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心理的原则然则上述两原则足够决定数学教育的本质么?
当然还不够条件。
教材的内容,对于学生宜富于兴趣;
枯燥无味的东西,决不能充作教材;
于是乎有心理的原则。
成人所喜之推理或实用问题,未必为未成年的青年所满足。
法国数学家H·
普安格勒(Poincare)曾经说道:
“有某教师在课室中,令学生们笔记‘圆周者,平面上于一定点等距离之点之轨迹也,’忠实的学生,记下来了;
顽皮的学生,不但无兴趣去记,甚至写些别的不相干的东西。
事实上,不论那一种学生,都尚未了解圆周为何物。
后来,教师用粉笔作圆于黑板上,全班学生方才明白‘圆周原来是一个圆圈’。
”科学家A·
哀思坦(Einstein)也说道:
“学生仅管对于数学以外的事物,具有才能,对于数学可以朦昧无知。
此种实情,其责任恐不能完全归之于学生,甚至可以完全可以归罪于教师。
”吾人应该站在学生的立场;
顺应学生的心理发展去教育学生,才能满足他们的真实感。
某些教材,虽然具有高度的实用性价值或高度的论理性价值,假使学生不发生任何真实感,就心理的原则而言,这些教材,简值是没有教育的价值。
三原则之统一上述三原则应该综合统一而不应该对立。
然则统一之关键何在?
是必须先就学生生活的环境中,使其易于接触易于理解且有实用价值的事物出发,以向论理的途径进行。
所以心理性和实用性应该是论理性的向导,选择教材不应该先将实用性和论理性分别采取,然后合拢;
这样勉强凑成的教材,是支离破裂的。
把数学的观念和方法运用于实际应用问题时,理论上的疑问,自然油然而生;
岂可以预先制成生硬的数学理论,强求适合于实用!
数学和其他的学科,并没有什么大不相同的地方,因为他常常伴着生产力、技术发展开来的。
对于古代数学的发生,恩格斯(Engels)曾经说过:
“季节的知识老早对于农业种族或游牧民族,已经绝对需要。
天文学没有数学的帮助,是无从发展起来的。
所以在这‘古代'
,已经有了数学。
农业发达到某阶段,因灌溉法之改进、都市之发达、航海的需要,力学跟着发生,力学没有数学的帮助,无由长足进展。
”此不独在数学的诞生期为然,无论在什么时代,数学常常伴着自然科学技术、社会科学发展而发展。
数学教育家能(Nunn)说的:
“数学的真理具有两面。
其一面的数学真理,向时(间)空(间)的实在世界进展而与之接触。
还有一面的数学真理,在数学的内部,相互对应,保持联系。
数学史就是把这两面真理的不断的发展,叙述其经过情形。
这两面的发展,并非互相独立,此未曾离彼,彼变未曾离此。
今后的数学恐也是这样,两面不曾分道扬镳,各自存在。
所以数学教育,应该使学生认清数学的发展,具有上述两重意义。
数学是物质的征服和社会的组织之一武器,同时是一有秩序的论理体系。
”
统一了上述三原则,以调和的精神,选择教材,决定教法,实践的过程,称之为数学教育。
二十世纪以前的数学教育
数学教育并不是一种幻想,乃是实践。
数学教育是在经济的、社会的、政治的制约下的一种文化形式,自然具有历史性。
就欧洲而言,其在奴隶社会制的古代希腊,支配阶级鄙视实践的计算术,和直觉的实践几何;
重视他们所谓“和行动没有关系的真科学”──就是数论──和“抽象的”几何学,岂不是太偏重于论理性!
在中世纪封建社会,教育为个人所支配,数学教育成为宗教的奴隶。
事实上,此时数学教育,偏重于低级的实用性──与生产和科学脱离的宗教上的实用性。
文艺复兴而后,工商业加速度的进展;
生产力之发展,促成自然科学的发达,因此发生机械论的唯物论。
所以十七、十八世纪的数学教育,自然强调实用性。
经过法兰西大革命,巴黎成为欧洲文化的中心,因时代的要求,“一般陶冶”的话头,逐渐流行;
中等教育不能专为牧师(神学)和律师(法学)的预备教育,重视所谓“一般陶冶”。
其特色是将数学和近世语添入教科之中。
数学占了普遍教育的一科,是从十八世纪开始的,所以严格的说:
数学教育萌芽于十八世纪。
但是,数学教授的内容,大部分是“理论数学”;
应用方面的数学,意识的为所排斥。
究其实际,他的内容也是限于希腊时代至十七世纪间的数学;
这个状态一直延长到十九世纪之末。
十九世纪的数学,虽然非常进展,然而它并没有促成数学教育的改进,因此,十九世纪的数学教育,和近代的科学(十九世纪的科学),社会的生活,几乎没有关系。
相反地,因入学考试的准则和其他种种考试的准则,数学难题的教授,和脱离实际的理论,成了数学教材的核心。
事实上,当时所采用的几何学课本,就是尤克立特<
1>
几何原本最初数章;
代数学和三角法,是将专门的材料,压缩而成的,太古太多,脱离实际需要。
当时的物理化学等自然科学等教材,已能推陈出新;
然而保守的数学,不改旧态。
到了十九世纪之末,近代科学的急速发达和各国产业的进展,经济的、社会的、思想的,给人们的生活状态以重大的变动。
无产阶级的解放运动,从而开始了中等教育的内容,不能不有所更变。
数学教育改造的先声保守的英国,她的几何学教本,一直沿用尤克立特的几何原本。
教师们视“原本”如“圣书”,不硕苟且改变其一字一句;
不但学生觉得干燥无味,教师也觉得痛苦非常;
改良之声渐起,到了1870,组织了“几何学教授改良协会”
(2),制定几何学要目。
其结果,不过是一种微温的刷新;
这也无怪其然,因为他们(协会会员)主张要不失原本精神和体裁,制定原本最初六卷的要目。
他们最大的难题是“如何改造原本第五卷的比例论”──比例论是原本中最壮丽的部分。
尼克宋的“改良尤克立特”(3)一书,在中国颇有流传,就是依“协会”的精神写成的几何学。
此协会到了1897年,改名为“英国数学协会”,以TheMathematicalGazette做他的机关杂志,登载关于教学教育的种种事情。
数学教育彼利运动数学教育改革的首创者,应该说是英国的J.彼利(J.Perry1850—1920)。
彼利幼时做过学徒(1864—68),锻冶工场的工人(1868—70),苦学的当中,曾经旁听汤姆生的讲义(4)。
彼利体验了劳动者的生活,努力于劳动者智识之增进;
后来做了伦敦国际理学院力学及数学的教授,于1901年在英国科学协会,作启蒙的改造讲演。
彼利主张的精神,是在数学的实践性,不光是说些教授的技巧。
他对于数学的见解,并不是将抽象的数学理论,如何应用于自然现象或社会现象的说明;
相反地,从自然现象或社会现象,由实践发见数学的法则,这是彼利所说的数学。
上述彼利1901的讲演,在数学教育史中,是划时代的。
其讲演纲要及其检讨,可以看彼利所著的书:
DiscussionontheTeachingofMathematics(Macmillan&
co.1902).
彼利的意见,仍对于向来的难题“如何教授几何学?
”集中,其要点如下:
(一)完全脱离尤克立特原本的形态,
(二)极度重视实验几何,
(三)强调几何的实用部分,
(四)注重立体几何,
(五)重视实用的种种测定,
(六)多用格子纸。
这次讲演的结果,自古认为经典的“原本”就因此废除。
这时新型的教科书有
GodfreyandSiddons,ShorterGaomestry(1912),
GodfreyandSiddons,ElementaryAlgebra(1912)。
彼利在总结小组讨论会的报告,指出了下列几点全体一致的意见:
(一)几何学的实验和实测应该是证明的前提,然而也可以稍稍利用演绎法
完成其说明。
(二)可采用的实验法,应由教师自己决定,随机应变,
(三)小学在算术初步,就应该使用,
(四)式子的数字计算,应该熟练;
因此可使学生明了种种记号的意义。
(五)指数法则一经教懂,应该马上授以对数和对数表的用法,
(六)教材的顺序和教法应由教师灵活运用,不可呆板。
法国的学制改革彼利的改革运动,影响及于国际数学教育。
但是,法国
在彼利运动以前,代数与几何,已经有融合教授的倾向,所以受彼利运动的刺激,不太利害。
不但如是,法国十九世纪出版的几何书,如
A.M.Legendre的ElementsdeGeome'
tric(其第十二版在1923发行),其内容已经和“原本”大不相同,又如鲁雪(5)和康勃露色(6)合著的初等几何学(7),一直到现在,还不失为一部很好的书。
但是,法国数学教育,并非毫无问题;
对于考试制度的预备教育,大有使中等教育专门化的倾向。
彼利讲演的第二年──1902──法国政府将中等教育制度全部革新。
数学教育因此大加改良,将日常生活有关系的部分增多,又将高深的部分平易化,重视直视的几何和函数的概念。
巴黎大学的数学教授E.波赖尔(8),依照这个趣旨,编了一套出色的教科书;
算术、代数、几何、三角,都在1903年出版。
波赖尔报告法国中学生用了波赖尔的教科书,兴味大增,成绩极优。
这一套教科书有德文和日文的译本。
德国的新主义数学运动法国1902的学制改革和英国1901彼利时期的讲演,自然冲动了德国学界。
德国的硕学──几何学大家──克来茵(9)不以大学教员不与闻中等教育为然,曾于1904年在自然科学会议席上,作一次讲演表题“对于中学数学和中学物理的注意”。
克来茵又作成文科中学的教授要目,于1904至1905在苟丁根大学作长期的讲演,说明他的课程方案。
这是德国新主义数学的原动力。
德国中学教师,1905年在梅兰(Meran)举行数学物理教授协会,作成教材要目大纲──梅兰要目。
这个梅兰要目,就是以克来茵的方案做骨子的,较诸说克来茵原案,虽然稍为温和,然而比较过去的情形,已经出色,现在将其要点,写在下面:
(一)顺应学生心意自然的发达,排列教材,选取教材;
(二)融合数学诸分科,并且要使和其他科学有密切连系;
(三)不过于重视数学的“形式陶冶”,“应该置重心于应用方面”,养成“用
数学的方法去观察自然现象和社会现象”的能力;
(四)要达到这个目的,必须以“函数观念”和“直观几何”做数学教授的骨子。
依拟这个要目,就有人完成[新主义数学]的教科书:
BehrendsenundGotting,LebuchderMathematiknachModerrenGrundsatzen(Teubner,1908).
这部书(10)将平面几何学、代数学、三角法、立体几何学、微分和积分、解析几何学、近世几何学,融为一体,呵成一气,以供九年制中学之用。
德国儿童,满九岁入中学,中学的种类有四,五;
他的数学时数,大约每周自4时到6时。
普鲁士政府指定五个中学实施梅兰要目,结果非常良好。
美国慕尔(11)的改造论欧洲的数学教育改造运动,对于美国,没有受到强烈的刺激,其原因之一是:
美国学校,老早不用尤克立特的原本,法国的几何教科书,着实通行。
还有一个原因是:
美国的考试制度,比较英国要宽松些,压迫不太历害,对于“考试”制度的斗争也不会激烈。
但是,支加哥大学教授慕尔,对于彼利的主张,不但拥护,并且指出美国的数学教育,大有缺点。
1902年慕尔在美国数学年会,发表他的会长讲演,题目是[数学之基础],他的后半段是关于数学教育的;
他说:
(一)代数、几何、物理,可否不使他们一一孤立,编成“有机的统一”呢?
统一而后,才能使数学物理和日常生活有密切的关系;
(二)三角法、解析几何、微分积分三分科,就其起源说,又就其发展的经路说,都是和具体的现象有密切关系;
所以应该把这三科的基本事项组织起来,使他们有密切关系,不应该让他们各自分立门户的;
(三)关于数学物理的教学,都应该采用实验室的方法。
慕尔教授的讲演,对于美国数学教育,有极大的影响;
依照
(一)的精神著成的书
Breslich,First—yearMathematics
Breslich,Second—yearMathematics(1906)
Breslich,Third—yearMathematics,
商务印书馆老早有了译本,又
RuggandClark,Fundamentalsofhigh—SchoolMathematics
一书,系1924出版的,也是依照慕尔融合主义写成的。
依
(二)写成的书,也相当多,例如
YoungandMorgan,ElementaryMathematicalAnalysis(Macmillan,1917)。
总结改造运动然则彼利,克来茵,慕尔的数学教育改造运动的基本精神究在何处呢?
基本精神是在教材教法的近代化、心理化;
实行数学各科的有机统一;
理论和实践的统一。
结局在求数学教育基本三原则的彻底统一。
详见下列诸著作:
J.Perry,TeachingofMathematics;
Klein,Vortrageü
berdenmathematicschenUnterricht
andenhoherenSchulen;
E.H,Moere,OnthefoundationofMathematics,National
Councilof
TeachersofMathematics,the
4thyearbook.
彼利的改造论,并非狭义的卑俗的实用主义;
此事已述于上文。
慕尔也说:
“数学教育的根本问题是如何融合理论(基本)数学和应用数学,但是不幸得很,在初等数学范围内,还保留着理论和应用的划界分疆”。
改造论者主张自然科学和工程科学中所必需的“高等数学”,应该把他平易化,这似乎有点轻视数学的“形式主义”;
然而这是似是而非的见解,因为数学的内容和形式,决不可以分解为二的。
为什么呢?
假如形式可以脱离内容而存在,这就是意味着数学是为形式而形式了。
克来茵说得好;
“现在吾人所宜努力的事,并不是追求两极端──形式主义和实利主义──取其一端而舍其他端,乃是融合两者成为一体”。
我们仅仅乎教授这些现实的生活上所要求的数学知识,这不能算尽了数学工作者的职,我们必须生动的指导学生,使学生们能够利用数学知识于现实问题。
要使理论和实践,保持生动的关系,必须从现实自身,由实践学习得数学知识。
彼利说:
“教儿童推理一件事体以前,必先使他实行这件事体,儿童从测量、计算、实验,所得的结果,才能养成他的推动力。
并且因此儿童沾沾自喜他的生动的创造”。
这是彼利实用数学的本质。
彼利著有“初等实用数学”一书:
Elementary Practical Mathematics(1913),
新宫恒次郎于1929年译成日文,小仑金之助做了一篇序文,序文的未尾说道:
“美国的数学教科书,号称心理的、社会的、实用的、教授法的、最进步的,但是资本主义的和事务式的美国主义的反映,到处找得出。
诸君若要一本具有无产阶级实践性的强有力的数学书,我就推荐这本书。
这本书可能在某些意义上是未成品,但是它期待着有光辉的未来”。
彼利强调“从前的数学教材的排列,‘学者’或许认为是论理的;
但是对于儿童,这些东西,完全是非论理的;
儿童所能接受的论理,必须通过实验、实测、图解……。
分科主义和融合主义从“线”方程,“平方”方程,“立方”方程,和a的平方,a的立方这些用语来看,古时代数和几何未曾分离。
事实上,尤克立特原本十三卷中,有三卷是算术;
牛顿全集中的数学和物理融会贯通。
后来许多学者,觉着数学诸分科,各有各的特殊方法,把各科纯论理的展开,颇有兴趣,方司岛说(12)把近世几何学从解析向何学分解出来,是其一例。
数学不光是在学术上分了科,在数学教授上算术、代数学、几何学、三角法、解析几何学,各自陷于孤立的局面。
然而在科学的研究当中,用数学做武器的时候,往往需要各科全般的知识,假如预先有了有机的统一,那就方便多了。
综合的数学,不但可以避免重复,学习既省时间;
并且可以使学生明白生动的数学体系。
代数学中不用几何,几何学中不用代数、三角,如是独立门户,究有何益!
然则统一各分科而成综合的数学,应该用什么东西做原则呢?
改造论者,大都用函数的概念做统一的原则。
克来茵说:
“在几何学形式的函数概念(31),是数学教育的魂魄。
”又说:
“以函数概念做中心,将它周围的一切数学教材,有计划的集中,就得着综合的数学。
”现在把克莱茵自己作成的中学课程表的一部分,写在下面,下列三项,是德国儿童十三岁到十四岁(一年间)所应该学习的教材:
(一)直角坐标和简单函数的曲线表示──用格子纸;
须注意此种曲线的全程,上坡下坡,围绕的面积等事;
(二)用函数概念做骨子,教授下列诸事项。
──幂及根,一次及二次方程,圆锥曲线的初步,关于圆的计算,三角形的边角关系;
(三)多学实际之例,熟练空间的知识和数学计算。
下列三项,是中学最后一年的教材:
(一)解析的及综合的处理圆锥曲线,并且把他应用到天文学初步;
(二)中学数学全部教材的复习,用曲线或计算解决更难的实际问题;
(三)精细回顾数学全系统,并时时加以历史的说明。
国际数学教科调查会数学教育,经彼利、克来茵、慕尔的指导和进步的数学教师的努力,改造运动已成为国际问题。
第四次举国际数学大会(14)于1908年在罗马举行的时候,决定设置国际数学教科调查会,克来茵等三人做常务理事,利用法国的
L‘Enseignementmathematique
做机关杂志。
1912年,国际数学会在英国剑桥大学举行第五次大会,有二十七国的代表,提出各地数学教育状况报告书一百五十种,大部分已印刷发行,成为数学教育史上莫大的文献。
第五次会的会长是克来茵,克来茵的德国报告书
Abhandlungenü
berdenmathematischenUntersichtinDentschland,
在150报告书中,最为详细。
调查会的工作因战争而中止。
150份的报告书,不易卒读,叙述他的大纲的,有在150报告书中,最为详细。
150份的报告书,不易卒读,叙述他的大纲的,有
Brown,Curriculainmathematics.Acomparisonofcoursesinthe
countries,etc.
Archilald,Trainingofteachersofmathematicsforthesecondary
schoolsofconntries,etc.
各国数学教育的进展,因国情不同,色彩也不一致;
然而改造的基调,可以说是各国完全相同。
自然,改造的实际方案,不能如指导者彼利、克来茵、慕尔所示,一一顺利进行。
这是因为数学教育,以过去的“遗产”做基本;
要脱离传统,成新鲜的组织,困难重重。
比方说要把代数和几何融合,也不是容易的事。
第一次大战后的数学教育数学教育,和其他学科的教育一样,是受社会状势的限制的。
因大战而起的经济的、社会的、政治的的激动,直接或间接,对于数学教育,有莫大的影响。
关于第一次大战后,各国数学教育的一般状况的参考资料,有国际数学教科调查会的报告,报告书有英文法文两种:
英文的是
Significantchangesandtrendsintheteachingofmathematicsthrough
theworldsince1910(数学教员会1929的年会),法文的载在1929-1933的杂志:
EnseignementMathematique.
大战中以及战后的数学教育,是混乱得很的。
有些国家的教育,停滞不进;
有些国家反而后退,“古气”蒸腾;
有些国家,因经济的顺调进展,数学教育也得着顺利进行。
先说后退的
意大利意国在战前,也伴着国际改造运动,有进步的倾向。
其后,国家因社会的,经济的不安,酿成法西斯政治。
到了1923年,中等教育的目的和学制,有重大的变更。
规定中等教育“以养成态度为目的”,作为中学教科的全部,法西斯脱所谓在文学的、哲学的、历史的立场──“国粹的”立场(15)──宣告统一了。
这样一来,中等教育不必讲究实用,也不必准备做高等的研究了。
教育的方针既然如是;
自然科学和数学的学习和教授时数必然的削减了,详见下表。
初级中学(Ginnasio)
年龄
学年
数学时数
理科时数
11-
一
1
12-
二
2
13-
三
14-
四
15-
五
高级中学(Liceo)
数学物理时数(合计)
化学+专物时数(合计)
16-
4
3
17-
18-
5
初级中学入学考试数学科目:
一算术,几何;
高级中学入学考试数学科目:
一代数,几何。
高级中学的毕业考试;
数学科目是代数学、几何和三角法。
此外还有高级理科中学,其毕业考试,添加直角坐标和函数与图表,大战前的教材,也有直观的、实验的、实用的部分;
1923的学制将这些东西,完全废弃,而变成形式的、抽象的、纯论理的东西了。
意大利的教育部,并不公布中学校的课程要目,全部(中学毕业考试等)都是国家考试;
“因国家考试的要目,有严格的规定,从页中学课程跟着考试要目也有一定的内容了。
用极少的时间数,来定数学课程,只有两条路可以走:
第一法:
把数学程度降低。
第二法:
仅言纲领,把他变成骨瘦如柴的东西。
意大利事实上实行了第二法。
但是,以极少的时间简洁的通过数学的全程,不可能和彼利、克来茵的改造论相容。
为什么?
用实验实测来发现新的事实,不但需要时间、并且与”古典的精神“(16)不能一致。
此时几何学家旁
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