学年七年级数学下册 第一章 第1节 同底数幂的乘法参考教案1 新版北师大版Word格式.docx
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105千米/秒,太阳光照射到地球上大约需要5×
102秒,地球距离太阳大约有多远?
问题2:
光在真空中的速度大约是3×
108米/秒,太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星,它发出的光到达地球大约需4.22年.一年以3×
107秒计算,比邻星与地球的距离约为多少千米?
[生]根据距离=速度×
时间,可得:
地球距离太阳的距离为:
3×
108×
5×
102=3×
(108×
102)(米)
比邻星与地球的距离约为:
107×
4.22=37.98×
107)(米)
[师]108×
102,108×
107如何计算呢?
[生]根据幂的意义:
102=
×
=
=1010
107
[师]很棒!
我们观察108×
102可以发现108、102这两个因数是同底的幂的形式,所以108×
102我们把这种运算叫做同底数幂的乘法,108×
107也是同底数幂的乘法.
由问题1和问题2不难看出,我们有必要研究和学习这样一种运算——同底数幂的乘法.
Ⅱ.学生通过做一做、议一议,推导出同底数幂的乘法的运算性质
1.做一做
出示投影片(§
计算下列各式:
(1)102×
103;
(2)105×
108;
(3)10m×
10n(m,n都是正整数)
你发现了什么?
注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言加以描述.
(4)2m×
2n等于什么?
(
)m×
)n呢,(m,n都是正整数).
[师]根据幂的意义,同学们可以独立解决上述问题.
[生]
(1)102×
103=(10×
10)×
(10×
10×
10)=105=102+3
因为102的意义表示两个10相乘;
103的意义表示三个10相乘.根据乘方的意义5个10相乘就表示105同样道理,可求得:
108
=1013=105+8
10n
=10m+n
从上面三个小题可以发现,底数都为10的幂相乘后的结果底数仍为10,指数为两个同底的幂的指数和.
[师]很好!
底数不同10的同底的幂相乘后的结果如何呢?
接着我们来利用幂的意义分析第(4)小题.
[生](4)2m×
2n
=2m+n
)n
=(
)m+n
我们可以发现底数相同的幂相乘的结果的底数和原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.
2.议一议
am·
an等于什么(m,n都是正整数)?
为什么?
[师生共析]am·
an表示同底的幂的乘法,根据幂的意义,可得
an=
·
=am+n
即有am·
an=am+n(m,n都是正整数)
用语言来描述此性质,即为:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
[师]同学们不妨再来深思,为什么同底数幂相乘,底数不变,指数相加呢?
即为什么am·
an=am+n呢?
[生]am表示m个a相乘,an表示n个a相乘,am·
an表示m个a相乘再乘以n个a相乘,即有(m+n)个a相乘,根据乘方的意义可得am·
an=am+n.
[师]也就是说同底数幂相乘,底数不变,指数要降低一级运算,变为相加.
Ⅲ.例题讲解
[例1]计算:
(1)(-3)7×
(-3)6;
(2)(
)3×
);
(3)-x3·
x5;
(4)b2m·
b2m+1.
[例2]用同底数幂乘法的性质计算投影片(§
1.3A)中的问题1和问题2.
[师]我们先来看例1中的四个小题,是不是都能用同底数幂的乘法的性质呢?
[生]
(1)、
(2)、(4)都能直接用同底数幂乘法的性质——底数不变,指数相加.
[生](3)也能用同底数幂乘法的性质.因为-x3·
x5中的-x3相当于(-1)×
x3,也就是说-x3的底数是x,x5的底数也为x,只要利用乘法结合律即可得出.
[师]下面我就叫四个同学板演.
[生]解:
(-3)6=(-3)7+6=(-3)13;
)=(
)3+1=(
)4;
x5=[(-1)×
x3]·
x5=(-1)[x3·
x5]=-x8;
b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.
[师]我们接下来看例2.
[生]问题1中地球距离太阳大约为:
105×
102
=15×
=1.5×
108(千米)
据测算,飞行这么远的距离,一架喷气式客机大约要20年.
问题2中比邻星与地球的距离约为:
1012=3.798×
1013(千米)
想一想:
an·
ap等于什么?
[生]am·
ap=(am·
an)·
ap=am+n·
ap=am+n+p;
ap=am·
(an·
ap)=am·
an+p=am+n+p;
ap=
=am+n+p.
Ⅳ.练习
1.随堂练习(课本P3):
计算
(1)52×
57;
(2)7×
73×
72;
(3)-x2·
x3;
(4)(-c)3·
(-c)m.
解:
57=59;
72=71+3+2=76;
x3=-(x2·
x3)=-x5;
(-c)m=(-c)3+m.
2.补充练习:
判断(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)x3·
x5=x15()
(2)x·
x3=x3()
(3)x3+x5=x8()
(4)x2·
x2=2x4()
(5)(-x)2·
(-x)3=(-x)5=-x5()
(6)a3·
a2-a2·
a3=0()
(7)a3·
b5=(ab)8()
(8)y7+y7=y14()
(1)×
.因为x3·
x5是同底数幂的乘法,运算性质应是底数不变,指数相加,即x3·
x5=x8.
(2)×
.x·
x3也是同底数幂的乘法,但切记x的指数是1,不是0,因此x·
x3=x1+3=x4.
(3)×
.x3+x5不是同底数幂的乘法,因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算,同时x3+x5是两个单项式相加,x3和x5不是同类项,因此x3+x5不能再进行运算.
(4)×
.x2·
x2是同底数幂的乘法,直接用运算性质应为x2·
x2=x2+2=x4.
(5)√.
(6)√.因为a3·
a3=a5-a5=0.
(7)×
.a3·
b5中a3与b5这两个幂的底数不相同.
(8)×
.y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项,因此应用合并同类项法则,得出y7+y7=2y7.
Ⅴ.课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质,请同学们谈一下有何新的收获和体会呢?
[生]在探索同底数幂乘法的性质时,进一步体会了幂的意义.了解了同底数幂乘法的运算性质.
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,我觉得应注意两点:
一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;
二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加.即am·
an=am+n(m、n是正整数).
Ⅵ.课后作业
课本习题1.1第1、2、3题
Ⅶ.活动与探究
计算:
2-22-23-24-25-26-27-28-29+210.
[过程]注意到210-29=29·
2-29×
1=29·
(2-1)=29,同理,29-28=28,…23-22=22,即2n+1-2n=2·
2n-2n=(2-1)·
2n=2n.逆用同底数幂的乘法的运算性质将2n+1化为21·
2n.
[结果]解:
原式=210-29-28-27-26-25-24-23-22+2=2·
29-29-28-27-26-25-24-23-22+2=29-28-27-26-25-24-23-22+2=…=22+2=6
●板书设计
一、提出问题:
地球到太阳的距离为15×
(105×
102)千米,如何计算105×
102.
二、结合幂的运算性质,推出同底数幂乘法的运算性质.
(1)105×
102=(10×
10)=107=105+2;
108=
=1013=105+8;
10n=
=10m+n;
2n=
=2m+n;
(5)(
)n=
)m+n;
综上所述,可得
(其中m、n为正整数)
三、例题:
(由学生板演,教师和学生共同讲评)
四、练习:
(分组完成)
●迁移发散
迁移运用本节课所学知识,解答下列题目:
am-3+a2m-4·
a
点拨:
先利用公式进行乘法运算,若所得结果是同类项再进行合并.在运用公式时,a的指数是1,不要漏掉.
=am+m-3+a2m-4+1
=a2m-3+a2m-3
=2a2m-3
发散本节课会用到的以前知识:
1.幂的知识
在am中,a是底数,m是指数,am叫幂.
2.同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.
3.合并同类项法则:
在合并同类项时,将同类项的系数相加,字母和字母的指数不变.
4.乘法结合律
a·
b·
c=a·
(b·
c)
运用公式时,适当地利用乘法运算律,可简化运算.
●备课资料
一、参考例题
(1)(-a)2·
(-a)3
(2)a5·
a2·
分析:
(1)中的两个幂的底数都是-a;
(2)中三个幂的底数都是a.根据同底数幂的乘法的运算性质:
底数不变,指数相加.
(-a)3
=(-a)2+3=(-a)5
=-a5.
(2)a5·
a=a5+2+1=a8
评注:
(2)中的“a”的指数为1,而不是0.
[例2]计算:
(1)a3·
(-a)4
(2)-b2·
(-b)2·
(-b)3
底数的符号不同,要把它们的底数化成同底的形式再运算,运算过程中要注意符号.
(-a)4=a3·
a4=a3+4=a7;
=-b2·
b2·
(-b3)
=b2·
b3=b7.
(1)中的(-a)4必须先化为a4,才可运用同底数幂的乘法性质计算;
(2)中-b2和(-b)2不相同,-b2表示b2的相反数,底数为b,而不是-b,(-b)2表示-b的平方,它的底数是-b,且(-b)2=(+b)2,所以(-b)2=b2,而(-b)3=-b3.
[例3]计算:
(1)(2a+b)2n+1·
(2a+b)3·
(2a+b)m-1
(2)(x-y)2(y-x)3
分别把(2a+b),(x-y)看成一个整体,
(1)是三个同底数幂相乘;
(2)中底不相同,可把(x-y)2化为(y-x)2或把(y-x)3化为-(x-y)3,使底相同后运算.
=(2a+b)2n+1+3+m-1
=(2a+b)2n+m+3
(2)解法一:
(x-y)2·
(y-x)3
=(y-x)2·
=(y-x)5
解法二:
=-(x-y)2(x-y)3
=-(x-y)5
(2)中的两个幂必须化为同底再运算,采用两种化同底的方法运算得到的结果是相同的.
[例4]计算:
x3
(2)a6+a6(3)a·
a4
运用幂的运算性质进行运算时,常会出现如下错误:
an=amn,am+an=am+n.例如
(1)易错解为x3·
x3=x9;
(2)易错解为a6+a6=a12;
(3)易错解为a·
a4=a4,而
(1)中3和3应相加;
(2)是合并同类项;
(3)也是易忽略的地方,把a的指数1看成0.
x3=x3+3=x6;
(2)a6+a6=2a6;
(3)a·
a4=a1+4=a5
二、在同底数幂的乘法常用的几种恒等变形.
(a-b)=-(b-a)
(a-b)2=(b-a)2
(a-b)3=-(b-a)3
(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1(n为正整数)
(a-b)2n=(b-a)2n(n为正整数)
●方法点拨
(1)-a·
(-a)3·
(-a)2
(2)-b3·
bn
(3)(x+y)n·
(x+y)m+1
应用同底数幂的乘法公式时,一定要保证底数相同.
(1)中底数是-a,-a可看作(-a)1;
(2)中-b3可看作(-1)·
b3,这样b3与bn可利用公式进行计算;
(3)中底数是x+y,将它看作一个整体.
(不要漏掉指数1)=(-a)1·
=(-a)6
=(-1)·
(b3·
bn)——乘法结合律
b3+n
=-b3+n
=(x+y)n+(m+1)
=(x+y)n+m+1
(1)a6·
a6
(2)a6+a6
对于
(1),可利用“同底数幂的乘法公式”计算,而第
(2)题,是两个幂相加,需进行合并同类项,注意两者的区别.
a6=a6+6=a12
(2)a6+a6=2a6
注意区分:
同底数幂的乘法是乘法运算,且底数不变,指数相加.
而合并同类项是加(减)法,且系数相加,字母与字母的指数不变.
(1)8×
2m×
16
(2)9×
27-3×
34
这两道题的乘法中,底数都不相同,但可进行相应的调整,变为同底数幂,即可利用公式进行计算.而
(2)中先进行乘法,再进行减法,注意运算顺序.
16=23×
24=23+m+4=2m+7
34=32×
33-3×
34=35-35=0
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