高中数学人教a版必修一 章末综合测评一 含答案Word文件下载.docx
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【答案】 A
3.下列各图形中,是函数的图象的是( )
【解析】 函数y=f(x)中,对每一个x值,只能有唯一的y与之对应,∴函数y=f(x)的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点,故A,B,C均不正确,故选D.
4.集合A={x|y=
},B={y|y=x2+2},则如图1阴影部分表示的集合为( )【97030070】
图1
A.{x|x≥1}B.{x|x≥2}
C.{x|1≤x≤2}D.{x|1≤x<2}
【解析】 易得A=[1,+∞),B=[2,+∞),则题图中阴影部分表示的集合是∁AB=[1,2).故选D.
5.已知函数f(2x+1)=3x+2,则f
(1)的值等于( )
A.2B.11
C.5D.-1
【解析】 由f(2x+1)=3x+2,得f
(1)=f(2×
0+1)=3×
0+2=2,故选A.
6.下列四个函数:
①y=x+1;
②y=x-1;
③y=x2-1;
④y=
,其中定义域与值域相同的是( )
A.①②③B.①②④
C.②③D.②③④
【解析】 ①y=x+1,定义域R,值域R;
②y=x-1,定义域R,值域R;
③y=x2-1,定义域R,值域(-1,+∞);
,定义域(-∞,0)∪(0,+∞),值域(-∞,0)∪(0,+∞).∴①②④定义域与值域相同,故选B.
【答案】 B
7.若函数f(x)=
则f(-3)的值为( )
A.5B.-1
C.-7D.2
【解析】 依题意,f(-3)=f(-3+2)=f(-1)
=f(-1+2)=f
(1)=1+1=2,故选D.
8.定义在R上的偶函数f(x)满足:
对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
<
0,则( )
A.f(3)<f(-2)<f
(1)
B.f
(1)<f(-2)<f(3)
C.f(-2)<f
(1)<f(3)
D.f(3)<f
(1)<f(-2)
【解析】 任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
0.
∴f(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,故f(x)在(-∞,0]上单调递增.
且满足n∈N*时,f(-2)=f
(2),3>2>1>0,由此知,此函数具有性质:
自变量的绝对值越小,函数值越大,∴f(3)<f(-2)<f
(1),故选A.
9.定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=3,则奇函数f(x)的值域是( )
A.(-∞,-3]B.[-3,3]
C.[-3,3]D.{-3,0,3}
【解析】 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),f(0)=0,
设x<0,则-x>0,f(-x)=-f(x)=3,
∴f(x)=-3,
∴f(x)=
∴奇函数f(x)的值域是{-3,0,3}.
10.(2016·
承德高一检测)已知f(x)=x5-ax3+bx+2且f(-5)=17,则f(5)的值为( )
A.-13B.13
C.-19D.19
【解析】 ∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,∴g(5)=-15,∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13.
11.(2016·
浏阳高一检测)已知函数f(x)=
,若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是( )【97030071】
A.(0,3]B.[0,3]
C.(0,1]D.[3,+∞)
【解析】 函数f(x)=
,若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则t=3-ax在区间(0,1]上为减函数,且t≥0,分析可得a>0,且3-a≥0,解可得0<a≤3,∴a取值范围为(0,3].
12.己知奇函数y=f(x)在(-∞,0)上为减函数,且f
(2)=0,则不等式(x-1)f(x-1)>0的解集为( )
A.{x|-3<x<-1}
B.{x|-3<x<1或x>2}
C.{x|-3<x<0或x>3}
D.{x|-1<x<1或1<x<3}
【解析】 由题意画出f(x)的草图如下,因为(x-1)f(x-1)>0,所以(x-1)与f(x-1)同号,由图象可得-2<x-1<0或0<x-1<2,解得-1<x<1或1<x<3,故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.设全集U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c,d},则(∁UA)∪(∁UB)=________.
【解析】 全集U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c,d},所以∁UA={c,d},∁UB={a},
所以(∁UA)∪(∁UB)={a,c,d}.
【答案】 {a,c,d}
14.若函数f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3是偶函数,则f(x)的增区间是________.【97030072】
【解析】 ∵函数f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3是偶函数,∴a-1=0,∴f(x)=-x2+3,其图象是开口方向朝下,以y轴为对称轴的抛物线.故f(x)的增区间为(-∞,0].
【答案】 (-∞,0]
15.奇函数f(x)在(0,+∞)上的解析式是f(x)=x(x-1),则在(-∞,0)上的解析式是________.
【解析】 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),因为f(x)在(0,+∞)上的解析式是f(x)=x(x-1),所以f(-x)=-x(-x-1),因为函数f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=-x(-x-1),所以f(x)=-x(x+1).
【答案】 f(x)=-x(x+1)
16.(2016·
苏州高一检测)函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数,例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题:
①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;
②函数f(x)=
是单函数;
③若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.
其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号)
【解析】 ①函数f(x)=x2(x∈R)不是单函数,例如f
(1)=f(-1),显然不会有1和-1相等,故为假命题;
是单函数,因为若
=
,可推出x1x2-x2=x1x2-x1,即x1=x2,故为真命题;
③若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2)为真,
可用反证法证明:
假设f(x1)=f(x2),则按定义应有x1=x2,与已知中的x1≠x2矛盾;
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真,因为单函数的实质是一对一的映射,而单调的函数也是一对一的映射,故为真.
【答案】 ②③④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(2016·
大同高一检测)设全集U=R,集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.
(1)求∁U(A∩B);
(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.
【解】
(1)由集合B中的不等式2x-4≥x-2,解得x≥2,∴B={x|x≥2},又A={x|-1≤x<3},
∴A∩B={x|2≤x<3},又全集U=R,∴∁U(A∩B)={x|x<2或x≥3}.
(2)由集合C中的不等式2x+a>0,解得x>-
,
∴C=
∵B∪C=C,∴B⊆C,∴-
<2,解得a>-4.
18.(本小题满分12分)(2016·
南昌高一检测)已知函数f(x)=
(1)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明;
(2)求函数f(x)在区间[2,3]上的值域.【97030073】
【解】
(1)函数f(x)=
在区间(1,+∞)上单调递减,证明如下:
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)
-
∵x1<x2,∴x2-x1>0,
又∵x1,x2∈(1,+∞),∴x2+x1>0,x
-1>
0,x
0,
∴
>0,即f(x1)>f(x2).
由单调性的定义可知函数在区间(1,+∞)上单调递减.
(2)由
(1)知函数f(x)在区间[2,3]上单调递减,所以函数f(x)的最大值为f
(2)=
,最小值为f(3)=
,所以函数f(x)在区间[2,3]上的值域为
.
19.(本小题满分12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需要增加投入100元,已知总收益满足函数:
R(x)=
其中x是仪器的月产量.当月产量为何值时,公司所获得利润最大?
最大利润是多少?
【解】 由于月产量为x台,则总成本为20000+100x,
从而利润f(x)=
当0≤x≤400时,f(x)=-
(x-300)2+25000,
所以当x=300时,有最大值25000;
当x>400时,f(x)=60000-100x是减函数,
所以f(x)=60000-100×
400<25000.
所以当x=300时,有最大值25000,
即当月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润是25000元.
20.(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数,且f[f(x)]=4x-1.
(1)求f(x);
(2)求函数y=f(x)+x2-x在x∈[-1,2]上的最大值与最小值.
【解】
(1)由题意可设f(x)=ax+b,(a<0),由于f[f(x)]=4x-1,则a2x+ab+b=4x-1,
故
解得a=-2,b=1.故f(x)=-2x+1.
(2)由
(1)知,函数y=f(x)+x2-x=-2x+1+x2-x=x2-3x+1,
故函数y=x2-3x+1的图象开口向上,对称轴为x=
,则函数y=f(x)+x2-x在
上为减函数,在
上为增函数.
又由f
=-
,f(-1)=6,f
(2)=-1,
则函数y=f(x)+x2-x在x∈[-1,2]上的最大值为6,最小值为-
21.(本小题满分12分)(2016·
聊城高一检测)已知函数f(x)=x2+4ax+2a+6,
(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞),求a的值;
(2)若函数f(x)的函数值均为非负数,求g(a)=2-a|a-1|的值域.
【解】
(1)由于函数的值域为[0,+∞),则判别式Δ=16a2-4(2a+6)=0,
解得a=-1或a=
(2)由于函数f(x)的函数值均为非负数,则Δ=16a2-4(2a+6)≤0,
解得-1≤a≤
,则-2≤a-1≤
∴g(a)=2-a|a-1|=
①当-1≤a≤1时,g(a)=
2+
,g
≤g(a)≤g(-1),∴
≤g(a)≤4.
②1<a≤
时,g(a)=-
g
≤g(a)<g
(1),
≤g(a)<2,
综上,函数g(a)的值域为
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=
为奇函数.
(1)求b的值;
(2)证明:
函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
(3)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0.
【解】
(1)∵函数f(x)=
为定义在R上的奇函数,∴f(0)=b=0.
(2)由
(1)可得f(x)=
,下面证明函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
证明:
设x2>x1>1,
则有f(x1)-f(x2)=
再根据x2>x1>1,可得1+x
>0,1+x
>0,x1-x2<0,1-x1x2<0,
>0,
即f(x1)>f(x2),∴函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
(3)由不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0,
可得f(1+2x2)>-f(-x2+2x-4)=f(x2-2x+4),
再根据函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,可得1+2x2<x2-2x+4,且x>1,
求得1<x<3,故不等式的解集为(1,3).
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