高考研究报告--函数零点.doc
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高考研究报告--函数零点.doc
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函数零点问题的探究
近年来,江苏高考始终保持对函数与导数部分的重点考查.函数的零点问题几乎是必考内容.高考中涉及到零点问题的有2013年江苏第19题,2014江苏第13题,2015年第13和第19题,2016年第19题,2017年第20题.此外还有2016年山东第15题,天津第14题,全国(II)第12题,全国(I)第21题,北京第20题,广东第19题,北京第14题,湖南第15题,天津第14题等.考题多以偏难或难题形式呈现.突破这一难点成为我们考得高分的有力保障.经过搜集、研究、思考与总结,我把自己对这一类问题研究的方法介绍给大家,为大家在高考中解决这类问题提供力所能及的一点帮助.
一、引题
(2013江苏高考)设函数,,其中为实数.
(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
二、借助高等数学,分离参数,数形结合
例题1(改编2013江苏高考)已知函数有两个零点,则实数的取值范围为
分析:
分离参数得,转化为研究函数与函数的交点有两个时,求的取值范围.画出函数的图像,采用数形结合的方法.
一个认识:
当,时,,比如常见.
这里,用到了高等数学中一个重要的法则——罗比塔法则(L'Hopital)
设函数和满足下列条件:
①时,;
②在点的某去心邻域内和都可导,且的导数不等于0;
③时,存在或为无穷大.则时,.
注:
(1)本定理所有条件中,对的情况,结论依然成立.
(2)本定理第一条件中,时,结论依然成立.
罗比塔法则的简要运用:
如果,,,那么.或者,
如果,,,那么.
变式1.(市摸底第20题改编)若对于任意,恒成立,则的取值范围为
变式2.(周练十一第23题改编)若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围为
试一试:
已知函数,当时恒成立,则实数的取值范围为
当然我们也可以采用其它的办法(如数形结合,零点存在性定理等).
三、巧用放缩,轻松使用零点存在性定理
解答题中,使用数形结合不得分或少得分的问题摆在我们面前.比如:
例题2已知函数,试讨论函数的零点的个数.
分析:
数形结合简单,如图,可以看出共有两个零点.
那么,解答题中我们应该如何处理呢?
解:
由题意得,
(1)时,
先减后增,,解得或(舍)即,故在上有一个零点;
(2)时,
①时,无零点;
②时,
先减后增,,所以,,令得,即,故在上有一个零点;
综上可知,共有两个零点.
下面我们利用放缩法研究含有参数的函数零点问题.
先熟悉一个常用不等式.并记住它!
例题3已知函数,试讨论函数的零点的个数,并说明理由.
解:
由题意得,
(1)时,在上无零点;
(2)时,在上单调递增,,
当,令解得使得,故此时函数有一个零点;
(3)时,
所以,函数在单调递减,在上单调递增,
①时,无零点;
②时,一个零点;
③时,,又,上一个零点,
当时,,令,,,
所以,在也有一个零点.综上可知,时函数有2个零点.
例题4已知函数有两个零点,求实数的取值范围.
解:
在这里,为了切合主题,我们研究的情况.
(1)当时,函数在单调递减,在上单调递增,而,还需要说明什么?
(2)当时,,
令,即,则,方程的根为,取小根恰好在之间,必有
所以,函数在上有一个零点.综上,.
例题5已知函数在上有且只有一个零点,求的取值范围.
解:
令,分离参数得,,设函数,则原题等价于在上有且只有一个零点,求的取值范围.
,在上单调递减,单调递增,上单调递减,,
当时,,故,令得即取有,所以在上有一个零点.
所以,必有,解得.
回到开始的问题,你能解决吗?
已知函数有两个零点,求实数的取值范围.
方法总结:
(1)找特殊值;
(2)找关于的适合范围的数:
如等等;
(3)利用常见不等式放缩,如.
再试一试:
已知,讨论f(x)的零点的个数.
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