高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版.doc
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2013湖南文科数学第1页数学文史类数学文史类一、选择题:
本大题共一、选择题:
本大题共99小题,每小题小题,每小题55分,共分,共4545分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的1复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2“1x2”是“x2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n()A9B10C12D134已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f
(1)g
(1)2,f
(1)g
(1)4,则g
(1)等于()A4B3C2D15在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB3b,则角A等于()A3B4C6D126函数f(x)lnx的图象与函数g(x)x24x4的图象的交点个数为()A0B1C2D37已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于()A32B1C212+D28已知aa,bb是单位向量,abab0.若向量cc满足|ccaabb|1,则|cc|的最大值为()A21B2C21+D22+9已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使APB的最大边是AB”发生的概率为12,则ADAB()A12B14C32D74二、填空题:
本大题共二、填空题:
本大题共66小题,每小题小题,每小题55分,共分,共3030分分10已知集合U2,3,6,8,A2,3,B2,6,8,则(UA)B_.11在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:
21xsys=+=(s为参数)和直线l2:
21xatyt=(t为参数)平行,则常数a的值为_12执行如图所示的程序框图,如果输入a1,b2,则输出的a的值为_13若变量x,y满足约束条件28,04,03,xyxy+则xy的最大值为_14设F1,F2是双曲线C:
22221xyab=(a0,b0)的两个焦点若在C上存在一点P,使PF1PF2,且PF1F230,则C的离心率为_15对于Ea1,a2,a100的子集X1ia,2ia,kia,定义X的“特征数列”为x1,x2,2013湖南文科数学第2页x100,其中xi1xi2xik1,其余项均为0.例如:
子集a2,a3的“特征数列”为0,1,1,0,0,0.
(1)子集a1,a3,a5的“特征数列”的前3项和等于_;
(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,p100满足p11,pipi11,1i99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,q100满足q11,qjqj1qj21,1j98,则PQ的元素个数为_三、解答题:
本大题共三、解答题:
本大题共66小题,共小题,共7575分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(本小题满分12分)已知函数f(x)cosxcos3x.
(1)求23f的值;
(2)求使f(x)14成立的x的取值集合17(本小题满分12分)如图,在直棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,ABAC2,AA13,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动
(1)证明:
ADC1E;
(2)当异面直线AC,C1E所成的角为60时,求三棱锥C1A1B1E的体积18(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:
kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米
(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;Y51484542频数4
(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率19(本小题满分13分)设Sn为数列an的前n项和,已知a10,2ana1S1Sn,nNN*.
(1)求a1,a2,并求数列an的通项公式;
(2)求数列nan的前n项和20(本小题满分13分)已知F1,F2分别是椭圆E:
25xy21的左、右焦点,F1,F2关于直线xy20的对称点是圆C的一条直径的两个端点
(1)求圆C的方程;
(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b,当ab最大时,求直线l的方程21(本小题满分13分)已知函数f(x)211xx+ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:
当f(x1)f(x2)(x1x2)时,x1x20.2013湖南文科数学第3页数学(文史卷)一、选择题:
本大题共9小题,每小题5分,共45分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1答案:
答案:
B解析:
解析:
zi(1i)i11i,故选B2答案:
答案:
A解析:
解析:
“1x2”能推出“x2”成立,但“x2”不能推出“1x2”成立,故选A3答案:
答案:
D解析:
解析:
抽样比为316020=,所以甲抽取6件,乙抽取4件,丙抽取3件,n13,故选D4答案:
答案:
B解析:
解析:
f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f
(1)g
(1)2,即f
(1)g
(1)2.f
(1)g
(1)4,即f
(1)g
(1)4.由得g
(1)3,故选B5答案:
答案:
A解析:
解析:
2asinB3b,2sinAsinB3sinBsinB0,sinA32.A0,2,A3.故选A6答案:
答案:
C解析:
解析:
利用图象知,有两个交点故选C7答案:
答案:
D解析:
解析:
如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的俯视图为ABCD,侧视图为BB1D1D,此时满足其面积为2,故该正方体的正视图应为AA1C1C又因AC2,故其面积为2.8答案:
答案:
C解析:
解析:
可利用特殊值法求解可令aa(1,0),bb(0,1),cc(x,y)由|ccaabb|1,得22111xy()+()=,(x1)2(y1)21.|cc|即为22xy+,可看成M上的点到原点的距离,|cc|max|OM|121+.故选C2013湖南文科数学第4页9答案:
答案:
D解析:
解析:
如图,设AB2x,AD2y.由于AB为最大边的概率是12,则P在EF上运动满足条件,且DECF12x,即ABEB或ABFA223222xyx=()+,即4x24y294x2,即74x24y2,22716yx=.74yx=.又2724ADyyABxx=,故选D二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分10答案:
答案:
6,811答案:
答案:
4解析:
解析:
l1的普通方程为:
x2y1,l2的普通方程为:
xa12y+,即22aaxy=+,a4.12答案:
答案:
9解析:
解析:
输入a1,b2,不满足a8,故a3;a3不满足a8,故a5;a5不满足a8,故a7;a7不满足a8,故a9,满足a8,终止循环输出a9.13答案:
答案:
6解析:
解析:
画出可行域,令zxy,易知z在A(4,2)处取得最大值6.14答案:
答案:
31+解析:
解析:
如图所示,PF1PF2,PF1F230,可得|PF2|c.由双曲线定义知,|PF1|2ac,由|F1F2|2|PF1|2|PF2|2得4c2(2ac)2c2,即2c24ac4a20,即e22e20,2232e=,13e=+.15答案:
答案:
(1)2
(2)17解析:
解析:
(1)a1,a3,a5的特征数列为1,0,1,0,1,0,0,前3项和为2.
(2)根据题意知,P的特征数列为1,0,1,0,1,0,则Pa1,a3,a5,a99有50个元素,Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1,则Qa1,a4,a7,a10,a100有34个元素,PQa1,a7,a13,a97,共有1971617个三、解答题:
本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2013湖南文科数学第5页16解:
解:
(1)22coscos333f=coscos3321124=.
(2)f(x)cosxcos3xcosx13cossin22xx+12cos2x32sinxcosx14(1cos2x)34sin2x11cos2234x+.f(x)14等价于111cos22344x+,即cos203x.于是2k22x32k32,kZZ.解得k512xk1112,kZZ.故使f(x)14成立的x的取值集合为511|,1212xkxkk+Z.17
(1)证明:
因为ABAC,D是BC的中点,所以ADBC又在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1平面ABC,而AD平面ABC,所以ADBB1.由,得AD平面BB1C1C由点E在棱BB1上运动,得C1E平面BB1C1C,所以ADC1E.
(2)解:
解:
因为ACA1C1,所以A1C1E是异面直线AC,C1E所成的角,由题设,A1C1E60,因为B1A1C1BAC90,所以A1C1A1B1,又AA1A1C1,从而A1C1平面A1ABB1,于是A1C1A1E.故C1E1122cos60AC=,又B1C1221111ACAB+2,所以B1E22111CEBC2,从而111CABEV三棱锥1113ABESA1C1112222323=.18解:
解:
(1)所种作物的总株数为1234515,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作2013湖南文科数学第6页物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株列表如下:
Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为51248445642315+10219227012615+6901546.
(2)由
(1)知,P(Y51)215,P(Y48)415.故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48kg的概率为P(Y48)P(Y51)P(Y48)24215155+=.19解:
解:
(1)令n1,得2a1a1a12,即a1a12.因为a10,所以a11.令n2,得2a21S21a2.解得a22.当n2时,由2an1Sn,2an11Sn1两式相减得2an2an1an.即an2an1.于是数列an是首项为1,公比为2的等比数列因此,an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.
(2)由
(1)知,nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn,于是Bn122322n2n1,2Bn12222323n2n.得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.20解:
解:
(1)由题设知,F1,F2的坐标分别为(2,0),(2,0),圆C的半径为2,圆心为原点O关于直线xy20的对称点设圆心的坐标为(x0,y0),由00001,2022yxxy=+=解得002,2.xy=所以圆C的方程为(x2)2(y2)24.
(2)由题意,可设直线l的方程为xmy2,则圆心到直线l的距离2|2|1mdm=+.所以2224221bdm=+.2013湖南文科数学第7页由222,15xmyxy=+=得(m25)y24my10.设l与E的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1y2245mm+,y1y2215m+.于是22
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