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圆柱体的底面是圆,其半径为r;
圆柱体的侧面展开图是
★★★圆柱体:
如右图,
长方形,长方形的宽相当于圆柱体的高,长相当于圆柱体的底面周长;
圆柱体的表面积:
S圆柱
侧面积2个底面积2rh2r2
圆柱体的体积:
V圆柱
r2h
★★★圆锥体:
如右图,个扇形;
圆锥体的底面是圆,其半径为r;
圆锥体的侧面展开图是
圆锥体的体积:
★★★球体:
1r2hrh
V4r3
V球体r
有许多几何趣题,解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计,
V圆锥体
在数学竞赛中,把形象思维和抽象思维结合起来。
如右图,两个人正在为一个开口为正方形的长方体容器中是否
正好装了一半水而争吵.请你设计一种方案,不用其他任何工具与设备,并且不能把水倒出来而判断出容器中的水是否正好装了一半.
A处,水平面
教师版答案提示:
如下图,将长方体容器如图那样倾斜,使一端的水面刚好到容器口的棱
的另一端刚好在棱B处时,容器内正好装了一半水.如果不符合上述情况则容器内装
的水就不是一半.如图②是容器里的水正好装一半,图①和图③则不是,图①大于一半,图③小于一半.
一·
立体图形的表面积
1·
边长为1厘米的正方体,如图这样层层重叠放置,那么当重叠到第5层时,这个立体图形的表面积是
多少平方厘米?
2·
有两个圆柱体的零件,高l0厘米,底面直径是6厘米,零件的一端有有一个圆柱体的零件,高l0厘米,底面直径是6厘米,零件的一端有一个圆柱形直孔,如图,圆孔直径是4厘米,孔深5厘米,如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆,一共要涂多少平方厘米?
(3.14)
3·
右图是一顶帽子。
帽顶部分是圆柱形,用黑布做;
帽沿部分是一个圆环,用白
布做。
如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米,那么哪种颜色的布用得多?
4·
用铁皮做一个如图所示的工件
厘米?
(3)
(两端不封闭),需要铁皮多少平方
5·
如图1是一个直三棱柱的表面展开图,其中,灰色和黑色的部分都是边长等于1的
正方形.问:
这个直三棱柱的体积是多少?
分析:
如图2,这个直三棱柱是棱长为1的正方体沿一条对角线切
割得到的直三棱柱体.正方体的体积是1,这个直三棱柱的体积是
1
正方体体积的一半,体积是.
6·
一个正方体的表面积为
54平方厘米,如果一刀把它切成两个长方体,那么,这两个长方体表面积的
和是多少平方厘米?
7·
如右图,正方形ABCD的边长是6厘米,过正方形内的任意两点画直线,可把正方形分成9个小长方形。
这9个小长方形的周长之和是多少厘米?
8·
一个正方体形状的木块,棱长为1米,沿着水平方向将它锯成3片,每片又按任意尺寸锯成4条,每
条又按任意尺寸锯成5小块,共得到大大小小的长方体60块.问这60块长方体表面积的和是多少平方米?
9·
将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体,其中一面都没有红色的小正
方形只有3个,求原来长方体的表面积是多少平方厘米?
10·
右图是4×
5×
6正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块?
11·
右图是由27块小正方体构成的3×
3×
3的正方体。
如果将其表面涂成红色,则在角上的8个小正方体有三面是红色的,最中央的小方块则一点红色也没有,其余18块小方块中,有12个两面是红的,6个一面是红的。
这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍,三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。
问:
由多少块小正方体构成的正方体,表面涂成红色后会出现相反的情况,即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍,一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍?
二·
立体图形的体积
如图,一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙,它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示,若用甲容器取水来注满乙容器,问:
至少要注水多少次?
圆锥形容器甲的容积是:
V1
12
(21)2112,半
球形容器乙的容积是:
V22
1323812,所以至少要注水8次.
一个圆锥形容器高
24厘米,其中装满水,如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的柱形容器中,水
面高多少厘米7.
如右图所示,圆锥形容器内装的水正好是它容积的几分之几?
皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。
皮球的直径为
4
米。
皮球有的体积浸在水中(见右图)。
问皮球掉进水中后,水桶中的水面升高了多少
5
厘米?
r34(15)3562.5(立方厘米);
皮球浸在水中的部
32
一只装有水的圆柱形玻璃杯,底面积是80平方厘米,水深8厘米。
现将个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后,仍有一部分铁块露在外面。
现在水深多少厘米?
有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶,里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中。
钢材从水桶里取出后,桶里的水下降了6厘米。
这段钢材有多长?
根据题意可知,圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积,因为钢材底面半径是水桶底面半
511
径的,即,钢材底面就是水桶底面积的1。
根据体积一定,圆柱体的底面积与高成反比例可知,
20416
钢材的长是水面下降高度的16倍。
52
(法1):
6÷
()2=96(厘米)
20
(法2):
3.14×
202×
(3.14×
52)=96(厘米)7·
一个立体图形,我们从上到下,从前往后,从左到右观察都是相同的图形,是一个边长为3厘米分成9个面积相等的小正方形形成的井字形(如右图).计算该立体的全表面积和体积.
根据三视图,可以判定立体是一个棱长为3厘米的正方体,在每个面都在中央打一个底面积为1平方厘米的正方形,高为3厘米.的正棱柱孔洞.如右下图.
设该立体的全表面积为S,体积为V则:
S(3212)6(124)672(平方厘米),
23
V3271320(立方厘米).
8·
在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞.洞口是边长为1厘米的正方形,洞深1厘米(如下图).求挖洞后木块的表面积和体积.
如图,在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞,在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞.已知正方体边长为10厘米,侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形,上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆,求此立体图形的表面积和体积.
外侧表面积为:
6×
10×
10-4×
4×
4-×
22×
2=536-8
内侧表面积为:
16×
4×
3+2×
(4×
22)+2×
2×
2×
3=192+32-8+24=224+16.总表面积=224+16+536-8=760+8=785.12(平方厘米).计算体积时将挖空部分的立体图形取出,如图,只要求出这个几何体的体积即可.挖出的几何体体积为:
3+4×
4+2×
×
22×
3=192+64+24=256+24.
所求几何体体积为:
1O×
1O-(256+24)=668.64(立方厘米).
[点评]能把这道题拿下,所有不规则形体的表面积和体积计算都将不在话下。
一定要注意:
思路要清晰,
比如表面积从外面和内部去讨论,体积直接是整体减挖去部分。
细节决定成败:
第一点,求表面积时,内部中心的正方形减去内切圆剩下部分容易忽略;
第二点,本题大正方体的棱长是10厘米,是一个很伤脑筋的数字,直接导致出现了多处的3。
呵呵,很多人在此被弄得灰头土脸。
如图1,ABCD是直角梯形(单位:
厘米,3),
(1)以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周,得到一个旋转体,它的体积是多少
(2)如果以CD为轴,并将梯形绕这个轴旋转一周,得到的旋转体体积是多少
现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮,请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计,容积越大越好),你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?
法1:
(1)如右图,在40×
20的长方形铁皮的四角截去边长5厘米的正方形铁皮,然后焊接成长方形无盖铁皮盒.这个铁皮盒的:
长=40-5-5=30(厘米),宽=20-5-5=10(厘米),高=5(厘米),体积=30×
10×
5=1500(立方厘米).
(2)如右图,在40×
20长方形铁皮的左侧两角上割下边长块),紧密焊接到右侧的中间部分,这样做成的无盖铁皮盒的长米),宽=20—5—5=10(厘米),高=5(厘米),体积=35×
(3)如右图,在40×
20的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为5厘米的长方形
铁皮(共二块),分别焊到上、下的中间部分,这样做成的无盖铁皮盒的长=40-5-5-5-5=20(厘米),宽=20(厘米),高=5(厘米),体积=20×
20×
5=2000(立方厘米).因此,最后一种容积最大.
法2:
你要想使容积最大,就要充分利用手中的铁皮,如果能将铁皮都用上那么就能得到一个最大的铁盒。
如下图
(1),我们从原铁皮上切割下4块5×
20的长方体,如图
(2),将其焊接上能做成一只深是
5厘米的长方体无盖铁皮盒,那么此时的容积最大:
20×
5=2000(立方厘米).
三·
专题展望
用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形,问该图形的表面积是多少平方厘米?
把棱长6分米的正方体木块平均分成27个小正方体,表面积增加了多少平方分米
有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器,将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内,求水深。
一个直角三角形三条边的长度是3,4,5,如果以边长4为轴旋转一周,得到一个立体.求这个立体
的体积.
有一个棱长是12厘米的正方体木块,从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔(穿透正方体木块).穿孔后木块的体积是多少立方厘米?
如图,圆锥形容器中装有3升水,水面高度正好是圆锥高度的一半,还能装多少水?
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