优秀教案学年最新湘教版九年级上学期数学《解直角三角形》1教学设计文档格式.docx
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3.做一做:
在直角三角形ABC中,已知两边,你能求出这个直角三角形中其它的元素吗?
4.做一做:
在直角三角形ABC中,已知一角一边,你能求出这个直角三角形中其它的元素吗?
5.想一想:
在直角三角形ABC中,已知两角,你能求出这个直角三角形中其它的元素吗?
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,a=5.求∠B、b、c.
解:
∵∠B=90°
-∠A=60°
,
又∵tanB=b/a,
∴b=a·
tanB=5·
tan60°
=5
.
∵sinA=a/c,
∴c=a/sinA=5/sin30°
=10.
【归纳结论】像这样,在直角三角形中,利用已知元素求其余未知元素的过程,叫作解直角三角形.
7.在解直角三角形中,两个已知元素中至少有一条边.
【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素.这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢?
激发了学生的学习热情.
三、运用新知,深化理解
1.见教材P122例2.
2.已知在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,c=8
,∠A=60°
,求∠B、a、b.
a=csin60°
=8
·
/2=12,
b=ccos60°
1/2=4
∠B=30°
3.已知在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,a=3
,∠A=30°
,求∠B、b、c.
∠B=90°
-30°
=60°
b=atanB=3
3=92,
4.已知在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,c=
-2,a=
-1,求∠A、∠B、b.
5.已知在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,a=6,b=2
,求∠A、∠B、c.
由于tanA=ab,所以
则∠A=60°
,∠B=90°
-60°
=30°
,且有c=2b=2×
2
=4
6.在直角三角形ABC中,锐角A为30°
,锐角B的平分线BD的长为8cm,求这个三角形的三条边的长.
由已知可得△BCD是含30°
的直角三角形,
所以CD=1/2BD=1/2×
8=4(cm),
△ADB是等腰三角形,
所以AD=BD=8(cm),
则有AC=8+4=12(cm),
BC=ACcot60°
=12×
33=43(cm),
AB=(43)2+122=48+144=83(cm).
7.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°
,AC=6,折叠该纸片,使点C落在AB边上的D点处,折痕BE与AC交于点E,若AD=BD,则折痕BE的长为多少?
分析:
先根据图形翻折变换的性质得出BC=BD,∠BDE=∠C=90°
,再根据AD=BD可知AB=2BC,AE=BE,故∠A=30°
,由锐角三角函数的定义可求出BC的长,设BE=x,则CE=6-x,在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长.
∵△BDE是由△BCE翻折而成,
∴BC=BD,∠BDE=∠C=90°
∵AD=BD,
∴AB=2BC,AE=BE,
∴∠A=30°
在Rt△ABC中,
∵AC=6,
设BE=x,则CE=6-x,
在Rt△BCE中,
∵BC=2
,BE=x,CE=6-x,BE2=CE2+BC2,
∴x2=(6-x)2+(2
)2,解得x=4.
即BE=4.
【教学说明】解直角三角形是解实际应用题的基础,因此必须使学生熟练掌握.为此,教材配备了针对各种条件的练习,培养学生熟练解直角三角形和运算的能力.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:
教材“习题4.3”中第1、3、4题.
教学反思
解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,此题在处理时,首先,应让学生独立完成,培养其分析问题、解决问题能力,同时渗透数形结合的思想.其次,教师组织学生比较各种方法中哪些较好,选一种板演.
第1课时俯角和仰角问题
比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.
培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
选用恰当的直角三角形,分析解题思路.
海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°
的B处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25°
的C处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
你是如何想的?
与同伴进行交流.
【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用.
1.某探险者某天到达如图所示的点A处,他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗?
如图,BD表示点B的海拔,AE表示点A的海拔,AC⊥BD,垂足为点C.先测量出海拔AE,再测出仰角∠BAC,然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.
【归纳结论】当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫作仰角,在水平线下方的角叫作俯角.
2.如图,在离上海东方明珠塔底部1000m的A处,用仪器测得塔顶的仰角为25°
,仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度.(结果精确到1m)
在Rt△ABC中,∠BAC=25°
,AC=1000m,因此
tan25°
=BC/AC=BC/1000
∴BC=1000×
≈466.3(m),
∴上海东方明珠塔的高度(约)为466.3+1.7=468米.
【教学说明】利用实际问题承载数学问题,提高了学生的学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题,从而解决问题.
1.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200米,从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°
31′,求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米)
利用正弦可求.
在Rt△ABC中sinB=AC/AB
∴AB=AC/sinB=1200/0.2843≈4221(米)
答:
飞机A到控制点B的距离约为4221米.
2.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°
,看这栋高楼底部的俯角为60°
,热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
解析:
在Rt△ABD中,α=30°
,AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;
类似地可以求出CD,进而求出BC.
解:
如图,α=30°
,β=60°
AD=120.
答:
这栋高楼约高277.1m.
3.如图,在离树BC12米的A处,用测角仪测得树顶的仰角是30°
,测角仪AD高为1.5米,求树高BC.(计算结果可保留根号)
本题是一个直角梯形的问题,可以通过过点D作DE⊥BC于E,把求CB的问题转化求BE的长,从而可以在△BDE中利用三角函数.
过点D作DE⊥BC于E,则四边形DECA是矩形,
∴DE=AC=12米.CE=AD=1.5米.
在直角△BED中,∠BDE=30°
4.广场上有一个充满氢气的气球P,被广告条拽着悬在空中,甲乙二人分别站在E、F处,他们看气球的仰角分别是30°
、45°
,E点与F点的高度差AB为1米,水平距离CD为5米,FD的高度为0.5米,请问此气球有多高?
(结果保留到0.1米)
由于气球的高度为PA+AB+FD,而AB=1米,FD=0.5米,故可设PA=h米,根据题意,列出关于h的方程可求解.
设AP=h米,
∵∠PFB=45°
∴BF=PB=(h+1)米,
∴EA=BF+CD=h+1+5=(h+6)米,
在Rt△PEA中,PA=AE·
tan30°
∴h=(h+6)tan30°
∴气球的高度约为PA+AB+FD=8.2+1+0.5=9.7米.
【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题;
根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边,本题已知什么,求什么.
教材“习题4.4”中第2、4、5题.
本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题,对于这些问题,一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题,另一方面,针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决.
第2课时坡度和方位角问题
1.了解测量中坡度、坡角的概念;
2.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长的有关实际问题.
通过对例题的学习,使学生能够利用所学知识解决实际问题.
进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长有关的实际问题.
能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长的有关实际问题.
如图所示,斜坡AB和斜坡A1B1,哪一个倾斜程度比较大?
显然,斜坡A1B1的倾斜程度比较大,说明∠A1>∠A.
即tanA1>tanA.
【教学说明】通过实际问题的引入,提高学生学习的兴趣.
1.坡度的概念,坡度与坡角的关系.
如上图,这是一张水库拦水坝的横断面的设计图,坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比),记作i,即i=AC/BC,坡度通常用l∶m的形式,例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角,记作α.从三角函数的概念可以知道,坡度与坡角的关系是i=tanB,显然,坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.
2.如图,一山坡的坡度为i=1∶2,小刚从山脚A出发,沿山坡向上走了240米到达点C,这座山坡的坡角是多少度?
小刚上升了多少米?
(角度精确到0.01°
,长度精确到0.1米)
3.如图,一艘船以40km/h的速度向正东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°
方向上,继续航行1h到达B处,这时测得灯塔C在北偏东30°
方向上,已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全?
【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么,将图形中的信息转化为图形中的已知条件,再分析图形求出问题.学生独立完成.
1.如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°
,求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m).
引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形.
已知:
在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=5.5,∠A=24°
,求AB.
在Rt△ABC中,cosA=AC/AB,
∴AB=AC/cosA=5.5/0.9135≈6.0(米)
斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.
2.同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:
如图水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).
作BE⊥AD,CF⊥AD,在Rt△ABE和Rt△CDF中,
BE/AE=1/3,CF/FD=1/2.5
∴AE=3BE=3×
23=69(m).
FD=2.5CF=2.5×
23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
因为斜坡AB的坡度i=tanα=1/3≈0.3333,
所以α≈18°
26′.
∵BE/AB=sinα,
∴AB=BE/sinα=23/0.3162≈72.7(m).
斜坡AB的坡角α约为18°
26′,坝底宽AD为132.5米,斜坡AB的长约为72.7米.
3.庞亮和李强相约周六去登山,庞亮从北坡山脚C处出发,以24米/分钟的速度攀登,同时,李强从南坡山脚B处出发.如图,已知小山北坡的坡度i=1∶
,山坡长为240米,南坡的坡角是45°
.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A?
(将山路AB、AC看成线段,结果保留根号)
过点A作AD⊥BC于点D,
李强以12
米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.
4.某公园有一滑梯,横截面如图所示,AB表示楼梯,BC表示平台,CD表示滑道.若点E,F均在线段AD上,四边形BCEF是矩形,且sin∠BAF=2/3,BF=3米,BC=1米,CD=6米.求:
(1)∠D的度数;
(2)线段AE的长.
(1)∵四边形BCEF是矩形,
∴∠BFE=∠CEF=90°
,CE=BF,BC=FE,
∴∠BFA=∠CED=90°
∵CE=BF,BF=3米,
∴CE=3米,
∵CD=6米,∠CED=90°
∴∠D=30°
(2)∵sin∠BAF=2/3,∴BFAB=2/3,∵BF=3米,∴AB=92米,
5.日本福岛发生核电站事故后,我国国家海洋局高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海检船,在相关海域进行现场监测与海水采样,针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估.如图,上午9时,海检船位于A处,观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°
方向,海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶,下午2时海检船到达B处,这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°
方向,求此时海检船所在B处与城市P的距离.
(参考数据:
sin36.9°
≈35,tan36.9°
≈34,sin67.5°
≈1213,tan67.5°
≈125)
过点P作PC⊥AB,构造直角三角形,设PC=x海里,用含有x的式子表示AC,BC的值,从而求出x的值,再根据三角函数值求出BP的值即可解答.
过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x海里.
在Rt△APC中,∵tanA=PCAC,
∴AC=PC/tan67.5°
=5x/12
在Rt△PCB中,∵tanB=PC/BC,
∴BC=x/tan36.9°
=4x/3
∵从上午9时到下午2时要经过五个小时,
∴AC+BC=AB=21×
5,
∴5x/12+4x/3=21×
解得x=60.
∵sin∠B=PC/PB,
∴PB=PC/sinB=60sin36.9°
=60×
5/3=100(海里)
∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里.
【教学说明】通过练习,巩固本节课所学内容.
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
教材“习题4.1”中第1、6、7题.
通过本节课的学习,使学生知道坡度、坡角的概念,能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题,特别是与梯形有关的实际问题,懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.
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