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任何数同0相乘,都得0.
乘法交换律:
一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
ab=ba
乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
(ab)c=a(bc)
乘法分配律:
一般地,一个数同两个的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。
a(b+c)=ab+ac
11、倒数
1除以一个数(零除外)的商,叫做这个数的倒数。
如果两个数互为倒数,那么这两个数的积等于1。
12、有理数除法法则:
两数相除,同号得负,异号得正,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
13、有理数的乘方:
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power)。
an中,a叫做底数(basenumber),n叫做指数(exponent)。
根据有理数的乘法法则可以得出:
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
14、有理数的混合运算顺序
(1)“先乘方,再乘除,最后加减”的顺序进行;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。
15、科学技术法:
把一个大于10的数表示成a﹡10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数(即0<
a<
10),n是正整数)。
16、近似数(approximatenumber):
17、有理数可以写成m/n(m、n是整数,n≠0)的形式。
另一方面,形如m/n(m、n是整数,n≠0)的数都是有理数。
所以有理数可以用m/n(m、n是整数,n≠0)表示。
拓展知识:
1、
数集:
把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集。
(1)所有有理数组成的数集叫做有理数集;
(2)所有的整数组成的数集叫做整数集。
2、
任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示,体现了数形结合的数学思想。
3、
根据绝对值的几何意义知道:
|a|≥0,即对任何有理数a,它的绝对值是非负数。
4、
比较两个有理数大小的方法有:
(1)根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较;
(2)根据规定进行比较:
两个正数;
正数与零;
负数与零;
正数与负数;
两个负数,体现了分类讨论的数学思想;
(3)做差法:
a-b>
0⇔a>
b;
(4)做商法:
a/b>
1,b>
b.
二、基础训练
选择题
1、下列运算中正确的是(
).
A.a2·
a3=a6
B.
=2 C.|(3-π)|=-π-3
D.32=-9
2、下列各判断句中错误的是()
A.数轴上原点的位置可以任意选定
B.数轴上与原点的距离等于
个单位的点有两个
C.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示
D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间,一定还存在着表示有理数的点。
3、
、
是有理数,若
>
且
,下列说法正确的是()
A.
一定是正数B.
一定是负数
C.
一定是正数D.
一定是负数
4、两数相加,如果比每个加数都小,那么这两个数是()
A.同为正数B.同为负数C.一个正数,一个负数D.0和一个负数
5、两个非零有理数的和为零,则它们的商是()
A.0B.-1C.+1D.不能确定
6、一个数和它的倒数相等,则这个数是()
A.1B.-1C.±
1D.±
1和0
7、如果|a|=-a,下列成立的是()
A.a>
0B.a<
0C.a>
0或a=0D.a<
0或a=0
8、(-2)11+(-2)10的值是()
A.-2B.(-2)21C.0D.-210
9、已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶,现有16个矿泉水空瓶,若不交钱,最多可以喝矿泉水(
)
A.
3瓶
B.
4瓶
C.
5瓶
D.
6瓶
10、在下列说法中,正确的个数是()
⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示
⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数
⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数
⑷每个有理数都有相反数
A、1B、2C、3D、4
11、如果一个数的相反数比它本身大,那么这个数为()
A、正数B、负数
C、整数D、不等于零的有理数
12、下列说法正确的是()
A、几个有理数相乘,当因数有奇数个时,积为负;
B、几个有理数相乘,当正因数有奇数个时,积为负;
C、几个有理数相乘,当负因数有奇数个时,积为负;
D、几个有理数相乘,当积为负数时,负因数有奇数个;
13、如果零上3℃记作+3℃,那么零下3℃记作( )
A、—3 B、-6 C、-3℃ D、-6℃
14、若a与2互为相反数,则∣a+2∣等于( )
A、0 B、-2 C、2 D、4
填空题
1、在有理数-7,
,-(-1.43),
,0,
,-1.7321中,是整数的有_____________是负分数的有_______________。
2、一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的____边,与原点的距离是____个单位长度;
表示数-a的点在原点的____边,与原点的距离是____个单位长度。
3、如果一个数是6位整数,用科学记数法表示它时,10的指数是_____;
用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是___________.
4、实数a、b、c在数轴上的位置如图:
化简|a-b|+|b-c|-|c-a|.
5、绝对值大于1而小于4的整数有_____________________________________,其和为___________.
6、若a、b互为相反数,c、d互为倒数,则(a+b)3-3(cd)4=________.
7、1-2+3-4+5-6+……+2001-2002的值是____________.
8、若(a-1)2+|b+2|=0,那么a+b=_____________________.
9、平方等于它本身的有理数是___________,立方等于它本身的有理数是_____________.
10、用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是
,用科学记数法表示302400,应记为
近似数3.0×
精确到
位。
11、正数–a的绝对值为__________;
负数–b的绝对值为________
12、甲乙两数的和为-23.4,乙数为-8.1,甲比乙大
13、在数轴上表示两个数,的数总比的大。
(用“左边”“右边”填空)
14、数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32,那么,数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________。
15、温度由-5℃下降3℃后,结果可记为_____.
16、-1/3的相反数是_______,绝对值是_______,倒数是_______.
三、强化训练
1、计算:
1+2+3+…+2002+2003=__________.
2、已知:
若
(a,b均为整数)则a+b=
3、观察下列等式,你会发现什么规律:
,
,。
。
请将你发现的规律用只含一个字母n(n为正整数)的等式表示出来
4、已知
,则
___________
5、已知
是整数,
是一个偶数,则a是(奇,偶)
6、已知1+2+3+…+31+32+33==17×
33,求1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32-96+33-99的值。
7、在数1,2,3,…,50前添“+”或“-”,并求它们的和,所得结果的最小非负数是多少?
请列出算式解答。
8、如果规定符号“*”的意义是a*b=ab/(a+b),求2*(-3)*4的值。
9、已知|x+1|=4,(y+2)2=4,求x+y的值。
10、投资股票是一种很重要的投资方式,但股市的风云变化又牵动了股民的心。
例:
某股民在上星期五买进某种股票500股,每股60元,下表是本周每日该股票的涨跌情况(单位:
元):
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
+4
+4.5
-1
-2.5
-6
(1)
(1)
星期三收盘时,每股是多少元?
(2)
(2)
本周内最高价是每股多少元?
最低价是多少元?
(3)
已知买进股票是付了1.5‰的手续费,卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易费,如果在星期五收盘前将全部股票一次性地卖出,他的收益情况如何?
(4)
以买进的股价为0点,用折线统计图表示本周该股的股价情况。
第二章整式的加减总复习
【知识点定义】
1、单项式
对数字和若干个字母施行有限次乘法运算,所得的代数式叫做单项式.单独一个数或一个字母也是单项式.
2、系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
3、单项式的次数
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
4、多项式
几个单项式的和叫做多项式.
5、多项式的项
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.
6、常数项
多项式中,不含字母的项叫做常数项.
7、多项式的次数
多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.
8、降幂排列
把一个多项式,按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列.
9、升幂排列
把一个多项式,按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列.
10、整式
单项式和多项式统称整式。
11、同类项
所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项,叫做同类项.常数项都是同类项.
12、合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
合并同类项的法则是:
同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.
13、去括号法则
括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变符号;
括号前是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变符号.
14、添括号法则
添括号后,括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号;
添括号后,括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号.
15、整式的加减
整式加减的一般步骤:
1.如果遇到括号,按去括号法则先去括号;
2.合并同类项.
16、代数式的恒等变形一个代数式用另一个与它恒等的表达式去代换,叫做恒等变形.
第三章《一元一次方程》综合复习指导
【知识点归纳】
一、方程的有关概念
1.方程:
含有未知数的等式就叫做方程.
2.一元一次方程:
只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程.例如:
1700+50x=1800,2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程.
3.方程的解:
使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.
注:
⑴方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.
二、等式的性质
等式的性质
(1):
等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等.用式子形式表示为:
如果a=b,那么a±
c=b±
c
(2)等式的性质
(2):
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,用式子形式表示为:
如果a=b,那么ac=bc;
如果a=b(c≠0),那么
=
三、移项法则:
把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.
四、去括号法则
1.括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.
2.括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.
五、解方程的一般步骤
1、去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
2、去括号(按去括号法则和分配律)
3、移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)
4、合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)
5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=
).
六、用方程思想解决实际问题的一般步骤
1、审:
审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系.
2.、设:
设未知数(可分直接设法,间接设法)
3、列:
根据题意列方程.
4、解:
解出所列方程.
5、检:
检验所求的解是否符合题意.
6、答:
写出答案(有单位要注明答案)
七、有关常用应用类型题及各量之间的关系
1、和、差、倍、分问题:
(1)倍数关系:
通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现.
(2)多少关系:
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
2、等积变形问题:
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为:
①形状面积变了,周长没变;
②原料体积=成品体积.
3、劳力调配问题:
这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:
(1)既有调入又有调出;
(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变
4、数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法:
一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)则这个三位数表示为:
100a+10b+c.
(2)数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;
偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;
奇数用2n+1或2n—1表示.
5、工程问题:
工程问题中的三个量及其关系为:
工作总量=工作效率×
工作时间
6、行程问题:
(1)行程问题中的三个基本量及其关系:
路程=速度×
时间.
(2)基本类型有
①相遇问题;
②追及问题;
常见的还有:
相背而行;
行船问题;
环形跑道问题.
7、商品销售问题
有关关系式:
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×
折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×
折扣率
8、储蓄问题
⑴顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税
⑵利息=本金×
利率×
期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×
税率(20%)
【典型例题】
一、一元一次方程的有关概念
例1.一个一元一次方程的解为2,请写出这个一元一次方程.
分析与解:
这是一道开放性试题,答案不唯一.如
x=1,x-2=0等等.
【点拨】解答这类开放性问题时要敢于大胆猜想,然后利用一元一次方程的定义与解来完成.
二、一元一次方程的解
例2.若关于
的一元一次方程
的解是
则
的值是()
A.
B.1C.
D.0
三、一元一次方程的解法
例4.
{
[
(x-1)-3]-3}=3
分析:
观察本题中各个系数的特点,可以选择由外到内去括号的方法,从而可以一次性去掉大括号和中括号,既简化了解题过程,又能避开一些常见解题错误的发生.
四、一元一次方程的实际应用
例5.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试:
同时开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供1680名学生就餐;
同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐.
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐;
(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校的5300名学生就餐?
请说明理由.
【点拨】第⑴问属于直接列方程解应用题,而第⑵问属于说理题,关键是求出这7个餐厅共能容纳多少人就餐,然后比较即可.
例6.工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;
按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元?
【点拨】这是销售问题,在解答销售问题时把握下列关系即可:
折数—商品进价
商品利润率=
×
100%
例7.(2006·
益阳市)八年级三班在召开期末总结表彰会前,班主任安排班长李小波去商店买奖品,下面是李小波与售货员的对话:
李小波:
阿姨,您好!
售货员:
同学,你好,想买点什么?
我只有100元,请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.
好,每支钢笔比每本笔记本贵2元,退你5元,请清点好,再见.
根据这段对话,你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗?
第四章图形认识初步
一、多姿多彩的图形
1.从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。
2.点、线、面、体
A.点:
线和线相交的地方。
B.线:
面和面相交的地方,线可分为直线、射线、线段
C.体:
正方体、长方体、圆柱、球等都是几何体,几何体简称体。
D.面:
包围着体的是面,面可分为平的面、曲的面。
二、直线、射线、线段
1.两点确定一条直线
2.当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交,
这个公共点叫做它们的交点。
3.两点之间,线段最短。
4.连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离。
三、角
1.有且只有一个角
2.把一个周角360等分,每一份就是一度的角,记做1°
﹔把1度的角60等分,每一份叫做1分的角,记作1′﹔把1分的角60等分,每一份叫做1秒的角,记作1″。
3.角的运算:
1周角=360°
,1平角=180°
1°
=60′,1′=60″
4.角的平分线:
A.从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线。
B.角平分线上的一点到角的两边距离相等。
四、线段、射线和直线的联系与区别
联系:
线段、射线、直线是部分与整体的关系.线段向一方无限延长形成了射线,向两个方向无限延长得到了直线.直线上的两点和它们之间的部分组成线段,直线上的一点及其一旁的部分是射线,射线反向延长得直线.
区别:
名称
延伸情况
有无长短
图示
表示法
端点个数
作图描述
备注
线段
不可延伸,有长短
线段a或线段AB(BA)
2个
连结AB
A、B两点无序
射线
向一个方向延伸,无长短
射线AB
1个
以A为端点作射线AB
A、B两点有序,端点在前,射线上一点在后
直线
向两个方向延伸
直线l或直线AB(BA)
无端点
过A、B两点作直线AB
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