函数的单调性与最值考点和题型归纳Word文件下载.docx

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考点一　确定函数的单调性（区间））

[典例]　

（1）求函数f（x）＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．

（2）试讨论函数f（x）＝

（a≠0）在（－1,1）上的单调性．

[解]　

（1）易知f（x）＝

＝

画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为（－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞）．

（2）法一：

定义法

设－1<

x1<

x2<

1，

f（x）＝a

＝a

，

则f（x1）－f（x2）＝a

－a

.

由于－1<

所以x2－x1>

0，x1－1<

0，x2－1<

0，

故当a>

0时，f（x1）－f（x2）>

0，即f（x1）>

f（x2），

函数f（x）在（－1,1）上单调递减；

当a<

0时，f（x1）－f（x2）<

0，即f（x1）<

函数f（x）在（－1,1）上单调递增．

法二：

导数法

f′（x）＝

＝－

当a>

0时，f′（x）<

0，函数f（x）在（－1,1）上单调递减；

0时，f′（x）>

0，函数f（x）在（－1,1）上单调递增．

[解题技法]　判断函数单调性和求单调区间的方法

（1）定义法：

一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．

（2）图象法：

如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．

（3）导数法：

先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．

（4）性质法：

对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；

复合函数单调性，可用同增异减来确定．

[题组训练]

1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，（x1－x2）·

[f（x1）－f（x2）]<

0”的是（　　）

A．f（x）＝2x　　　　　　　B．f（x）＝|x－1|

C．f（x）＝

－xD．f（x）＝ln（x＋1）

解析：

选C　由（x1－x2）·

0可知，f（x）在（0，＋∞）上是减函数，A、D选项中，f（x）为增函数；

B中，f（x）＝|x－1|在（0，＋∞）上不单调；

对于f（x）＝

－x，因为y＝

与y＝－x在（0，＋∞）上单调递减，因此f（x）在（0，＋∞）上是减函数．

2．函数f（x）＝log

（x2－4）的单调递增区间是（　　）

A．（0，＋∞）B．（－∞，0）

C．（2，＋∞）D．（－∞，－2）

选D　令t＝x2－4，则y＝log

t.因为y＝log

t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为（－∞，－2）．

3．判断函数f（x）＝x＋

（a>

0）在（0，＋∞）上的单调性．

解：

设x1，x2是任意两个正数，且x1<

x2，

则f（x1）－f（x2）＝

－

（x1x2－a）．

当0<

x2≤

时，0<

x1x2<

a，x1－x2<

所以f（x1）－f（x2）>

所以函数f（x）在（0，

]上是减函数；

当

≤x1<

x2时，x1x2>

所以f（x1）－f（x2）<

所以函数f（x）在[

，＋∞）上是增函数．

综上可知，函数f（x）＝x＋

0）在（0，

]上是减函数，在[

考点二　求函数的值域（最值））

[典例]　

（1）（2019•深圳调研）函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．

（2）若函数f（x）＝－

＋b（a>

0）在

上的值域为

，则a＝________，b＝________.

（3）函数f（x）＝

的最大值为________．

[解析]　

（1）图象法

函数y＝

作出函数的图象如图所示．

根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞）．

（2）单调性法

∵f（x）＝－

上是增函数，

∴f（x）min＝f

，f（x）max＝f

（2）＝2.

即

解得a＝1，b＝

（3）当x≤0时，f（x）＝－x2－4x＝－（x＋2）2＋4，而－2∈（－∞，0]，此时f（x）在x＝－2处取得最大值，且f（－2）＝4；

当x>

0时，f（x）＝sinx，此时f（x）在区间（0，＋∞）上的最大值为1.综上所述，函数f（x）的最大值为4.

[答案]　

（1）[3，＋∞）　

（2）1　

　（3）4

[提醒]　

（1）求函数的最值时，应先确定函数的定义域．

（2）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．

1．函数f（x）＝

的值域为________．

0时，f（x）＝x＋

≥4，

当且仅当x＝2时取等号；

当x<

0时，－x＋

即f（x）＝x＋

≤－4，

当且仅当x＝－2取等号，

所以函数f（x）的值域为（－∞，－4]∪[4，＋∞）．

答案：

（－∞，－4]∪[4，＋∞）

2．若x∈

，则函数y＝4sin2x－12sinx－1的最大值为________，最小值为________．

令t＝sinx，因为x∈

所以t∈

，y＝f（t）＝4t2－12t－1，

因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t＝

，所以当t∈

时，函数f（t）单调递减，

所以当t＝－

时，ymax＝6；

当t＝1时，ymin＝－9.

6　－9

3．已知f（x）＝

，x∈[1，＋∞），且a≤1.若对任意x∈[1，＋∞），f（x）>

0恒成立，则实数a的取值范围是________．

对任意x∈[1，＋∞），f（x）>

0恒成立等价于x2＋2x＋a>

0在x∈[1，＋∞）上恒成立，即a>

－x2－2x在x∈[1，＋∞）上恒成立．

又函数y＝－x2－2x在[1，＋∞）上单调递减，

∴（－x2－2x）max＝－3，故a>

－3，

又∵a≤1，∴－3<

a≤1.

（－3,1]

考点三　函数单调性的应用

考法

（一）　比较函数值的大小

[典例]　设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（　　）

A．f（π）>

f（－3）>

f（－2）　

B．f（π）>

f（－2）>

f（－3）

C．f（π）<

f（－3）<

f（－2）

D．f（π）<

f（－2）<

[解析]　因为f（x）是偶函数，所以f（－3）＝f（3），f（－2）＝f

（2）．

又因为函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数．

所以f（π）>

f（3）>

f

（2），即f（π）>

f（－2）．

[答案]　A

[解题技法]　比较函数值大小的解题思路

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．

考法

（二）　解函数不等式

[典例]　设函数f（x）＝

若f（a＋1）≥f（2a－1），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1]　　　　　　　　B．（－∞，2]

C．[2,6]D．[2，＋∞）

[解析]　易知函数f（x）在定义域（－∞，＋∞）上是增函数，∵f（a＋1）≥f（2a－1），

∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是（－∞，2]．

[答案]　B

[解题技法]　求解含“f”的函数不等式的解题思路

先利用函数的相关性质将不等式转化为f（g（x））>

f（h（x））的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g（x）>

h（x）（或g（x）<

h（x））．

考法（三）　利用单调性求参数的范围（或值）

[典例]　（2019•南京调研）已知函数f（x）＝x－

＋

在（1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

[解析]　设1<

x2，∴x1x2>

1.

∵函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，

∴f（x1）－f（x2）＝x1－

＝（x1－x2）

<

0.

∵x1－x2<

0，∴1＋

>

0，即a>

－x1x2.

∵1<

x2，x1x2>

1，∴－x1x2<

－1，∴a≥－1.

∴a的取值范围是[－1，＋∞）．

[答案]　[－1，＋∞）

[解题技法]

利用单调性求参数的范围（或值）的方法

（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

（2）需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

1．已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>

x1>

1时，[f（x2）－f（x1）]·

（x2－x1）<

0恒成立，设a＝f

，b＝f

（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c>

a>

bB．c>

b>

a

C．a>

c>

bD．b>

c

选D　由于函数f（x）的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f

＝f

.当x2>

1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）<

0恒成立，等价于函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，所以b>

c.

2．已知函数f（x）＝

是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

选B　由对数函数的定义可得a>

0，且a≠1.

又函数f（x）在R上单调，而二次函数y＝ax2－x－

的图象开口向上，

所以函数f（x）在R上单调递减，

故有

所以a∈

A级

1．下列四个函数中，在x∈（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．f（x）＝3－x　　　　　　B．f（x）＝x2－3x

C．f（x）＝－

D．f（x）＝－|x|

选C　当x>

0时，f（x）＝3－x为减函数；

当x∈

时，f（x）＝x2－3x为减函数，当x∈

时，f（x）＝x2－3x为增函数；

当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－

为增函数；

当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－|x|为减函数．

2．若函数f（x）＝ax＋1在R上单调递减，则函数g（x）＝a（x2－4x＋3）的单调递增区间是（　　）

A．（2，＋∞）B．（－∞，2）

C．（4，＋∞）D．（－∞，4）

选B　因为f（x）＝ax＋1在R上单调递减，所以a<

而g（x）＝a（x2－4x＋3）＝a（x－2）2－a.

因为a<

0，所以g（x）在（－∞，2）上单调递增．

3．已知函数f（x）是定义在区间[0，＋∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f（2x－1）＜f

的x的取值范围是（　　）

选D　因为函数f（x）是定义在区间[0，＋∞）上的增函数，满足f（2x－1）＜f

所以0≤2x－1＜

，解得

≤x＜

4．（2019·

菏泽模拟）定义新运算⊕：

当a≥b时，a⊕b＝a；

b时，a⊕b＝b2，则函数f（x）＝（1⊕x）x－（2⊕x），x∈[－2，2]的最大值等于（　　）

A．－1B．1

C．6D．12

选C　由题意知当－2≤x≤1时，f（x）＝x－2，当1<

x≤2时，f（x）＝x3－2，又f（x）＝x－2，f（x）＝x3－2在相应的定义域内都为增函数，且f

（1）＝－1，f

（2）＝6，∴f（x）的最大值为6.

5．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－3），B（3,1）是其图象上的两点，那么不等式－3＜f（x＋1）＜1的解集的补集是（全集为R）（　　）

A．（－1,2）B．（1,4）

C．（－∞，－1）∪[4，＋∞）D．（－∞，－1]∪[2，＋∞）

选D　由函数f（x）是R上的增函数，A（0，－3），B（3,1）是其图象上的两点，知不等式－3＜f（x＋1）＜1即为f（0）＜f（x＋1）＜f（3），所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f（x＋1）＜1的解集的补集是（－∞，－1]∪[2，＋∞）．

6．已知函数f（x）＝

是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－3,0）B．（－∞，－2]

C．[－3，－2]D．（－∞，0）

选C　若f（x）是R上的增函数，则应满足

解得－3≤a≤－2.

7．已知函数f（x）＝

，则该函数的单调递增区间为________．

设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1]∪[3，＋∞）．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在（－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）．

[3，＋∞）

8．函数f（x）＝

当x≥1时，函数f（x）＝

为减函数，所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f

（1）＝1；

1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f（0）＝2.故函数f（x）的最大值为2.

2

9．若函数f（x）＝

在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为

，则a＝________.

由f（x）＝

的图象知，f（x）＝

在（0，＋∞）上是减函数，∵[2，a]⊆（0，＋∞），

∴f（x）＝

在[2，a]上也是减函数，

∴f（x）max＝f

（2）＝

，f（x）min＝f（a）＝

∴

，∴a＝4.

4

10．（2019·

甘肃会宁联考）若f（x）＝

在区间（－2，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

f（x）＝

＝1＋

，要使函数在区间（－2，＋∞）上是增函数，需使a－3<

0，解得a<

3.

（－∞，3）

11．已知函数f（x）＝

（a＞0，x＞0）．

（1）求证：

f（x）在（0，＋∞）上是增函数；

（2）若f（x）在

上的值域是

，求a的值．

（1）证明：

任取x1＞x2＞0，

∵x1＞x2＞0，

∴x1－x2＞0，x1x2＞0，

∴f（x1）－f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

（2）由

（1）可知，f（x）在

∴f

－2＝

，f

（2）＝

＝2，

解得a＝

12．已知f（x）＝

（x≠a）．

（1）若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）内单调递增；

（2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）内单调递减，求a的取值范围．

当a＝－2时，f（x）＝

任取x1，x2∈（－∞，－2），且x1＜x2，

因为（x1＋2）（x2＋2）＞0，x1－x2＜0，

所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以f（x）在（－∞，－2）内单调递增．

（2）任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，

因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f（x1）－f（x2）＞0，

所以（x1－a）（x2－a）＞0恒成立，所以a≤1.

所以0＜a≤1.

所以a的取值范围为（0,1]．

B级

1．若f（x）＝－x2＋4mx与g（x）＝

在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是（　　）

A．（－∞，0）∪（0,1]B．（－1,0）∪（0,1]

C．（0，＋∞）D．（0,1]

选D　函数f（x）＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；

g（x）＝

的图象由y＝

的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m>

0，解得m>

0.综上可得，m的取值范围是（0,1]．

2．已知函数f（x）＝lnx＋x，若f（a2－a）>

f（a＋3），则正数a的取值范围是________．

因为f（x）＝lnx＋x在（0，＋∞）上是增函数，

所以

解得－3<

a<

－1或a>

又a>

0，所以a>

（3，＋∞）

3．已知定义在R上的函数f（x）满足：

①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1，②当x>

0时，f（x）>

－1.

（1）求f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调增函数;

（2）若f

（1）＝1，解关于x的不等式f（x2＋2x）＋f（1－x）>

4.

（1）令x＝y＝0，得f（0）＝－1.

在R上任取x1>

x2，则x1－x2>

0，f（x1－x2）>

又f（x1）＝f[（x1－x2）＋x2]＝f（x1－x2）＋f（x2）＋1>

f（x2），　

所以函数f（x）在R上是单调增函数．

（2）由f

（1）＝1，得f

（2）＝3，f（3）＝5.

由f（x2＋2x）＋f（1－x）>

4得f（x2＋x＋1）>

f（3），

又函数f（x）在R上是增函数，故x2＋x＋1>

3，

解得x<

－2或x>

故原不等式的解集为{x|x<

1}．