高中数学数列专题大题训练Word文档下载推荐.docx
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的最小值.
11.设等差数列{afl}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公
比为q,已知bi—3ι,b2~2Jq—d,SlO=I00.
(1)求数列{a∏},{bj的通项公式
(2)当d>
1时,记Cn二玉,求数列{Cn}的前n项和Tn・bn
12.已知数列{afl}满足aι=1,an+F3a∏+1.
(I)证明{an÷
±
}是等比数列,并求{a」的通项公式;
(Il)证明:
丄+丄+・•・+丄v3.
ala2an2
13.已知等差数列{a」的公差不为零,a1=25,JLa1,a11,a竹成等比数
列.
(I)求{a」的通项公式;
(H)求aι+a4+a7+∙∙∙÷
a3n-2.
14.等差数列{afl}中,a7=4,a19=2a9,
(Il)设S二丄,求数列{bfl}的前n项和Sn.
15.已知等比数列{alJ中,ai=X,公比q二丄•
33
(I)Sll为{al1}的前n项和,证明:
Sf?
A
2
(II)设bn=Iog3aι+1og3a2+∙∙∙+1og3an,求数列{brl}的通项公式.
16.已知数列{a」满足aft+2=qaπ(q为实数,且q≠1),n∈N∖a1=1,
a?
-2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成,寺差数列
(1)求q的值和{a」的通项公式;
(2)设bn=⅛⅛,n∈N*,求数列{b」的前n项和.
a2n-1
17.已知数列{缶}是首项为正数的等差数列,数列{——}的前n
项和为
2n÷
l
(1)求数列{a」的通项公式;
(2)设h二(an+1)•2an,求数列{bj的前n项和「・
18・已知数列{af1}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),
bι+ib2÷
-b3+∙∙∙+-i-b∏=b∏*ι-1(n∈N)
23n
(I)求a*与br,;
(Il)记数列{anbn)的前n项和为Tn,求Tn.
19・已知数列{aj是递增的等比数列,且a<
⅛二9,a2a3=8.
(1)求数列{a」的通项公式;
(2)设Sn为数列{a.}的前n项和,求数列{bn}的前n项SnSrd-1
和Tn・
20.设数列{arJ的前n项和为Sn,已知2S=3n+3・
(II)若数列{brι},满足a∏b∏=log3a∏,求{b∏}的前n项和「・
21・设数列{a.}的前n项和为Sn・已知a1=a,an.ι=Sn+3n,n∈N"
・由
(I)设b∏=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(Il)若an+1≥an,n∈N∖求a的取值范围.
22.已知等差数列{a」的公差为2,前n项和为S,且S,S2,&
成等
比数列.
(I)求数列{a」的通项公式;
(H)令bn二("
O求数列{bn}的前n项和Tn.
anard-l
23.数列{af1}满足at=1,nan>
1=(n+1)all+n(n+1),n∈N*.
(I)证明:
数列{玉}是等差数列;
(Il)bn=3n∙应求数列{bfJ的前n项和S.
参考答案与试题解析
1.(1996∙全国)等差数列{arl}的前m项和为30,前2m项和为100,
则它的前3m项和为()
【分析】利用等差数列的前n项和公式,结合已知条件列出关于鮎d的方程组,用m表示出內、d,进而求出S3E;
或利用等差数列的性质,Sm,S2w-Sm,S3m-S2w⅛等差数列进行求解.
【解答】解:
解法仁设等差数列{a.}的首项为a∣,公差为d,
由题意得方程组
In(In-1)
InaI+d=30
2m(2n)-1)
2≡ι+E
d二IOo
解得cl二彎a,=M⅛
Inm
∙∙∙s*a,+也严站于+竺7
X警210.
ITl
故选C.
解法2:
・・・设{aj为等差数列,
.,.sβ,S2e-S.,S3m-S2mA等差数列,
即30,70,s3m-100⅛等差数列,
Λ30+s3Bl-IOO=70X2,
解得s3ffl=210.
【点评】解法1为基本量法,思路简单,但计算复杂;
解法2使用了等差数列的一个重要性质,即等差数列的前n项和为S.,则sn,s2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列.
2.(2010∙大纲版I)已知各项均为正数的等比数列{an},aιa2a3=5,3?
3839=10f则34353δ~()
【分析】由数列{a」是等比数列,则有a1a2a3=5=>
a23=5;
a7a8a9=10=>
aβ3=10.
aιa2a3=5=>
故选A.
【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幕的运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化归的数学思想.
3.(2011*四川)数列{aj的前n项和为S11,若aι=1,a∏÷
ι=3S∏(n≥1),则a6=()
A.3×
44B.3×
【分析】根据已知的an,1=3Sn,当n大于等于2时得到a=3Sn.1,两者相减,根据Sn-Sn-1=an,得到数列的第n+1项等于第n项的4倍(n大于等于2),所以得到此数列除去第1项,从第2项开始,为首项是第2项,公比为4的等比数列,由aι=1,a∏÷
ι=3Sn,令nh,即可求出第2项的值,写出2项以后各项的通项公式,把n=6代入通项公式即可求出第6项的值.
由a∏+ι=3Sn,得到a∏=3Sn-ι(n≥2),
两式相减得:
a∏+ι-a∏=3(Sn-Sn-I)=3a∏,
则a∏+ι-4a∩(n22),又ai—1,82-3Sι-3ai=3,
得到此数列除去第一项后,为首项是3,公比为4的等比数列,所以a=a2qn^2=3×
4n'
2(n≥2)
则a6=3×
44・
故选A
【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法,会根据首项和公比
写出等比数列的通项公式,是一道基础题.
4.(2013∙大纲版)已知数列{arJ满足3a∏÷
ι+an=0,a2=-A,则{afl}的
3
前10项和等于()
A.-6(1-3^10)B.l(ι-3^1°
)C.3(1-3"
°
)D.3(1+3-10)9
【分析】由已知可知,数列{afl}是以-丄为公比的等比数列,结合已
知Q2=-±
可求內,然后代入等比数列的求和公式可求
∙.∙3arι∙∣+an)
・•・数列曲是以诗为公比的等比数列
Ya2=~j-
Λa1=4
由等比数列的求和公式可得,S)C=卢——=3(1-3^1°
故选C
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题
5.(2013新课标Il)等比数列{aj的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()
A.1B.-丄C.1D.-丄
3399
【分析】设等比数列{aj的公比为q,利用已知和等比数列的通项公
设等比数列{a」的公比为q,
a】q°
二9
解得
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.
6.(2008∙全国卷I)已知等差数列{aj满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和SKF()
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前n项和,根据a2+a4=4,a3+a5=10我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差),进而代入前n项和公式,即可求解.
T(a3+as)-(a2+a4)=2d=6,
∙*∙d—3,31=—4,
・・・SlO=I0aι+1°
x(IO~ljd=95.
【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比数列,则可以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写出该数列的通项公式,如果未知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列
有关,间接求其通项公式.
7.(2013∙新课标I)设等差数列{a∕的前n项和为S.,若S-=-2,
SnF0,Sm∙1=3,则πI=()
【分析】由乳与Sn的关系可求得a讪与务,进而得到公差d,由前n项和公式及SFo可求得內,再由通项公式及弘二2可得Hi值.
a=Sm-S,-1=2,am>
1=Sm>
1-Sm=3,
所以公差d二a加-
am=1,
s=⅛⅛o,
得31=
-2,
所以am=-2+(m
-D•
1=2,解得m=5,
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a.与
Sn的关系,考查学生的计算能力.
8.(2014∙新课标II)等差数列{a」的公差为2,若a?
a4,观成等比
数列,则{a」的前n项和Sn二()
A.n(n+1)B.n(n-1)C.丛也),D・b'
【分析】由题意可得a#(a4-4)(a4+8),解得a°
可得a”代入求和公式可得.
由题意可得a42=a2∙a8,
即a/二(a4-4)(a4+8),
解得乂二8,
.,.a1=a4-3X2=2,
ΛSn=na1÷
πfa;
I)dt
=2n+≡⅛H×
2=n(n÷
1),
故选:
A.
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.
9.(2015∙北京)设{aj是等差数列,下列结论中正确的是()
A.若a1+a2>
O,则a2+a3>
O
C.若0VaIVa2,则a2>
^^7D.若aι<
0,贝勺(a2-aθ(a2-a3)>
【分析】对选项分别进行判断,即可得出结论.
若a1÷
a2>
0,则2a1+d>
0,a2+a3=2aι+3d>
2d,d>
0时,
结论成立,即A不正确;
若aι+a3<
0,则aι+a2=2aι+d<
0,a2+a3=2aι+3d<
2d,dVO时,结论成立,即B不正确;
{af1}是等差数列,OValVa2,2a2--aι+^3^>
.*.即C正确;
若a,<
0,则(a2-a∣)(a2-a3)=-d2≤0,即D不正确.
C.
【点评】本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础.
10.(2015∙四川)设数列{at1}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a”a2+1,a3成等差数列.
(I)求数列{aj的通项公式;
(Il)记数列{丄}的前n项和为Tn,求使得ITn-Il<
-X-成立的n
anIOelO
【分析】
(I)由已知数列递推式得到a=2an.1(n≥2),再由已知內,a2+1,直成等差数列求出数列首项,可得数列{aj是首项为2,公比为2的等比数列,则其通项公式可求;
(II)由(I)求出数列{丄}的通项公式,再由等比数列的前n项an
和求得「,结合IT求解指数不等式得n的最小值.
5IOOO
(I)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-I=2an-2an-ι(n≥2),
即θnzz2an-ι(nN2),
从而a2二2a〔,a3=2a2=4a^,
又Vai,a2+1,a3成等差数列,
Λaι+4aι=2(2aι+1),解得:
aι=2∙
・・・数列{a.}是首项为2,公比为2的等比数列.故务二2匕
(II)由(I)得:
丄丄,
an2π
由ITn-Il<
⅛得I】盏7<
⅛p即2»
OO0・
V29=512<
1000<
1024≡21°
Λn≥10.
于是,使ITn-1|<
丄成立的n的最小值为10.
IOOO
【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式
与前n项和公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
11.(2015*湖北)设等差数列{a.}的公差为d,前n项和为S.,等比数列{bj的公比为q,已知bp,b2=2,q=d,SlO=IO0.
(1)求数列{an},{“}的通项公式
1时,记Cn虽,求数列{Cn}的前n项和Tn・
bn
(1)利用前10项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可;
错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可.
(1)设g由题意可得鴛E
当(E时,a-2n-1,b∏=2n^,;
d二2
(2)当d>
1时,由
(1)知an=2n-1,bn=2n'
1,
ΛTn=1+3∙丄+5∙
⅛+7∙
丄+9∙
-L+∙∙∙+(2n-
-D•1.
22
23
24
2n^1
Λlτn=1∙l+3∙
-⅛-+5∙
斗7・
—+•••+(2n-
■3)∙L+(2n-1)
2n"
1
•J
・・护愛护光严+步_(W)•护一勞,・・・*笋
【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
12.(2014∙新课标II)已知数列{arJ满足al=1,an+1=3an+1.
(I)证明{an+∣}是等比数列,并求{afl}的通项公式;
(I)根据等比数列的定义,后一项与前一项的比是常数,
即J⅛常数,又首项不为0,所以为等比数列;
bn
再根据等比数列的通项化式,求出{a」的通项公式;
(Il)将丄进行放大,即将分母缩小,使得构成一个等比数列,从an
而求和,证明不等式.
•心艺X疔哼,即际宁
(Il)由(I)知丄―__
an3R-1
.e.当nh时,丄二K容成立,
aI2
・・・对n∈N,时,丄+丄+•・・+丄V3.
【点评】本题考查的是等比数列,用放缩法证明不等式,证明数列为
等比数列,只需要根据等比数列的定义就行;
数列与不等式常结合在
一起考,放缩法是常用的方法之一,
通过放大或缩小,使原数列变成一个等比数列,或可以用裂项相消法
求和的新数列.属于中档题.
13.(2013∙新课标II)已知等差数列{arJ的公差不为零,a1=25,且a〕,811,a〔3成寺比数列・
(H)求aι+a4+a7+∙∙∙+a3n-2.
(1)设等差数列{a」的公差为d≠O,利用成等比数列的定义可得,晶]二引引了,再利用等差数列的通项公式可得(a1+10d)2=a1(aι+12d),化为d(2a1+25d)=0,解出d即可得到通项公式arl;
(II)由(I)可得a3n-2=-2(3n-2)+27=-6n+31,可知此数列是以25为首项,-6为公差的等差数列.利用等差数列的前n项和公式即可得出aι+a4÷
a7+∙∙∙+a3n-2.
(I)设等差数列{a」的公差为d≠0,由题意a〔,an,a□成等比数列,∙°
∙8(]二λ(a1+10d)=a1(a1+12d),化为d(2a1+25d)=0,Vd≠O,Λ2×
25+25d=0,解得d=-2.
.,.an=25+(n-1)×
(-2)=-2n+27.
(II)由(I)可得a3n-2=-2(3n-2)+27=-6n+31,可知此数列是以25为首项,-6为公差的等差数列.
.*.Sn=aι+a4+a7+∙∙∙+a3n-2-nv^aι^⅛-2
_n(25-6n+31)
(I)由a尸4,a19=2a9,结合等差数列的通项公式可求內,d,进而可求弘
(II)由b亠二丿―Z-丄,利用裂项求和即可求解
nnarιπ(n÷
l)nn+1
(I)设等差数列{m}的公差为d
•θ7~4,ai9~2a9,
a1+6d=4
a〔+ISd=2(3]+8d)
解得,a1=1,d号
・•・务二1÷
⅛S一D=詈
(II)7bn⅛r√⅛ιr⅛^⅛
・・Sn-2(1-
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应
用,试题比较容易
15∙(2°
11-新课标)已知等比数列⑹中,a诗,公比哙
(I)Sn为{a」的前n项和,证明:
Sn=-
(H)设bn=Iog3a1+1og3a2+∙∙∙+1og3an,求数列{brl}的通项公式∙
(I)根据数列4}是等比数列,a,=∣,公比珂求出通项公式务和前n项和Sn,然后经过运算即可证明.
(II)根据数列{a」的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bj的
通项公式.
【解答】证明:
(I)∙.∙数列E为等比数列,a,=∣,q号
∙∙-⅛×
φn^⅛
(II)g二丄
3n
Λbn=Iog3a1+1og3a2+∙∙∙+1og3an=-Iog33+(-21og33)+•••+(-nIog33)
二_(1+2+∙∙∙+n)
二_n(n+l)
•••数列{b"
}的通项公式为:
bl畔1
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数
的运算性质.
16.(2015∙天津)已知数列{arl}满足an>
2=qan(q为实数,且q≠1),
∏WN,8ι-19a2=2,且a2+a3,a3+a<
4,an+a5成寺差数列
(1)求q的值和{an}的通项公式;
(2)设b=⅛⅛L,n∈N*,求数列{b」的前n项和.
(1)通过a∏*2=qan∖a〔、a2,可待a3、35>
a4,利用a2+a3,a3+a4,
a4+a5⅛等差数列,计算即可;
(2)通过
(1)知n∈N*,写出数列{bn}的前n项和Tn、2Tn2n"
的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可.
(1)Van>
2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,
∙∙a3=q,a5zzq,a4=2q,
又Ta2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列,∙∖2×
3q=2+3q+q2,
即q2-3q+2≡0,
解得q二2或q=(舍),
记数列{bn}的前n项和为Tn,
-4__n+2_
【点评】本题考查求数列的通项与前n项和,考查分类讨论的思想,
利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
17.(2015∙山东)已知数列{arJ是首项为正数的等差数列,数列
{——}的前n项和为一.
an,⅛l2n+1
(1)求数列{%}的通项公式;
(2)设bp(an+1)•2an,求数列{bj的前n项和J
(1)通过对Cn=——分离分母,并项相加并利用数列⅜g⅛ι
{——}的前n项和为亠_即得首项和公差,进而可得结论;
an"
⅛l2n+1
(2)通过bpn∙4n,写出人、4Tf1的表达式,两式相减后利用等比数
列的求和公式即得结论.
(1)设等差数列{%}的首项为內、公差为d,则a1>
0,
•∙3n-3ι÷
(∩—1)d,3n⅛ι-3ι÷
nd,
令Cn=————,
⅜p⅛ι
贝qc=⅛≡1r1—]]
[a1+(n"
l)d](a1÷
nd)da1+(n."
l)da1÷
nd
Cι+C2+∙∙∙+Cn-1+cπ=-[丄-一-一+—-一一——-——+•••+」——L
da1a1+da1+da1+2da1+(n~Dd
a1+nd
丄[丄
da1a1+nd
a1(a1+nd)
二n
2'
a∣+aIdn
又・.・数列{—1—}的前n项和为」an"
Λaι=1或-1(舍),d=2,
Λan=1+2(n-1)=2n-1;
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