勾股定理学案可用Word格式.docx

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右边S=_______________

左边和右边面积相等，

即

化简可得。

方法三：

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于

ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90o,

∴∠AED+∠BEC=90o.

∴∠DEC=17.0o―90o=90o.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于

c2.

又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,

∴AD∥BC.

∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于_________________

勾股定理的具体内容是 

。

1.如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°

，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

（2）若∠B=30°

，则∠B的对边和斜边：

（3）三边之间的关系：

2.完成书上习题1、2

三.用学

1.在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________；

②若a=15，c=25，则b=___________；

③若c=61，b=60，则a=__________；

④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。

2.已知在Rt△ABC中，∠B=90°

，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c= 

（已知a、b，求c）

⑵a= 

（已知b、c，求a）

⑶b= 

（已知a、c，求b）

3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ 

）

A、25 

B、14 

C、7 

D、7或25

5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ 

A、56 

B、48 

C、40 

D、32

五、评学.小结与反思

17..1勾股定理

（2）

学习目标：

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。

4．培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。

勾股定理的应用。

实际问题向数学问题的转化。

1.导学

预习新知（阅读教材第66至67页，并完成预习内容。

1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．

问题

（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图1所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？

为什么？

图1

二.自学

例：

如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

①求梯子的底端B距墙角O多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

图2

.助学

1.书上P68练习1、2

2．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 

米。

3．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是

米，则这两株树之间的垂直距离是

米，水平距离是 

3题图 

1题图 

2题图

四.用学

1．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 

2．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

3．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，

∠B=60°

，则江面的宽度为 

4．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 

5．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 

厘米。

6.如图3，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 

．

变式：

书上P71-11题如图4．

17..1勾股定理（3）

学习目标:

1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；

并在数轴上表示无理数。

2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。

3、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。

利用勾股定理在数轴上表示无理数。

确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。

预习新知（阅读教材第67至68页，并完成预习内容。

二、自学

1.探究：

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示

的点吗？

2.分析：

如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示

的点。

容易知道，长为

的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。

长为

的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？

利用勾股定理，可以发现，长为

的线段是直角边为正整数_____、______的直角三角形的斜边。

3.作法：

在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线

垂直于OA，在

上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示

4.在数轴上画出表示

的点？

（尺规作图）

三.助学

例1已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

例2已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

1.完成书上第9题

2．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°

，a=8，b=15，则c= 

⑵在Rt△ABC，∠B=90°

，a=3，b=4，则c= 

⑶在Rt△ABC，∠C=90°

，c=10，a：

b=3：

4，则a= 

，b= 

（4）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 

2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。

五.评学

1．已知直角三角形中30°

角所对的直角边长是

cm，则另一条直角边的长是（ 

）A.4cm 

B.

cm 

C.6cm 

D.

cm

2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ 

　）

A．42 

B．32 

C．42或32 

D．37或33

3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（　 

A.9分米 

B.15分米 

C.5分米 

D.8分米

4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 

步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

5.等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 

，面积为 

.

6.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 

小结与反思

17..2勾股定理的逆定理

（一）

学习目标

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

掌握勾股定理的逆定理及简单应用。

勾股定理的逆定理的证明。

预习新知（阅读教材, 

完成课前预习）

1.三边长度分别为3cm、4cm、5cm的三角形与以3cm、4cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？

你是怎样得到的？

2.你能证明以6cm、8cm、10cm为三边长的三角形是直角三角形吗？

3.如图17..2-2，若△ABC的三边长

、

满足

，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．

4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？

（1）什么叫互为逆命题

（2）什么叫互为逆定理

（3）任何一个命题都有 

_____，但任何一个定理未必都有 

__

5.说出下列命题的逆命题。

这些命题的逆命题成立吗？

（1）两直线平行，内错角相等；

（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

（3）全等三角形的对应角相等；

（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

二．助学

例1：

判断由线段

组成的三角形是不是直角三角形：

（1）

；

（2）

．

（3）

（4）

1.完成书上P75练习1、2

2.如果三条线段长a,b,c满足

，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？

3.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？

4.思考：

我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？

一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？

四.评学

1.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．

2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？

此三角形的形状为？

3.已知：

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·

BD。

△ABC是直角三角形。

五.小结与反思

17..2勾股定理逆定理

（2）

1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。

2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。

3.在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。

4.培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理的应用

一.导学

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：

四边形ABCD的面积。

求不规则图形的面积时，要把不规则图形 

例2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°

。

1.完成书上P76练习3

2.一个三角形三边之比为3：

4：

5，则这个三角形三边上的高值比为 

A3:

4:

5 

B5:

3 

C20:

15:

12 

D10:

8:

2

3.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式

+（b-17.）2+

=0则△ABC是 

_______三角形。

1.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ 

A．等腰三角形；

B．直角三角形；

C．等腰三角形或直角三角形；

D．等腰直角三角形。

2.若△ABC的三边a、b、c，满足a：

b：

c=1：

1：

，试判断△ABC的形状。

如图，四边形ABCD，AB=1，BC=

，CD=

，AD=3，且AB⊥BC。

4.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 

5.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

6.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=

，试判定△ABC的形状。

7.如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝

ＢＣ，求证：

∠ＥＦＡ＝90。

.

勾股定理复习

（1）

1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.

2.勾股定理的应用.

3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.

掌握勾股定理及其逆定理.

理解勾股定理及其逆定理的应用.

在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；

本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：

1.勾股定理：

（1）直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：

————————————.这就是勾股定理．

（2）勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．

勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．

2.勾股定理逆定理

“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c（a2+b2=c2），先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.

3.勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）在数轴上作出表示

（n为正整数）的点．

勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：

利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．

（3）三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若

，则三角形是直角三角形；

若

，则三角形是锐角三角形；

，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．

如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?

例2：

如图，在四边形ABCD中，∠C=90°

，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：

AD⊥BD． 

1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ 

A．7，24，25 

B．3

，4

，5

C．3，4，5 

D．4，7

，8

A．1倍 

B．2倍 

C．3倍 

D．4倍

3.三个正方形的面积如图1，正方形A的面积为（ 

A．6 

B．36 

C．64 

D．8

4.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ 

A．6cm 

B．8．5cm 

C．

D．

5.在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1，且n为整数），这个三角形是直角三角形吗？

若是，哪个角是直角

1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ 

A．50cm 

B．100cm 

C．140cm 

D．80cm

2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ 

A．8cm 

　B．10cm 

　　C．12cm 

D．14cm

3．在△ABC中，∠C＝90°

，若a＝5，b＝12，则c＝＿＿＿

4．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿． 

5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．

6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿

7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．

勾 

股 

定 

理 

检 

测

姓名__________学号__________

一、填空（每题2.分、共40分）

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为______．

2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

3.在Rt△ABC中，a，b，c分别是三条边，∠B=90°

，已知a=6，b=10，则边长c= 

4.分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）3、4、5

（2）5、12、13（3）8、15、17 

（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有 

5.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2（a>

b>

0）,则这个三角形是 

.

6．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的边:

高：

中线之比为___________ 

7．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ 

）．

A．6，7，8 

B．5，6，7 

C．4，5，6 

D．3，4，5

8．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为______．

9.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高_______

10.有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．

11.一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．

12.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿．

13.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的___________

14.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7

，则以斜边为边长的正方形的面积为_________

15.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外 

壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 

cm

16.如图：

带阴影部分的半圆的面积是 

（

取3）

17.如图：

一只蚂蚁从长是4、宽是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 

17..若一个三角形的周长12

cm,一边长为3

cm,其他两边之差为

cm,则这个三角形是______________________．

19.如图：

在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，

则该地毯的长度至少是 

20.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高__________、门高________．

二、作图（写明做法）（6分）

在数轴上作出表示

的点．

三、解答题（1-8每题5分，9-10每题7分）

1．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为