圆锥曲线解题技巧和方法综合全Word格式文档下载.docx
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“求范围,找不
等式”或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;
对于
(2)首
先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:
“最值问题,函数思
想”
最值问题的处理思路:
1、建立目标函数。
用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x、y的范围;
2、数形结合,用化曲为直的转化思想;
3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值;
4、借助均值不等式求最值。
已知抛物线y2=2px(p>
0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,
|AB|<
2p
(1)求a的取值范围;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求厶NAB面积的最大值。
(5)求曲线的方程问题
1曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。
已知直线L过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。
若点A(-1,0)和
点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。
2•曲线的形状未知-----求轨迹方程典型例题
已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:
x2+y2=l,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数•(•>
0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。
(6)存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:
求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。
(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来
解决)
y=4x-m,椭圆C上有不同两点关于直线对称
(7)两线段垂直问题
y1•y2
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用ki•k212--1来处理或用向量的坐标
x1•x2
运算来处理。
典型例题已知直线l的斜率为k,且过点P(「2,0),抛物线C:
y2二4(x1),直线I与
抛物线C有两个不同的交点(如图)。
(1)求k的取值范围;
(2)直线I的倾斜角二为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
四、解题的技巧方面:
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。
事实上,如果我们能够充分利用
几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。
下面举例说明:
(1)充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。
典型例题设直线3x4y•m=0与圆x2•y2•x-2y=0相交于P、Q两点,O为
坐标原点,若OP_OQ,求m的值。
(2)充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中
点等问题中常常用到。
典型例题已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线y=x•1相交于P、Q两点,
且OP_OQ,|PQ|二」0,求此椭圆方程。
(3)充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。
2222
典型例题求经过两已知圆C1:
xy-4x•2y=0和C2:
xy-2y-4=0的交点,且圆心在直线丨:
2x•4y一1=0上的圆的方程。
(4)充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。
典型例题P为椭圆笃•当=1上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四
边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。
(5)线段长的几种简便计算方法
1充分利用现成结果,减少运算过程
一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:
把直线方程y=kx•b代入圆锥
曲线方程中,得到型如ax2bx・c=0的方程,方程的两根设为xA,xB,判别式为△,
△
则|AB卜1k2•|x^xB^.1k2・一,若直接用结论,能减少配方、开方等运算
|a|
过程。
例求直线x-y•1=0被椭圆x24y2=16所截得的线段AB的长。
2结合图形的特殊位置关系,减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线
的定义,可回避复杂运算。
例F1、F2是椭圆-y1的两个焦点,AB是经过F1的弦,若|AB|=8,求值
259
|F2AI|F2B|
3禾U用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离
例点A(3,2)为定点,点F是抛物线y2二4x的焦点,点P在抛物线y2二4x上
移动,若|PA|TPF|取得最小值,求点P的坐标。
圆锥曲线解题方法技巧归纳
第一、知识储备:
1.直线方程的形式
(1)直线方程的形式有五件:
点斜式、两点式、斜截式、截距式、
一般式。
(2)与直线相关的重要内容
1倾斜角与斜率k二tan三[0,二)
2点到直线的距离d=A第Byo啟③夹角公式:
Ja2+b2
tan屮2-匕
|仆2人|
(3)弦长公式
直线y=kx+b上两点A(X|,yj,B(x2,y2)间的距离:
AB|=Ji+k21-x2
=J(i+k2)[(xi+X2)2—4x1X2]或ab=Ji*I%-y2
(4)两条直线的位置关系
①h_12二环2=-1②h〃l2二k^k2且d=b2
2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式有几种?
(三种形式)
标准方程:
——=1(m0,n•0且mn)
mn
距离式方程:
、、(xc)2y2.(x-c)2y2=2a
参数方程:
x=acos^,y=bsin日
(2)、双曲线的方程的形式有两种
1(mn:
:
0)
距离式方程:
|(xc)2y2_.(x—c)2y2|=2a
(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
椭圆:
近;
双曲线:
玄;
抛物线:
2p
aa
(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?
如:
已知印F2是椭圆-仝=1的两个焦点,平面内一个动点M满
43
足MF」[MF?
=2则动点M的轨迹是()
A、双曲线;
B、双曲线的一支;
C、两条射线;
D、一条射线
(5)、焦点三角形面积公式:
P在椭圆上时,SFPF=b2tan$
P在双曲线上时,S爭PF二b2cot-
(其中•EPF?
」卑生,左・昆=|尿|忌Icosr)
1PF111PF21
(6)、记住焦半径公式:
(1)
椭圆焦点在x轴上时为a_exo;
焦点在y轴上时为a_ey°
,可简记为“左加右减,上加下减”
(2)双曲线焦点在x轴上时为e|x0|_a
(3)抛物线焦点在x轴上时为|x,「号,焦点在y轴上时为|y1L-p
(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗?
_第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)
设Ax「y1、Bxzy,Ma,b为椭圆—-1的弦AB中点则有
Xi-X2XiXyi-y25^23a
二―〒——〒—=kAB一乓
2、联立消元法:
你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?
经典套路是什么?
如果有两个参数怎么办?
设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式.-0,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点A(X!
yi),B(X2,y2),将这两点代入曲线方程得到①②两个式子,然后①-②,整体消元,若有两个
字母未知数,贝S要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A、B、F共线解决之。
若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。
一旦设直线为y=kX•b,就意味着k存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x25y2=80上,且点A
是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).
(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;
(2)若角A为900,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.
分析:
第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率,从而写出直线BC的方程。
第二问抓住角A为90°
可得出AB丄AC,从而得X1X2y”2T4(yiy2)16=0,然后利用联立消元
法及交轨法求出点D的轨迹方程;
解:
(1)设B(Xi,yi),C(X2,y2),BC中点为(x°
y°
),F(2,0)则有
生+比=[么丄
2016-,2016
F(2,0)为三角形重心,所以由X1空=2,得Xo=3,由y1y24=0得
33
yo--2,代入
(1)得k=—
5
直线BC的方程为6x-5y-28=0
2)由AB丄AC得x1x2y1y2-14(y1y2)1^0
(2)
设直线BC方程为y=kx•b,代入4x2•5y2=80,得
(45k2)x210bkx5b2-80=0
-10kb5b2—80
x1x2_45k2,x1x2_4.5k2
9y9x-32y-16=0
所以所求点D的轨迹方程是x2(y-16)2=(垒)2(y=4)
99
4、设而不求法例2、如图,已知梯形ABCD中ab-2CD,点E分有向线段aC所
成的比为,双曲线过c、D、E三点,且以A、B为焦点当討W时,求双曲线离心率e的取值范围。
本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念
和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。
建
立直角坐标系xOy,如图,若设CC,h,代入笃—爲=1,求得h二川,
12丿ab
建立直角坐标系xOy,则CD丄y轴因为双曲线经过点C、D,且以A、
B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称
程得
e2
由①式得
将③式代入②式,整理得
4_4:
—2・,
4
故•=1_J-
21
由题设「.拦得,?
叮_亠迄3
343e2+24
解得.7<
e<
10
所以双曲线的离心率的取值范围为1.7,JO1
考虑|AE,AC为焦半径,可用焦半径公式,|AE,AC用E,C的横坐标表示,回避h的计算,达到设而不求的解题策略.
解法二:
建系同解法一,|AE=-(a+e^),AC|=a+ex:
设3八4得,討-兀诗
解得..7^—10
所以双曲线的离心率的取值范围为「7,J01
5、判别式法
例3已知双曲线c工工韵,直线l过点A.,2,0,斜率为k,当0k:
1'
时,双曲线的上支上有且仅有一点B到直线I的距离为'
•2,试求k的
值及此时点B的坐标。
分析1:
解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因
此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:
过点B作与I平行的直线,必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式
—0.由此出发,可设计如下解题思路:
I:
y=k(x—.2)0:
:
k:
1
直线I'
在I的上方且到直线I的距离为...2
解得k的值
解题过程略.
分析2:
如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为<2”,相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路:
问题
1T
kx_Vk|
关于x的方程—=L=J2(ockci)有唯一
_."
k2+片
D转化为一元二次方程根的问题
求解
简解:
设点M(x,\2x2)为双曲线C上支上任一点,则点M到直
线I的距离为:
于是,问题即可转化为如上关于x的方程.
由于0:
k:
1,所以2x2xkx,从而有
kx_耳;
2+x2-J2k=-kx+^2+x2+<
2k.
于是关于x的方程■-
—_kx2x22k二2(k21)
=卜;
2+x2i=(j2(k2+1)_&
k+kx)2,
|j2(k21)-,2kkx0
『__2
二未2_1x2+2k(:
2(k2+1)—Jkx+(;
2(k2+1)—J2k)_2=0,
]」2(k21)72kkx.0.
由0:
1可知:
方程k2—1x22k.2(k2—1)_-2kx.2(k^1)-..2^-^0的二根同
正,故2(k^1)-2kkx0恒成立,于是等价于
k2-1x22k.2(k2T)-.2kx.2(k21)-、2k-2=0.
由如上关于x的方程有唯一解,得其判别式:
=0,就可解得
25
k.
点评:
上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了
全局观念与整体思维的优越性.
例4已知椭圆C:
x2+2y2=8和点P(4,1),过P作直线交椭圆于
在曲线的方程.
这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往
往不知从何入手。
其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因
此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表
达,最后通过消参可达到解题的目的.
由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的,自然可选择直线
AB的斜率k作为参数,如何将x,y与k联系起来?
一方面利用点Q在直线AB上;
另一方面就是运用题目条件:
二一竺来转化•由A、B、
PBQB
P、Q四点共线,不难得到x_4(XaXb)/XaXb,要建立x与k的关系,只需-8(Xa+Xb)
将直线AB的方程代入椭圆C的方程,利用韦达定理即可.
通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心中有数.
点Q的轨迹方程
在得到X二fk之后,如果能够从整体上把握,认识到:
所谓消参,目的不过是得到关于X,y的方程(不含k),则可由y=k(x-4)+1解得k=口,直接代入x=fk即可得到轨迹方程。
从而简化消去参的过
x「4
程。
设直线AB的方程为:
y=k(x-4)T,代入椭圆C的方程,消去y
得出关于X的一元二次方程:
2k21x24k(1_4k)x2(1_4k)2_8=0
(2)
Xi+X2
X1X2=
4k(4k-1)
-2k21,
2(1_4k)-8
2k1
与y=k(x-4)*1联立,消去k得:
2x*y-4(x-4)=0.
在
(2)中,由厶=-64k264k24•0,解得2-10,.k10,结合(3)
4^24
可求得16_2丽八」6七9<
x<
9.
故知点Q的轨迹方程为:
2xy-4=0(16一210:
*:
16210).
由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元
二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参•,而“引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
6、求根公式法
例5设直线I过点P(0,3),和椭圆-•丄1顺次交于A、B两点,
94
试求需的取值范围•
PB
本题中,绝大多数同学不难得到:
竺二一2,但从此后却一
PBXb
筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:
其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程),这只需利用对应的思想实施;
其二则是构造关于所求量的一个不等关系•
分析1:
从第一条想法入手,詈二-乎已经是一个关系式,但由于
有两个变量Xa,Xb,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利
用第3个变量直线AB的斜率k.问题就转化为如何将xa,xb转化
为关于k的表达式,至吐匕为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y得出关于x的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.
所求量的取值范围
简解1当直线I垂直于x轴时,可求得仗=」;
PB5
当I与X轴不垂直时,设Axi,yi,B(X2,y2),直线I的方程为:
y=kX3,代入椭圆方程,消去y得9k24x254kx•45=0
由.■:
=(-54k)2-1809k24_0,解得k2_5,
9
18^」,
929—5k25
综上一心竺—「
如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:
判别式
往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因
在于齢^不是关于X1,X2的对称关系式.原因找到后’解决问题的
方法自然也就有了,即我们可以构造关于X「X2的对称关系式.
简解2:
设直线I的方程为:
y=kx・3,代入椭圆方程,消去y得
9k24x254kx45=0(*)
x1x2
45
9k4
令鱼一,则,「丄—324k2.
x2-45k-20
在(*)中,由判别式—0,可得k2—5,
324k<
36,所以
_45k20一5
1
5.
结合0:
■乞1得1—叮.
AP1
综上,-1.
范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值
不等式法,变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等.本题
也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法
解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里第三、推理训练:
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心。
以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程。
在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等),做到思考缜密、推理严密。
通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑,快速提高解题能力。
例6椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且AFFB=1,齐=1.
(I)求椭圆的标准方程;
(H)记椭圆的上顶点为M,直线I交椭圆于P,Q两点,问:
是否存在直线I,使点F恰为PQM的垂心?
若存在,求出直线I的方程;
若不存在,请说明理由。
思维流程:
a=2,b=1
写出椭圆方程
3x24mx2m2-2=0
得出关于m的方程
解题过程:
(I)如图建系,设椭圆方程为笃占=1(ab•0)则c=1ab
又tAFFB=1即(a+c)(a-c)=1=a2-c2a2=2
故椭圆方程为才•y2=1
(H)假设存在直线I交椭圆于P,Q两点,且F恰为:
PQM的垂心,
则
设P(Xi,yJ,Q(X2,y2),丁M(0,1),F(1,0),故kPQ-1,
于是设直线I为y=x+m,由!
厂X;
m得,工+2丫2=2
3x4mx2m-2=0
TMPFQ=0=n(x2-1)y2(%-1)又y=人m(i=1,2)
得x1(x2-1)(x2m)(x!
m-1)=0即
2x^2(x!
-x2)(m-1)•m2-m=0由韦达定理得
c2m-24m,八2门
2(m-1)m2-m=0
匚44
解得m二--或m=1(舍)经检验m二--符合条件.
点石成金:
垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两
向量乘积为零.
例7、已知椭圆E
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