论力学碰撞1人阅读Word文档格式.docx
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3
)速度要发生有限的改变,位移在碰撞前后可以忽略不计
三、类型
恢复系数:
碰撞后两球的分离速度(
v
—
)与碰撞前两球的接近速度(
10
20
)成正
比,比值由两球的材料性质决定,
完全非弹性碰撞:
e=0,
则
=
,亦即两球碰撞后以同一速度运动,并不分开。
完全弹性碰撞:
e=1
,则分离速度等于接近速度。
非完全弹性碰撞:
两球碰撞过程后,彼此分开,有机械能损耗,转变为其他形式的能量。
四、原理
动量守恒:
m
机械能守恒:
五、实例讨论:
在力学碰撞内容的教学中
我们遇到了这样一个问题
两球具有相同的质量
和半径
悬挂于同一高度
静止时
两球恰能接触且悬线平行
碰撞的恢复系数为
e,
若球
A
自高度
h1
释放
如图
所示
求
该球返回后能达到的高度
h.
图
通常
只考虑碰撞一次
但如果我们考虑多次碰撞
在
0<
e<
1
的情况下
就会出现与一
次碰撞不同的结果
以下讨论均在线性情况下进行
即两球作小角度单摆运动
单摆周期与
摆角无关
先研究
球
当
由
h1(
质心
)
下落至最低点时
由机械能守恒得
gh
碰撞前
B
球静止
设
球和
球发生碰撞后
A
球的速度大小为
V
由恢复系数公式
得
ev
1)
由动量守恒定律
mv
2)
由于
取值不同
会得到不同的结果
下面分别对几种情况进行讨论
(1)e=0,
即碰撞之后
、
两球共同运动
两球始终相切接触但没有
相互
作用
碰撞
在以后的运动中就似一个小球的往复摆动
因此
球返回的最高高度为
4
8
h
g
(2)
e=
1,
即球
与球
发生完全弹性碰撞
球与
球碰撞后交
换速度
球以
向右上升到高度
然后返回与
球在最低点又发生完全弹性
B
向左上升到高度
球在最低点又发生完全弹性碰撞
类似
球接力单摆运动
以上两种情况易分析清楚
下面详细分析第三种情况
(3)0<
1,
即发生非完全弹性碰撞
碰撞后
即在
两
球相互碰撞之后
都右运动
在右侧运动的过程中是否会再次发生碰撞呢
?
先讨论一个小球
的摆动情况
设球的半径为
r,
不计绳的质量
H
较小
小球所受重力对转轴的力矩为
r
l
mg
M
sin
由角动量定理可得
5
dt
d
mr
所以
T
由式
(4)
知
两小球摆动周期
相同
两球的运动步调一致
仅角振幅不同
在右
侧上升过程中
追不上
B,
到达最高点时
速度同时为
0,
但不发生碰撞
由单摆运动的对
称特点
下落过程中
两球由最高处返回最低点时也不会发生碰撞
但是
在最低点时
两球的速率和它们第一次发生碰撞上升的速率一样
只是方向相反
此时两球接触
仍
未发生碰撞
但在下一时刻
大于
两球离开最低点向左运动瞬时
将发生第二
次非完全弹性碰撞
此过程为
当发生第一次碰撞后
在右边的运动过程中
包括上升和下降
不会发生碰
撞
回到最低点时发生第二次碰撞
第二次碰撞后
在左边运动过程中
不会发生碰撞
回到最低点时发生第三次碰撞
,.
即
每次经过最低点都发生一次非完全弹
性碰撞
定量计算如下
第
一
次
碰
后
它
们
达
到
最
大
高
度
返回到最低点
两球的速度大小为
运动方向为向左
设第二次碰撞后
两球的速度大小分别为
方向向左
由动量守恒定律得
即得
(5)
又因为恢复系数
(6)
故解得
(7)
同理
第三次碰撞后
方向向右
表
给出了碰撞后
两球速度大小、
球上升高度以及系统能量损失
碰撞点在最低点
中
左
右
分
别
示
位
置
垂
直
线
的
侧
对于
e<
情况
每一次回到最低点都会发生一次非完全弹性碰撞
碰后两球
的速率更接近
系统能量有损失
多次碰撞之后两球速率相同
n
就像
时一样
两球共同摆动达到同样的高度
最后
球返回的高度为
而不是
-
如果小球摆动的角度大
即非线性情况
由于周期与初始状态有关
所以情况会比小角
度摆动的线性情况复杂得多
需要作进一步理论探讨
对于只作一次碰撞的情况
则不论是小角度摆动情况
还是大角度摆动情况
其结果都
是
球返回高度为
将这一问题设置在两球对心碰撞的章节中是合适的
当学生学完质
点系动力学和刚体动力学、振动内容之后
引导学生作本文所述的计算和讨论
对于深化学
生对该问题的理解是有好处的
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