正整数n,存n个连的正合数.
证令x=(n+1)!
+1
考虑如下n个连续正整数:
x+1,x+2,…,x+n,
对于i(i=1,2,3,…,n),x+i=(n+1)!
+(1+i),
此式含有因子1+i,而1+i不等于1也不等于x+i,
因此x+i是合数。
所以x+1,x+2,…,
x+n是n个连续的正合数。
非构造性对每个正整数n,存在大于n的素数.
令x等于所有小于等于n的素数的乘积加1,
则x不能被所有小于等于n的素数整除.
于是,x或者是素数,或者能被大于n的素数整除.
因此,存在大于n的素数.
数学归:
对所有n≥1,1+3+5+…+(2n-1)=n2
归纳基础.当n=1时,1=12,结论成立.
归纳步骤.假设对n(n≥1)结论成立,
则考虑n+1的情况有
1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)=n2+(2n+1)=(n+1)2
得证当n+1时结论也成立.
第二数学归任>=2的整数均可表成素数的乘积
证归纳基础.对于2,结论显然成立.
归纳步骤.假设对所有的k(2≤k≤n)结论成立,要证结论
对n+1也成立.若n+1是素数,则结论成立;否则n+1=ab,
2≤a,b 也可表成素数的乘积.得证结论对n+1成立. 命题为假的证明——举反例 例11证明下述命题不成立: 若A⋂B=A⋂C,则B=C. 证明反例: 取A={a,b},B={a,b,c},C={a,b,d}, 有A⋂B=A⋂C={a,b} 但B≠C,故命题不成立. 第二章 例3证明p→(q→r)⇔(p∧q)→r 证p→(q→r) ⇔⌝p∨(⌝q∨r)(蕴涵等值式) ⇔(⌝p∨⌝q)∨r(结合律) ⇔⌝(p∧q)∨r(德摩根律) ⇔(p∧q)→r(蕴涵等值式) (1)q∧⌝(p→q) 解q∧⌝(p→q) ⇔q∧⌝(⌝p∨q)(蕴涵等值式) ⇔q∧(p∧⌝q)(德摩根律) ⇔p∧(q∧⌝q)(交换律,结合律) ⇔p∧0(矛盾律) ⇔0(零律) 该式为矛盾式. (2)(p→q)↔(⌝q→⌝p) 解(p→q)↔(⌝q→⌝p) ⇔(⌝p∨q)↔(q∨⌝p)(蕴涵等值式) ⇔(⌝p∨q)↔(⌝p∨q)(交换律) ⇔1 该式为重言式. ⌝(p→q)∨⌝r的析取式与合取式 解⌝(p→q)∨⌝r ⇔⌝(⌝p∨q)∨⌝r ⇔(p∧⌝q)∨⌝r析取式 ⇔(p∨⌝r)∧(⌝q∨⌝r)合取式 ⌝(p→q)∨⌝r的主析取式主合取式 解 (1)⌝(p→q)∨⌝r⇔(p∧⌝q)∨⌝r p∧⌝q⇔(p∧⌝q)∧1同一律 ⇔(p∧⌝q)∧(⌝r∨r)排中律 ⇔(p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r)分配律 ⇔m4∨m5 ⌝r⇔(⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧⌝r同一律,排中律 ⇔(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧q∧⌝r) ⇔m0∨m2∨m4∨m6分配律 得⌝(p→q)∨⌝r⇔m0∨m2∨m4∨m5∨m6 可记作⇔∑(0,2,4,5,6) (2)⌝(p→q)∨⌝r⇔(p∨⌝r)∧(⌝q∨⌝r) p∨⌝r⇔p∨0∨⌝r同一律 ⇔p∨(q∧⌝q)∨⌝r矛盾律 ⇔(p∨q∨⌝r)∧(p∨⌝q∨⌝r)分配律 ⇔M1∧M3 ⌝q∨⌝r⇔(p∧⌝p)∨⌝q∨⌝r同一律,矛盾律 ⇔(p∨⌝q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨⌝r)分配律 ⇔M3∧M7 得⌝(p→q)∨⌝r⇔M1∧M3∧M7 可记作⇔∏(1,3,7) 快速求A⇔(⌝p∧q)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨r的主析取式 (1)⌝p∧q⇔(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)⇔m2∨m3 ⌝p∧⌝q∧r⇔m1 r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m5∨m7 得A⇔m1∨m2∨m3∨m5∨m7⇔∑(1,2,3,5,7) (2)求B⇔⌝p∧(p∨q∨⌝r)的主合取式 解⌝p⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧ (⌝p∨⌝q∨r)∧(⌝p∨⌝q∨⌝r) ⇔M4∧M5∧M6∧M7 p∨q∨⌝r⇔M1 得B⇔M1∧M4∧M5∧M6∧M7⇔∏(1,4,5,6,7) 例3用主析取式判断公式的类型: (1)A⇔⌝(p→q)∧q(3)C⇔(p∨q)→r A⇔⌝(⌝p∨q)∧q⇔(p∧⌝q)∧q⇔0矛盾式 (2)B⇔p→(p∨q) B⇔⌝p∨(p∨q)⇔1⇔m0∨m1∨m2∨m3重言式 (3)C⇔(p∨q)→r C⇔⌝(p∨q)∨r⇔(⌝p∧⌝q)∨r ⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r) ∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔m0∨m1∨m3∨m5∨m7非重言式的可满足式 用主析取式判断下面2组公式是否等值: (1)p与(⌝p∨q)→(p∧q) 解p⇔p∧(⌝q∨q)⇔(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔m2∨m3 (⌝p∨q)→(p∧q)⇔⌝(⌝p∨q)∨(p∧q) ⇔(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔m2∨m3 故p⇔(⌝p∨q)→(p∧q) (2)(p∧q)∨r与p∧(q∨r) 解(p∧q)∨r⇔(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨ (⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7 p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r) ⇔(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔m5∨m6∨m7 故(p∧q)∨r不等于p∧(q∨r) 例5某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察,需满 足下述条件: (1)若A去,则C必须去; (2)若B去,则C不能去; (3)A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解记p: 派A去,q: 派B去,r: 派C去 (1)p→r, (2)q→⌝r,(3)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q) 求下式的成真赋值 A=(p→r)∧(q→⌝r)∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q)) 求A的主析取式 A=(p→r)∧(q→⌝r)∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q)) ⇔(⌝p∨r)∧(⌝q∨⌝r)∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q)) ⇔((⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧⌝r)∨(r∧⌝q)∨(r∧⌝r)) ∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q)) ⇔((⌝p∧⌝q)∧(p∧⌝q))∨((⌝p∧⌝r)∧(p∧⌝q)) ∨((r∧⌝q)∧(p∧⌝q))∨((⌝p∧⌝q)∧(⌝p∧q)) ∨((⌝p∧⌝r)∧(⌝p∧q))∨((r∧⌝q)∧(⌝p∧q)) ⇔(p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r) 成真赋值: 101, 结论: 方案1派A与C去方案2派B去 A=(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)的主合取式 解A⇔m1∨m3∨m7 ⇔M0∧M2∧M4∧M5∧M6 第二章 判断若今天是1号,则明天是5号. 今天是1号.所以,明天是5号. 解设p: 今天是1号,q: 明天是5号 推理的形式结构为(p→q)∧p→q 证明用等值演算法 (p→q)∧p→q⇔⌝((⌝p∨q)∧p)∨q
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