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差分方法基础
第二讲有限差分法基本原理
一般的流体控制方程都是非线性的偏微分方程。
在绝大多数情况下,这些偏微分方程无法得到精确解;而CFD就是通过采用各种计算方法得到这些偏微分方程的数值解,或称近似解。
当然这些近似解应该满足一定的精度。
目前,主要采用的CFD方法
是有限差分法和有限体积法。
本讲主要介绍有限差分法,它也是下一讲中的有限体积法的基础[1]。
有限差分法求解流动控制方程的基本过程是:
首先将求解区域划分为差分网格,用有限个网格点代替连续的求解域,将待求解的流动变量(如密度、速度等)存储在各网格点上,并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替,从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程,得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。
求出该差分方程组的解,也就得到了网格点上流动变量的数值解。
2.1差分和逼近误差
由于通常数字计算机只能执行算术运算和逻辑运算,因此就需要一种用算术运算
来处理函数微分运算的数值方法。
而有限差分法就是用离散网格点上的函数值来近似导数的一种方法。
设有x的解析函数y二f(x),从微分学知道函数y对x的导数为
dy、dx分别是函数及自变量的微分,dy/dx是函数对自变量的导数,又称微商。
相
应地,上式中的“、厶y分别称为自变量及函数的差分,cy/^x为函数对自变量的差商。
在导数的定义中是以任意方式逼近于零的,因而.収是可正可负的。
在差分方法中,“X总是取某一小的正数。
这样一来,与微分对应的差分可以有三种形式:
向前差分
二y=f(x二x)_f(x)
向后差分
y=f(x)_f(x
中心差分
11
y二f(xx)_f(xx)
22
上面谈的是一阶导数,对应的称为一阶差分。
对一阶差分再作一阶差分,就得到
二阶差分,记为
2y。
以前向差分为例,有
2Ay=也(也y)
=.'■:
f(x_x)-f(x)1
=.f(x-x)-■:
f(x)(2-2)
-f(x2=x)一f(x=x)I-If(x_x)-f(x)1
=f(x2lx)-2f(x=x)f(x)依次类推,任何阶差分都可以由低一阶再作一阶差分得到。
函数的差分与自变量的差分之比,即为函数对自变量的差商。
如一阶向前差商为
.:
yf(x,;x)-f(x)
lxlx
一阶向后差商为
:
yf(x)-f(x;x)
lxlx
一阶中心差商为
11
Ay心+許)-亡-严)
xx
或
制f(x:
x)—f(x—:
x)
=x2=x
二阶差商多取中心格式,即
•2y_f(x:
x)—2f(x)f(x—:
x)
£一Gxf
图2.1差商与导数的关系
差商与导数的关系可见图2.1。
由导数(微商)和差商的定义知道,当自变量的差分(增量)趋近于零时,就可以由差商得到导数。
因此在数值计算中常用差商近似代替导数。
差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度,称为逼近误差。
由函数的Taylor展开,可以得到逼近误差相对于自变量差分(增量)的量级,称为用差商代替导数的精度,简称为差商的精度。
现以一阶向前差商为例来分析其精度。
将函数f(x•AX)在x的厶X邻域作Taylor
展开:
将上式代入一阶向前差商表达式中,有
=f(x)0(=x)
这里符号0()表示与括号中的量有相同的量级。
上式表明一阶向前差商的逼近误差与自变量的增量为同一量级。
把0(.\xn)中h的指数作为精度的阶数。
这里n=1,故一阶向前差商具有一阶精度。
由于-x是个小量,因此阶数越大精度越高。
采用同样的办法可知一阶向后差商也具有一阶精度。
对于一阶中心差商,将函数f(x:
lx)与f(x-.ix)在x的Ax邻域作Taylor展开并代入一阶中心差商的表达式中,有
f(xX)f(x」x)=f(x).0(C:
x)2)(2-3)
2x
可见一阶中心差商具有二阶精度。
同样,二阶中心差商的精度也为二阶。
2.2差分方程、截断误差和相容性
从上节所述可知,差分相应于微分,差商相应于导数。
只不过差分和差商是用有限形式表示的,而微分和导数则是以极限形式表示的。
如果将微分方程中的导数用相
图2.2网格划分
应的差商近似代替,就可以得到有限形式的差分方程。
现以对流方程(2-4)为例,
列出相对应的差分方程。
划分出矩形网格,如图2.2所示。
这里:
x和厶t取常数。
直线t=tn称为第n层,网格交叉点称为结点。
网格点划定后,就可针对某一结点,例如图2.2中的结点(Xi,tn),用差商近似代
替导数。
现用():
表示括号内函数在(x,tn)点的值,则对流方程在该点为
n"1n
Ui-Ui
如果时间导数用一阶向前差商近似代替:
At
空间导数用一阶中心差商近似代替:
则对流方程在(X「tn)点对应的差分方程为
nTnnn
(2-6)
ui7fu—0
t2x
按照前面关于逼近误差的分析知道,用时间向前差商代替时间导数的误差为
0(氏),用空间中心差商代替空间导数时的误差为O@x)2),因而对流方程与对应的
差分方程之间也存在一个误差,这一误差可由Taylor展开确定,即
这种用差分方程近似代替微分方程所引起的误差,称为截断误差。
这里误差量级相当
于强的一次式、IX的二次式
一个与时间相关的物理问题,应用微分方程表示时,还必须给定初始条件,从而
形成一个完整的初值问题。
对流方程的初值问题为
它U丄cu-
(2-8)
——+a——=0
戲ex
u(x,O)=U(x)
这里u(x)为某已知函数。
同样,差分方程也必须有初始条件:
i
"n彳1nnn
Ui-UiUii—Uid
—^o:
-^=O(2-9)
IUi0=u(x)
初始条件是一种定解条件,差分方程和其定解条件一起,称为相应微分方程定解问题的差分格式。
将式(2-9)中第n1时间层的量放在等号左边,将其余时间层的量放在等号右边,有
n卅nnn
Ui-Ui.Ui1-Ui
At
Ui=U(xJ
同样,将第n1时间层的量放在等号左边,将其余时间层的量放在等号右边,有
(2-12)
该格式称为FTFS格式。
若时间米用向前差分、空间米用向后差分,则得到FTBS格式:
(2-13)
观察这三种差分格式,可以看出若知道第n时间层的u,则可以由一个差分式子直接算出第n1时间层的u,称这类格式为显式格式。
差分方程的相容性:
如果当x、氏>0时,此差分方程的截断误差的某种范数
也趋近于零,则表明从截断误差的角度来看,此差分方程是能用来逼近微分方程的,通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容。
2.3收敛性和稳定性
当步长趋于零时,要求差分格式的解趋于微分方程的解,称这种是否趋于微分方程定解问题的解的情况为差分格式的收敛性。
在有限差分法的具体运算中,计算误差总是不可避免的,如舍入误差,以及这种误差的传播、积累。
如果这一误差对以后的影响越来越小,或是这个误差保持在某个限度内,那么就称这个差分格式在给定的条件下稳定。
根据理论分析可以知道,上面介绍的几种差分格式是条件稳定的。
2.4差分格式介绍
241迎风格式
前面已经指出,微分问题
;:
U;:
U门
I+a=0
;x
u(x,0)=u(x)
条件下稳定。
这里,当a的符号改变时,为了使差分格式稳定,空间差分的方向也作
了相应的变化。
由于a是与速度对应的量,a的正负表示速度方向的不同,即表示流(风)向:
a为正,看作风向沿着正方向吹;a为负,则风朝着负方向吹。
而迎着方向往上游取空间差分,所得到的差分格式才可能是稳定的。
因为对流方程a■0时的波形传播方向沿x轴正向,上游的量经过一段时间要传播到下游,n1时刻i站的量要
受到上游站n时刻量的影响,故只可以迎着风向取空间差分,而不可以顺着风向取空间差分。
这种格式是迎着风向往上游作差分所得到的,称为迎风格式。
上述FTBS格
式和FTFS格式都必须在迎风时有条件稳定。
2.4.2隐式格式
前面介绍的显式格式往往是有条件稳定的,甚至完全不稳定。
如FTCS是完全不
稳定的,FTBS格式是条件稳定的。
对于FTBS格式,在a0和乞1的条件下稳定,
Ax
•_x
即要求氏乞,当要求空间步长x很小时,时间步长也必须取的很小,才能保证格
a
式稳定,而氏取得小,计算工作量就大大增加,经济上也不合算。
而本节将要介绍的
隐式格式常常是无条件稳定的,因此在许多情况下受到重视并被广泛应用。
隐式格式相当于从(x,tn+也t)点出发,用时间的向后差分把第n+1时间层的量与已知时间层的量联系起来。
现以对流方程为例,从(Xj,tnrt)点出发取BTCS差分可得
n1nn/n-1
Ui-UiUi.1-Ui」
■:
t2x
或改写为
a.;:
tn1n1a^tn1n
UiJ-UiUi1Ui(2-?
2Ax2Z
由于该方程含有三个第n1时间层上的函数值,即一个方程含有三个未知量,必须解联立方程才能得到第n,1时间层上的未知量,故称该格式为隐式格式。
可以证明,用于对流方程的隐式格式是完全稳定的。
由于完全稳定,时间步长可以取得大些,从这一点来说,工作量减少了。
但隐式格式要解代数联立方程组,在每一时间步长内工作量有所增加。
2.5耗散与色散
现以对流方程为例,采用时间向前差分、空间向后差分:
n讣1n
(2-16)
Ui-Ui
:
t
利用Taylor展开,得到:
上式就是差分方程(2-16)实际所模拟的微分方程,与原对流方程相比,多了二次导数项和三次导数项。
一般说:
截断误差中含偶次导数项时,将引起耗散。
在流体力学方程中,二次导数项是与粘性项相关的。
不同的是,在这里该项是差分方程数值离散的结果,因此纯粹的数值引发,没有物理意义。
因此,在CFD方法中,类似的项被称
为数值耗散。
相似的,该项的系数,即;aAx(1-r),其作用类似于物理粘性,因而被称为人工粘性。
虽然数值耗散损害了计算精度,但却改善了计算的稳定性。
因此,很多不稳定的计算格式或显式、或隐含地添加了人工粘性后,就变得稳定了。
同样,在截断误差中还含奇次导数项,该项将引起数值色散。
最后,总结一下有限差分法的优缺点。
优点:
有限差分法只须构造偏导数的离散方法,这使得它比较容易推广到高阶精度。
缺点,只能在直角网格上进行差分离散,需要物理空间到计算空间的坐标变换,使控制方程变得更为复杂,同时当进行复杂外形流动计算时带来网格划分的不便。
参考文献
[1]顾尔祚•有限差分法基础•上海:
上海交通大学出版社,1988.
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