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F=P×
(1+i)n=100×
(1+2%)5=110.4(元)
【例题4】某人为了5年后能从银行取出100元,在复利年利率2%的情况下,求当前应存入金额。
P=F/(1+i)n=100/(1+2%)5=90.57(元)
(1)复利的终值和现值互为逆运算。
(2)复利的终值系数(1+i)n和复利的现值系数(1+i)-n互为倒数。
3、系列款项的终值和现值
【举例】第1年支出600万,第2年支出400万,第3年支出300万,第4年支出400万,第5年支出100万。
P=600×
(P/F,10%,1)+400×
(P/F,10%,2)+300×
(P/F,10%,3)+400×
(P/F,10%,4)+100×
(P/F,10%,5)
(三)年金终值与现值的计算
1.年金的含义(三个要点):
是指一定时期内每次等额收付的系列款项。
等额、固定间隔期、系列的收付款项是年金的三个要点。
【提示】这里的年金收付间隔的时间不一定是1年,可以是半年、一个季度或者一个月等。
2.年金的种类
注意:
普通年金和即付年金的共同点与区别
(1)共同点:
第一期开始均出现收付款项。
(2)区别:
普通年金的收付款项发生在每期期末,即付年金的收付款项发生在每期期初。
3.计算
(1)普通年金
①年金终值计算:
1234终值
AAAAA
A×
(1+i)
(1+i)2
(1+i)3
F=
=A×
(F/A,i,n),其中
被称为年金终值系数,代码(F/A,i,n)。
【例题5】小王是位热心于公众事业的人,自1995年12月底开始,他每年都要向一位失学儿童捐款。
小王向这位失学儿童每年捐款1000元,帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。
假设每年定期存款利率都是2%,则小王九年捐款在2003年底相当于多少钱?
F=1000×
(F/A,2%,9)=1000×
9.7546=9754.6(元)
【例题6】某人拟购房,开发商提出两种方案,一是5年后付120万元,另一方案是从现在起每年末付20万,连续付5年,若目前的银行存款利率是7%,应如何付款?
【答案】
方案2的终值=20×
(F/A,i,n)=20×
5.7507=115.014(万元)
方案1的终值=120万元
方案1的年金终值是120万元,方案2的年金终值是115.014万元,应该选择方案2。
②年金现值计算
【例题7】某人拟购房,开发商提出两种方案,一是现在一次性付80万,另一方案是从现在起每年末付20万,连续5年,若目前的存款利率是7%,应如何付款?
方案2的现值=20×
(P/A,7%,5)=20×
4.1002=82(万元)
方案1的现值=80万元
方案1的年金现值是80万元,方案2的年金现值是82万元,应该选择方案1。
③系数间的关系
【提示】年金终值系数与年金现值系数彼此并不是互为倒数的。
①偿债基金与普通年金终值互为逆运算;
②偿债基金系数和普通年金终值系数的互为倒数;
③资本回收额与普通年金现值互为逆运算;
④资本回收系数与普通年金现值系数互为倒数。
【例题8】某人拟在5年后还清10000元债务,从现在起每年末等额存入银行一笔款项。
假设银行利率为10%,则每年需存入多少元?
A=
=
=1638(元)
【例题9】某企业借得1000万元的贷款,在10年内以年利率12%等额偿还,则每年应付的金额为多少?
A=
=
≈177(万元)
付年金终值的计算
【例题10】为给儿子上大学准备资金,王先生连续6年于每年年初存入银行3000元。
若银行存款利率为5%,则王先生在第6年末能一次取出本利和多少钱?
方法1:
F=3000×
(F/A,5%,6)×
(1+5%)
=3000×
6.8019×
=21426(元)
方法2:
F=A[(F/A,i,n+1)-1]
[(F/A,5%,7)-1]
(8.1420-1)
【例题11】李博士是国内某领域的知名专家,某日接到一家上市公司的邀请函,邀请他作为公司的技术顾问,指导开发新产品。
邀请函的具体条件如下:
(1)每个月来公司指导工作一天;
(2)每年聘金10万元;
(3)提供公司所在地A市住房一套,价值80万元;
(4)在公司至少工作5年。
李博士对以上工作待遇很感兴趣,对公司开发的新产品也很有研究,决定应聘。
但他不想接受住房,因为每月工作一天,只需要住公司招待所就可以了,这样住房没有专人照顾,因此他向公司提出,能否将住房改为住房补贴。
公司研究了李博士的请求,决定可以在今后5年里每年年初给李博士支付20万元房贴。
收到公司的通知后,李博士又犹豫起来,因为如果向公司要住房,可以将其出售,扣除售价5%的契税和手续费,他可以获得76万元,而若接受房贴,则每年年初可获得20万元。
假设每年存款利率2%,则李博士应该如何选择?
要解决上述问题,主要是要比较李博士每年收到20万元的现值与售房76万元的大小问题。
由于房贴每年年初发放,因此对李博士来说是一个即付年金。
其现值计算如下:
P=20×
(P/A,2%,5)×
(1+2%)
或:
[(P/A,2%,4)+1]
=20×
(3.8077+1)
=20×
4.8077
=96.154(万元)
从这一点来说,李博士应该接受房贴。
如果李博士本身是一个企业的业主,其资金的投资回报率为32%,则他应如何选择呢?
在投资回报率为32%的条件下,每年20万的住房补贴现值为:
(P/A,32%,5)×
(1+32%)
[(P/A,32%,4)+1]
=20×
(2.0957+1)
3.0957
=61.914(万元)
在这种情况下,应接受住房。
结论:
折现率与现值呈反向变动关系。
名称
系数之间的关系
即付年金终值系数与普通年金终值系数
(1)期数加1,系数减1
(2)即付年金终值系数=普通年金终值系数×
(1+i)
即付年金现值系数与普通年金现值系数
(1)期数减1,系数加1
(2)即付年金现值系数=普通年金现值系数×
(3)递延年金:
①递延年金终值:
递延年金终值只与A的个数有关,与递延期无关。
F=A(F/A,i,n)
式中,“n”表示的是A的个数,与递延期无关。
【例题12】某投资者拟购买一处房产,开发商提出了三个付款方案:
方案一是现在起15年内每年末支出10万元;
方案二是现在起15年内每年初支付9.5万元;
方案三是前5年不支付,第六年起到15年每年末支付18万元。
假设按银行贷款利率10%复利计息,若采用终值方式比较,问哪一种付款方式对购买者有利?
方案一:
F=10×
(F/A,10%,15)=10×
31.772=317.72(万元)
方案二:
F=9.5×
(F/A,10%,15)×
(1+10%)=332.03(万元)
方案三:
F=18×
(F/A,10%,10)=18×
15.937=286.87(万元)
从上述计算可得出,采用第三种付款方案对购买者有利。
②递延年金现值
两次折现。
递延年金现值P=A×
(P/A,i,n)×
(P/F,i,m)
递延期:
m(第一次有收支的前一期,本例为2),连续收支期n(本图例为3)
先加上后减去。
递延年金现值P=A×
[(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)]
方法3:
先求递延年金的终值,再将终值换算成现值。
(F/A,i,n)×
(P/F,i,m+n)
【例题13】某企业向银行借入一笔款项,银行贷款的年利率为10%,每年复利一次。
银行规定前10年不用还本付息,但从第11年~第20年每年年末偿还本息5000元。
要求:
用两种方法计算这笔款项的现值。
方法一:
P=A×
(P/A,10%,10)×
(P/F,10%,10)
=5000×
6.145×
0.386
=11860(元)
方法二:
[(P/A,10%,20)-(P/A,10%,10)]
(8.514-6.145)
=11845(元)
两种计算方法相差15元,是因小数点的尾数造成的。
方法三:
(F/A,10%,10)×
(P/F,10%,20)
=5000×
15.937×
0.1486
=11841(元)
【例题14】某公司拟购置一处房产,房主提出三种付款方案:
(1)从现在起,每年年初支付20万,连续支付10次,共200万元;
(2)从第5年开始,每年末支付25万元,连续支付10次,共250万元;
(3)从第5年开始,每年初支付24万元,连续支付10次,共240万元。
假设该公司的资金成本率(即最低报酬率)为10%,你认为该公司应选择哪个方案?
方案
(1)
(P/A,10%,10)×
(1+10%)
或=20+20×
(P/A,10%,9)
=20+20×
5.759=135.18(万元)
方案
(2)
P=25×
[(P/A,10%,14)-(P/A,10%,4)]
P4=25×
(P/A,10%,10)
=25×
6.1446
=153.62(万元)
P0=153..62×
(P/F,10%,4)
=153.63×
0.683
=104.92(万元)
方案(3)
P=24×
(P/A,10%,13)-24×
(P/A,10%,3)
=24×
(7.1034-2.4869)
=110.80(万元)
现值最小的为方案二,该公司应该选择方案二。
(4)永续年金
永续年金因为没有终止期,所以只有现值没有终值。
永续年金现值可以通过普通年金现值的计算公式推导得出。
在普通年金的现值公式
中,令n→∞,得出永续年金的现值:
P=A/i。
永续年金现值P=A/i
【例题15】归国华侨吴先生想支持家乡建设,特地在祖籍所在县设立奖学金。
奖学金每年发放一次,奖励每年高考的文理科状元各10000元。
奖学金的基金保存在中国银行该县支行。
银行一年的定期存款利率为2%。
问吴先生要投资多少钱作为奖励基金?
由于每年都要拿出20000元,因此奖学金的性质是一项永续年金,其现值应为:
20000/2%=1000000(元)
也就是说,吴先生要存入1000000元作为基金,才能保证这一奖学金的成功运行。
【例题16】拟购买一支股票,预期公司最近两年不发股利,预计从第三年开始每年支付0.2元股利,若资金成本率为10%,则预期股利现值合计为多少?
P2=0.2÷
10%=2
P=2×
(P/F,10%,2)=2×
0.8264=1.65
【例题17】一项永久性奖学金,每年初计划颁发50000元奖金。
若年复利率为8%,求该奖学金的本金。
由于在0时点5万就是现值,0时点以后发生的1至∝为永续现金流,现值为A/i,所以该奖学金的本金=A+A/i=50000+50000/8%=675000元。
总结
解决货币时间价值问题所要遵循的步骤
1.完全地了解问题;
2.判断这是一个现值问题还是一个终值问题;
3.画一条时间轴;
4.标示出代表时间的箭头,并标出现金流量;
5.决定问题的类型:
单利、复利、终值、现值、年金问题、混合现金流量;
6.解决问题。
三、时间价值计算的灵活运用
(一)知三求四的问题
给出四个未知量中的三个,求第四个未知量的问题。
1.求年金A
【例题18】企业年初借得50000元贷款,10年期,年利率12%,每年末等额偿还。
已知年金现值系数(P/A,12%,10)=5.6502,则每年应付金额为( )元。
A.8849B.5000C.6000D.28251
【答案】A
【解析】A=P÷
(P/A,i,n)=50000÷
5.6502=8849(元)
【例题19】某公司拟于5年后一次还清所欠债务100000元,假定银行利息率为10%,5年10%的年金终值系数为6.1051,5年10%的年金现值系数为3.7908,则应从现在起每年末等额存入银行的偿债基金为()。
(2008年)
A.16379.75B.26379.66C.379080D.610510
【解析】本题属于已知终值求年金,故答案为:
A=F/(F/A,10%,5)=100000/6.1051=16379.75(元)
2.求利率(内插法的应用)
内插法应用的前提是:
将系数与利率之间的变动看成是线性变动。
【例题20】某公司第一年年初借款20000元,每年年末还本付息额均为4000元,连续9年付清。
问借款利率为多少?
因为:
20000=4000×
(P/A,i,9)所以:
(P/A,i,9)=5
利率
系数
12%
5.3282
I
5
14%
4.9464
i=13.72%
【例题21】郑先生下岗获得50000元现金补助,他决定趁现在还有劳动能力,先找工作糊口,将款项存起来。
郑先生预计,如果20年后这笔款项连本带利达到250000元,那就可以解决自己的养老问题。
问银行存款的年利率为多少,郑先生的预计才能变为现实?
50000×
(F/P,i,20)=250000
(F/P,i,20)=5,即(1+i)20=5
可采用逐次测试法(也称为试误法)计算:
当i=8%时,(1+8%)20=4.661
当i=9%时,(1+9%)20=5.604
因此,i在8%和9%之间。
运用内插法有i=i1+
×
(i2-i1)
i=8%+(5-4.661)×
(9%-8%)/(5.604-4.661)=8.359%
说明如果银行存款的年利率为8.539%,则郑先生的预计可以变为现实。
3.永续年金的利率可以通过公式i=A/P计算
【例题22】吴先生存入1000000元,奖励每年高考的文理科状元各10000元,奖学金每年发放一次。
问银行存款年利率为多少时才可以设定成永久性奖励基金?
由于每年都要拿出20000元,因此奖学金的性质是一项永续年金,其现值应为1000000元,因此:
i=20000/1000000=2%
也就是说,利率不低于2%才能保证奖学金制度的正常运行。
(二)年内计息多次的问题
1.实际利率与名义利率的换算
在实际生活中通常可以遇见计息期限不是按年计息的,比如半年付息(计息)一次,因此就会出现名义利率和实际利率之间的换算。
(1)若每年计息一次,实际利率=名义利率
若每年计息多次,实际利率>名义利率
(2)实际利率与名义利率的换算公式:
1+i=(1+r/m)m
其中:
i为实际利率:
每年复利一次的利率;
r为名义利率:
每年复利超过一次的利率;
m为年内计息次数。
【例题23】年利率为12%,按季复利计息,试求实际利率。
i=(1+r/m)m-1=(1+12%/4)4-1=1.1255-1=12.55%
【例题24】一项1000万元的借款,借款期3年,年利率为5%,若每半年复利一次,年实际利率会高出名义利率()。
A.0.16%B.0.25%C.0.06%D.0.05%
【答案】C
【解析】已知:
M=2,r=5%
根据实际利率和名义利率之间关系式:
=(1+5%/2)2-1=5.06%
2.计算终值或现值时
基本公式不变,只要将年利率调整为期利率,将年数调整为期数。
【例题25】某企业于年初存入10万元,在年利率10%、每半年复利计息一次的情况下,到第l0年末,该企业能得到的本利和是多少?
解答:
根据名义利率与实际利率的换算公式i=(1+r/m)m-l,本题中r=10%,m=2,有:
i=(1+10%÷
2)2-1=10.25%
F=10×
(1+10.25%)10=26.53(万元)
这种方法先计算以年利率表示的实际利率,然后按复利计息年数计算到期本利和,由于计算出的实际利率百分数往往不是整数,不利于通过查表的方式计算到期本利和。
因此可以考虑第二种方法:
将r/m作为计息期利率,将m×
n作为计息期数进行计算。
本例用第二种方法计算过程为:
F=P×
(1+r/m)m×
n=10×
(1+10%÷
2)20=26.53(万元)
【例题26】某企业于年初存入银行10000元,假定年利息率为12%,每年复利两次。
已知(F/P,6%,5)=1.3382,(F/P,6%,10)=
1.7908,(F/P,12%,5)=1.7623,(F/P,12%,10)=3.1058,则第5年末的本利和为( )元。
(2005年)
A.13382B.17623C.17908D.31058
【答案】C
【解析】第5年末的本利和=10000×
(F/P,6%,10)=17908(元)。
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