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10.150.20.15求随机变量Z=sin/T(X+r)的数学期望。
例9国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位:
吨),它服从[2000,4000]上的均匀分布.设每售出这种商品一吨,可为国家挣得外汇3千元,但如果销售不出二积压于仓库,则每吨需花费保养及其它各种损失费用1千元,问需要组织多少货源,才能使国家的收益期望最大?
例10—机场班车载有20位旅客自机场开出旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有祐下车就不停车以X表示停车的次数求0X)(设每位旅客在各个车站F车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).
4.2
例1设X为掷一颗骰子出现的点数,试求D(X)
例2:
设随机变量X具有数学期望方差D(X)=bG0,=
证明:
E(X*)=0,D(X*)=1,称X*为X的标准化变量b
例3赵〜N(50,l),Y〜N(60,4),X与Y独立,=3X-2丫一10,求P{Z>
10}
例4设活塞的直径(以cm计)X〜N(22.40,0.03‘),
气缸的直径丫〜N(22.50,0.042),X,Y相互独立任取一只活塞任取一只气缸求活塞能装入气缸的概率
例5设X』独立同分如N(2,4),试求:
(1)X-丫的分布
(2)E\X-Y\^3)D\X-Y\
4.3
例1设(X,Y)〜N趴心试求X与丫的
相关系数
例2已知随机变耿分别服从/V(l,32),/V(0,4‘),
Pxy=—\【2,设Z=X/3+y/2.
例3设随机变童(x,y)具有概率密度
社2严0<
y<
f^y)=[0'
其它求E(X),E(Y),C"
(X』),Q“
第五章
5.1
**厶徹第tutI
求I=£
g(xXx的值
我们介绍均值法,步骤是
1)产生在(0,1)上均匀分布的随机数G
2)计算g(R,〃=1,2,…“
3)用平均值近似积分值
_1“
即
!
MIH回
例1设有一大批种子,其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与1/6比较上下小于1%的概率.
例2设每次试验中,事件4发生的概率为0.75,试用Chebyshev不等式估计,//多大时,才能在“次独立重复试验中,事件4出现的频率在0.74~0.76之间的概率大于0.90?
5.2
例1炮火轰击敌方防御工事100次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望
为2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击
(1)至少命中180发炮弹的概率;
⑵命中的炮弹数不到200发的概率.
例2—加法器同时收到20个噪声电压匕•
(R=1,2,…20),设它们是相互独立的随n变量,
且都在区间(0,1)上服从均匀分布记V=空匕,
k=l
求P{V>
105}的近似值
例3某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的槪率.
例4对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布・
(1)求参加会议的家长数X超过450的概率;
(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.
例5售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了100份报时过路人的数目,求P(280<
XV320)・
例6检验员逐个检査某产品,每査一个需用10秒钟.但有的产品需重复检査一次,再用去10秒钟.若产品需重复检査的概率为0.5,求检验员在8小时内检査的产品多于1900个的概率.
例7某车间有200台车床,每台独立工作,开工率为0.6.开工时每台耗电童为「千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产?
例8设有一批种子,其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种比例与1/6比较上下不超过1%的概率.
例9设随机变量相互独立且
在区间(-1,1)±
服从均匀分布(i=l,2,…,“),试
证当"
充分大时,随机变量Zn=-±
X;
近似服从
"
1=1
正态分布,并指出其分布参数
第四、五章习题
例1
设X服从几何分布它的分布律为
P{X=R}=(1-p)ip,*=1,2,,求E(X)和D(X)・
例2从数字0,1,2,…,〃中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望.
例3
(1)设随机变量X的分布律为
6
Pk
3/12
4/12
5/12
求E(X),E[ln(X+2)]・
⑵设X~JT(/l),求E[(X+1)T].
(3)设随机变量X的概率密度为
x,0<
1,f(x)=<
2-x,l<
x<
2,
0,其他.
求E(X2).
例4设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度
函数为心
[o,其他
求(X,y)的协方差矩阵及相关系数.
例5设随机变量x和y相互独立,且都服从标准
正态分布,求Z=ylx2+Y2的数学期望例6甲、乙两人相约于某地£
12:
00〜13「00会面,
设分別是甲、乙到达的时间,且设X和Y相互独
立,己知X,丫的概率密度分别为
其他.
求先到达者需要等待用时间的数学期望例7计算器在进行加法时,将每个加数舍入最靠近它的整数,设所有误差相互独立且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布.
(1)将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?
(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?
例8售报员在报摊上卖报,己知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了
100份报时过路人的数目,求P(280<
X<
320).
例9有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m、现从这批木柱中随机地取100根,求其中至少有30根短于3m的概率.
例10某医院一个月接受破伤孔患者的人数是一
个随机变量,它服从参数2=5的泊松分布,各月
接受破伤风患者的人数®
互独立•求一年中前9
个月内接受的患者
(1)40人〜50人;
⑵多于30人
的概率.
第_章__
例3化简事件(丽UC)AC
例1小王参加某智力游戏节目,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0丄求小王
(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率
(2)至少有一类问题能答出的概率
(3)两类问题都答不出的概率
例1中小王他能答出第一类问题的概
率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两
类问题都能答出的概率为0丄为什么不是0.7*0.2?
例2设A.B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下,P(AB)取得最大(小)值?
最人(小)值是多少?
例1(分房模型)设有k个不同的球,每个球等可能地落入N个盒子中(k<
=N),设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率
(1)某指定的k个盒子中各有一球:
(2)某指定的一个盒子恰有川个球(m<
=k)
(3)某指定的一个盒子没有球;
(4)恰有k个盒子中各有一球;
(5)至少有两个球在同一盒子中:
(6)每个盒子至多有一个球.
例5“分房模型”的应用
生物系二年级有"
个人,求至少有两人生口相同(设为事件A)的概率.
例2袋中有d只白球,b只红球,从袋中按不放回与放回两种方式取川个球(m<
=a+b),求其中恰有k个(k<
=a,k<
=m)白球的概率
例3在0,1,23,,9中不重复地任取四个数,求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.
例4在1,2,3,,9中重复地任取"
(n>
=2)个数,求n个数字的乘积能被10整除的概率.
例5在1-2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?
例6某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的
例8某人的表停了,他打开收音机听电台报时,已知电台是整点报时的,问他等待报时的时间短于十分钟的概率
例9(会面问题)甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(t<
T)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.
例9甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间/(『<
丁)后离去•设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.
例10两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时,试求在一昼夜内,任一船到达时,需要等待空出码头的概率.
例将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问
(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?
(2)3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?
例1一盒子装有4只产品,其中有3只一等品、1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”.试求条件概率P(B|A).
例3某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.&
能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率.
例4从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞.求2张都是假钞的概率.
例5盒中装有5个产品,其中3个一等品,2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求
(1)取两次,两次都取得一等品的概率;
(2)取两次,第二次取得一等品的概率;
(3)取三次,第三次才取得一等品的概率;
(4)取两次,已知第二次取得一等品,求第一次取得的是二等品的概率
例6设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落卞未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落卞未打破,第三次落卞打破的概率为9/10.试求
透镜落下三次而未打破的概率.
例7有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,
三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中
任取一件是次品的概率是多少?
例8每100件产品为一批,已知每批产品中次品数不超过4件,每批产品中有f件次品的概率为
i01234
P0.10.20.40.20.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格,否则就认为这批产品合格.求
(1)一批产品通过检验的概率;
(2)通过检验的产品中恰有f件次品的概率.
例9根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试
验具有如下的效果:
若以A表示事件“试验反应为阳性”,以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则有P(A\C)=0.95,P(平)=0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌融概率为0.005,即P(C)=0.005,试求P{C\A).
例10(选择题的合理性)现在几乎所有的考试试卷中,都会有选择题.一般地,每个选择题有4个答案,其中只有1个是正确的.当学生不会做时可以随机猜测,假如一个学生会做题与不会做题的概率相等.现在从卷面上看该题答对了,求此学生确实会做该题的概率.
例11对以往数据分析结果表明,当机器调整得
良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%•每天早上机器开动时,机器调整良好的概率知5%.试求己知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少?
例1已知袋中有5只红球,3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.设第i次取得白球为事件如(/=1,2).求
p(A),p(a2|aj,
例3—个均匀的正四面体,其第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色•现以A,B,C分别记投一次四面体出现红、白、照颜色朝下的爭件,问A,B,C是否相互独立?
已知事件A,B,C相互独立,证明事件
伽甲、乙两人进行乒乓球:
匕赛,每局甲胜的
概率为p(p>
l/2),问对甲而言釆用三局二胜制
有利,还是采用五局三胜制毎0•设各局胜负相
互独立
例5同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点数分别为7与11的概率.
例7甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.
例8要验收一批(100件)乐器.验收方案如下:
自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的),如呆3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;
而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.如呆已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少?
例3设随机变量X的分布函数为
F(x)=A+Barctgx(-00<
-ko)
试求常数A,B
例4一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离。
试求随机变量X的分布函数第二章
例1从1〜10这10个数字中随机取出5个数字,令X表示取出的5个数字中的最人值.试求X的分布律
例2设一汽车在开往目的妞的道路上需经过四
组信号灯,每组信号灯如的概率禁止汽
车通过以x表示汽车首次停下时;
它已通过的信
号灯的组数(设各组信号灯的工作慰目互独立的),
求X的分布律
例3设随机变量X的分布律为
-123
111
424
125
求X的分布函数,并求P{X<
-},P{-<
-},
222
P{1<
3}.
例4设某人进行射击,每次的命中率为0.4,现独立射击10次,问:
(1)命中3枪的概率是多少?
(2)至多命中3枪的概率是多少?
例5—根布条上的疵点数X服从参数为2=0.5的泊松分布,试求:
(1)此棉条上有2个疵点的概率是多少?
(2)此棉条上至少有2个疵点的概率是多少?
例6有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?
例8设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由四人维护,每人负贵20台;
其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的人小.
实例设某批产品的次品率为卩,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数X是一个随机变量,求X的分布律.
设随机变量X具有概率密度
kx90VxV3,
3K4,
其它.
(1)确定常
(2)求X的分布函数
7
⑶求
例设连续型随机变量X的分布函数为
Qx<
-a,
xF(x)=<
4+Baicsin—,-a<
ci.
1,x>
CL
求:
(1)系数AB的值;
(3)随机变量X的概率密度
.求R的概率密度及R
例3设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900~1100落在950~1050的概率.
例4设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现
对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值
大于3的概率.
例将一温度调节器放置辄:
存着某种液体的
容器内.调节器整定在d°
C,液体的温度X(以。
C计)是一个随机变量,且X〜N(d,0.5)
⑴若d=90、求X小于89的概率
(2)若要求保持液体的温鯉少为8(TC的概率不低于0.99,问d至少为多少。
例设随机变量X的概率密度为
0,
x>
0.
求随机变量Y=X2和Y=2X+3的概率密度
例己知随机变量X的概率密度为f(x)=4»
卜1,-co<
x<
+s.
(1)求系数A;
(2)求X的分布函数F(x);
(3)求Y=X2的概率密度
例设离散型随机变量X的分布函数为
XV—1,-1<
X<
1,
1<
2,
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