苏科版八年级数学下册-:解题模型之一线三等角(解析版).doc
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八年级解题模型之一线三等角
【知识梳理】
三垂直模型(一线三等角)(K型)
常见的一线三垂直的模型。
【例题精讲】
K型在三角形中的应用
例1:
已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE,
⑴求证:
AC⊥CE;
⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形,,
其余条件不变,试判断AC⊥C1E这一结论是否成立?
若成立,给予证
明;若不成立,请说明理由.
①②③④
【解答】:
⑴∵AB⊥BD,ED⊥BD
∴
在△ABC与△CDE中
∴△ABC≌△CDE(SAS)
∴∠1=∠E
∵∠2+∠E=90°
∴∠ACE=90°,即AC⊥CE
⑵图①②③④四种情形中,结论永远成立,证明方法与⑴完全类似,只要证明△ABC≌△
∴
∵∴
∴AC⊥C1E
例2:
等腰直角△ABC,其中AB=AC,∠BAC=90°,过B、C作经过A点直线L的垂线,垂足分别为M、N.
(1)你能找到一对三角形的全等吗?
并说明.
(2)BM,CN,MN之间有何关系?
若将直线l旋转到如图2的位置,其他条件不变,那么上题的结论是否依旧成立?
【解答】:
证明:
(1)
(2)结论:
MN=CN-BM
理由:
∵BM⊥MA,CN⊥AN,
∴∠BAC=∠BMA=∠CNA=90°
∴∠MAB+∠CAN=90°,∠ABM+∠MAB=90°
∴∠CAN=∠ABM,
∴MA=NC,BM=AN
∵MN=AM-AN
∴MN=CN-BM
例3.
(1)如图,已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,
CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:
DE=BD+CE.
(2)如图,将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3) 拓展与应用:
如图,D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
【解答】
(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m
∴∠BDA=∠CEA=90°
∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°
∴∠CAE=∠ABD
又∵AB=AC
∴△ADB≌△CEA
∴AE=BD,AD=CE
∴DE=AE+AD= BD+CE;
(2)∵∠BDA=∠BAC=α
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°—α
∴∠DBA=∠CAE
∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC
∴△ADB≌△CEA
∴AE=BD,AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(3)易知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形
∴∠ABF=∠CAF=60°
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF
∴∠DBF=∠FAE,∵BF=AF
∴△DBF≌△EAF(如下图所示)
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°
∴△DEF为等边三角形.
K型在正方形中的应用
【例1】正方形中,点、的坐标分别为,,点在第一象限.求正方形边长及顶点的坐标.(计算应用:
在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.)
【解答】:
过点C作CG⊥x轴于G,过B作BE⊥y轴于E,并反向延长交CG于F
点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4)
∴BE=8,AE=6,∴AB=10
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC
∵∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2
∵∠ABE=∠BFC=90°
∴△AEB≌△BFC
∴CF=BE=8,BF=AE=6
∴CG=12EF=14
∴C(14,12),正方形的边长为10
例2.
(1)如图1,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B),作MN⊥DM,垂足为M,且MN=DM.设OM=a,请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标___(用含a的代数式表示);
(2)基本经验有利有弊,当基本经验有利于新问题解决的时候,这是基本经验的正迁移;当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考,让新问题解决不出来的时候,这是基本经验的负迁移.例如,如果
(1)的条件去掉“且MN=DM”,加上“交∠CBE的平分线与点N”,如图2,求证:
MD=MN.如何突破这种定势,获得问题的解决,请你写出你的证明过程.
(3)如图3,请你继续探索:
连接DN交BC于点F,连接FM,下列两个结论:
①FM的长度不变;②MN平分∠FMB,请你指出正确的结论,并给出证明.
【解答】
(1)如图1中,作NE⊥OB于E,
∵∠DMN=90°,
∴∠DMO+∠NME=90°,∠NME+∠MNE=90°,
∴∠DMO=∠MNE,
在△DMO和△MNE中,
∴△DMO≌△MNE,
∴ME=DO=2,NE=OM=a,
∴OE=OM+ME=2+a,
∴点N坐标(2+a,a),
故答案为N(2+a,a).
(2)证明:
如图2中,在OD上取OH=OM,连接HM,
∵OD=OB,OH=OM,∴HD=MB,∠OHM=∠OMH,
∴∠DHM=180-45=135°,
∵NB平分∠CBE,∴∠NBE=45°,
∴∠NBM=180-45=135°,∴∠DHM=∠NBM,
∵∠DMN=90°,∴∠DMO+∠NMB=90°,
∵∠HDM+∠DMO=90°,
∴∠HDM=∠NMB,
在△DHM和△MBN中,
∴△DHM≌△MBN(ASA),
∴DM=MN.
(3)结论:
MN平分∠FMB成立.
证明:
如图3中,在BO延长线上取OA=CF,
在△AOD和△FCD中,
∴△DOA≌△DCF,
∴AD=DF,∠ADO=∠CDF,
∵∠MDN=45°,
∴∠CDF+∠ODM=45°,
∴∠ADO+∠ODM=45°,
∴∠ADM=∠FDM,
在△DMA和△DMF中,
∴△DMA≌△DMF,
∴∠DFM=∠DAM=∠DFC,
过M作MP⊥DN于P,则∠FMP=∠CDF,
由
(2)可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°,
∴∠NMB=∠MDH,∠MDO+∠CDF=45°,
∴∠NMB=∠NMF,即MN平分∠FMB.
K型在一次函数中的应用
等腰直角三角形(45°角)在坐标系中的运用(45°角的存在性问题)
原理:
45°等腰直角三角形必有全等已知两点坐标,求第三点的坐标两点求解析式求与其它直线(x轴、y轴)交点坐标
例1.如图,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3),则B点的坐标是________.
【答案】(1,4)
【解析】:
过A,B分别作AD⊥OC于D,BE⊥OC于E,
∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°
∴∠CAD=∠BCE
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴DC=BE,AD=CE
∵点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3)
∴OC=2,AD=CE=3,OD=6
∴CD=OD-OC=4,OE=CE-OC=3-2=1
∴BE=4
∴B点的坐标为(1,4)
例2.如图①,四边形OACB为长方形, A(-6,0), B(0,4),直线l为函数 y=-2x-5的图象.
(1)点C的坐标为
(2)若点P在直线l上, △APB为等腰直角三角形, ∠APB=90°,求点P的坐标;
小明的思考过程如下:
第一步:
添加辅助线,如图②,过点P作MN∥x轴,与y轴交于点N,与AC的延长线交于点M;
第二步:
证明 △MPA≌△NBP;
第三步:
设 NB=m,列出关于m的方程,进而求得点P的坐标.
请你根据小明的思考过程,写出第二步和第三步的完整解答过程;
(3)若点P在直线l上,点Q在线段AC上(不与点A重合), △QPB为等腰直角三角形,直接写出点P的坐标.
【解答】∴AO=CO=6,AC=BO=4,
∴点C的坐标为(−6,4).
故答案为C(−6,4).
(2)根据题意得:
∠AMP=∠PNB=90∘,
∵△APB为等腰直角三角形,
∴AP=BP,∠APB=90°,
∵∠APB=∠AMP=90°,
∴∠NPB+∠MPA=∠MPA+∠MAP=90°,
∴∠NPB=∠MPA,
在△MPA和△NBP中,
,
∴△MPA≌△NBP(AAS),
∴AM=PN,MP=NB,
设NB=m,则MP=m,PN=MN−MP=6−m,AM=4+m,
∵AM=PN,
∴4+m=6−m,
解得:
m=1,
∴点P的坐标为(−5,5);
(3)设点Q的坐标为(−6,q),
分3种情况讨论:
①当∠PBQ=90∘时,如右图,过点P作PM⊥y轴于点M,点Q作QN⊥y轴于点N,
∵∠QBN+∠PBM=90∘,∠MPB+∠PBM=90∘
∴∠QBN=∠MPB,∠PMB=∠QNB=90∘
在△AQN和△PBM中,
,
∴△PMB≌△BNQ,
∴MB=NQ=6,PM=BN=4−q,∴P(q−4,10),
代入y=−2x−5,解得:
q=−3.5,
∴p(−7.5,10).
②当∠BPQ=90∘时,
若点P在BQ上方,即为
(2)的情况,此时点Q与点A重合,由于题设中规定点Q不与点A重合,故此种情况舍去;
若点P在BQ下方,如右图,过点P作PN⊥AC于点N,作PM⊥y轴于点M,
设BM=m,
∵∠APM+∠NPC=90∘,∠NQB+∠NPQ=90∘,
∴∠BPM=∠NQP,
在△APM和△QPN中,
∴△PMB≌△CNP,
∴PN=BM=m,
∴PM=6−m,
∴P(m−6,4−m),
把P坐标代入y=−2x−5,得4−m=−2m+12−5,
解得:
m=3
此时点P的坐标为(−3,1);
③当∠PQB=90∘时如右图,过点Q作QM⊥y轴于点M,过点P作PN⊥AC垂足为N,
设BM=m,
∵∠PQB=∠MQN=90∘,
∴∠PQN=∠MQB,
在△PQN和△BQM中,
,
∴△PNQ≌△BMQ,
∴QN=QM=6,MB=NP=m,
∴P(−6−m,10−m),
把P坐标代入y=−2x−5,得:
10−m=12+2m−5,
解得:
m=1,此时点P的坐标为(−7,9),
综上所述,点P的坐标为(−7.5,10)或(−3,1)或(−7,9).
K型在反比例函数中的应用
例1.如图,在平面直角坐标系中,经过点A的双曲线(x>0)同时经过点B,且点A在点B的左侧,点A的横坐标为,∠AOB=∠OBA=45°,则k的值为_______.
【答案】
过A作AM⊥y轴于M,过B作BD⊥x轴于D,直线BD与AM交于点N,如图所示:
则OD=MN,D
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