最新微分中值定理的证明及应用文档格式.docx

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成立.

定理2拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数«

内可导，那么在«

内至少存在一点«

使得

定理3柯西（Cauchy）中值定理如果函数«

与«

上连续，在开区间«

内可导，且«

在«

内每一点均不为零，那么在«

，使得

1.1证明中建立辅助函数的方法

这类微分中值定理证明的方法,一般是在罗尔定理的基础上引出辅助函数来完成.因此根据问题分析并构造出一个简单易懂的辅助函数,是解决问题的关键.

1.1.1分析推理法

分析一下定理3,定理3的结论是:

至少存在一点«

即«

即

因为«

所以只要

（*）

由（*）式可以试着构造函数

«

只要它满足罗尔中值定理的条件，便知存在一点«

.

即（*）式成立,定理3便可得证.不难验证,«

确实满足罗尔中值定理的条件,因此在证明定理3时,辅助函数设为«

即可,同理,由定理2与定理3的关系易知,在证明定理2时,可令辅助函数

这种方法主要是针对现行教材中传统形式的辅助函数的表达式冗长,而通过分析推理,遵循严密的逻辑关系,构造出形式简单的辅助函数,从而解决定理的证明.

1.1.2“K”值法

拉格朗日中值定理中,令«

则有«

即有«

不难发现,«

上均满足罗尔中值定理的条件,

其中«

因此«

可以作为所需要的辅助函数.

而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,因此,只需将上述方法推而广之,即可证得柯西中值定理.

令«

由已知,对«

中任意«

，«

可推得«

（根据罗尔中值定理可证得）.此时有

即

不难发现,可以取«

作为辅助函数,它在«

上均满足罗尔中值定理的条件,故有«

«

又«

所以

即

此方法构造辅助函数的过程相当巧妙，而且所得辅助函数简单明朗，但逻辑关系并非十分严密，带有一定的偶然性，不易理解,没有上种“分析推理法”逻辑性强.

1.1.3积分法

定理2拉格朗日中值定理的证明

把需证之式变为«

对应改写成

（把«

换成«

）,

证明上述方程在«

内存在根，将上式左边对«

积分，有

故取«

.则«

上连续，在«

内可导，且

由罗尔中值定理知，至少存在一点«

，使«

即

同理，可以知道定理3柯西中值定理的证明.把需证之式变成

对应改写成

）

故取

则«

由罗尔定理知，至少存在一点«

通过以上证明可知,“积分法”的关键步骤也是构造辅助函数，其基础方法是：

（1）将需证之式整理，使等式右边为0，左边的«

改写成«

；

（2）对等式左边关于«

积分；

（3）对应积分值写出«

，这种方法最大的优点在于其规律性，不需要过多的考虑步骤,而只需根据规律就可步步得出证明.易掌握和运用.

1.2逆序统一证明法

这种方法颠覆了传统的证明顺序.按Cauchy中值定理、Lagrange中值定理、Rolle中值定理的顺序给出证明。

10先证Cauchy中值定理

证令«

则«

满足：

（1）在«

上连续;

（2）在«

内可导;

（3）«

若«

（常数）«

取«

内任一点为«

都有«

，即

若存在某个«

属于«

因为«

上连续,所以«

必在某点«

处取得最大值或最小值，则«

亦称为极值点，又«

可导,所以«

.即

20Lagrange中值定理的证明

证只要令定理中的«

，立即有本定理的结论.

30Rolle中值定理证明

证把该定理中的条件«

用于Lagrange中值定理的结论即证.

从上述整个证明过程不难看出,实际上只对定理1给出了详细的证明,且难易程度与繁简程度不大,而后两个定理是立即得到的推论,与上述构造辅助函数相比,而有更简捷、更新颖、更快捷的具大优势.

2微分中值定理的应用

要熟练的应用中值定理确实是一件不易的事，尤其是辅助函数的引入，更是变化多样.下面给出微分中值定理在数学分析的一些证明题中的巧用.

2.1插入一个分点使满足中值定理的条件.

分点c的选取,要根据具体情况而定,有时需要结合闭区间上连续函数的性质推断符合要求的点c的存在性,以保证函数在该点处的值«

满足特殊要求,进而完成证明.

例1设«

上连续,在«

内可导,«

，证明:

（1）存在«

内两个不同的点«

（2）存在«

，使得«

（3）存在«

（4）存在«

及大于零的常数«

（5）对于任意的正整数«

，存在«

及常数«

使得«

（6）对于任意常数«

及c属于«

使得«

分析要证明存在«

，使得题中等式成立，关键是在«

内插入一个分点c，将闭区间«

分成两个子区间«

及«

，然后分别在这两个闭区间上应用中值定理即可.

证

（1）显然,«

分别在«

上满足Lagrange中值定理的条件，故存在«

从而«

（2）因为«

上连续，«

，故根据闭区间上的连续函数的介值定理，存在c属于«

上满足«

，显然，«

使得：

从而

（3）构造辅助函数«

显然，其在«

上连续，且«

根据闭区间上连续函数的介值性定理，存在c属于«

，满足«

即«

（4）因为«

使得：

从而

（5）因为«

，则对于任意的正整数«

，满足

，且显然«

（6）因为«

，且对于任意常数«

满足«

显然在«

中值定理的条件，故存在«

，使

2.2若在所证明的等式中同时出现函数及其导数时,应考虑使用«

这个辅助函数,因为它的导数等于它本身,在使用Rolle定理时可以消去.

例2若函数«

可微,且«

则存在«

使

，因为«

所以«

.再由Rolle定理得,存在«

使«

所以

例3若函数«

.由Rolle定理得：

存在«

，

所以有

例4若函数«

则对于任意自然数«

存在«

证同理只需令«

再应用Rolle定理即可.

2.3已知«

在一个区间的某一端点处的值为0,且在所证明的式子中有自然数出现,则可考虑«

的方幂.

例5若函数在闭区间«

可微,且

则对任意正整数«

证明:

因为在要证明的式子中,有«

还有自然数«

故联想到«

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