数学建模范例Word文档格式.docx
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调整之后的方案为:
机组71
153
188.2
155
102.1
此时,清算价为356元/兆瓦小时,购电费用为93699.2元,阻塞费用为1310.2丿元。
关键词:
多元线性回归分析;
最优解;
非线性规划;
多目标规划
一、问题重述
近年来我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。
电力从生产到使用的四大环节一一发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。
我国电力市场初期是发电侧电力市场,采取交易与调度一体化的模式。
根据电力市场交易规则:
1.以15分钟为一个时段组织交易,每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。
2.在当前时段内,按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分,直到它们之和等于预报的负荷。
最后一个被选入的段价(最高段价)称为该时段的清算价,该时段全部机组的所有出力均按清算价结算。
计算当执行各机组出力分配预案时电网各主要线路上的有功潮流,判断是否
会出现输电阻塞。
如果不出现,接受各机组出力分配预案;
否则,按照如下原则实施阻塞管理:
我们需要做的工作如下:
1.某电网有8台发电机组,6条主要线路,表1和表2中的方案0给出了
各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值,方案1~32给出了围绕方案0
的一些实验数据,试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。
2.设计一种简明、合理的阻塞费用计算规则,除考虑上述电力市场规则外,还需注意:
在输电阻塞发生时公平地对待序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。
3.假设下一个时段预报的负荷需求是982.4MV,表3、表4和表5分别给出了各机组的段容量、段价和爬坡速率的数据,试按照电力市场规则给出下一个时段各机组的出力分配预案。
4.按照表6给出的潮流限值,检查得到的出力分配预案是否会引起输电阻塞,并在发生输电阻塞时,根据安全且经济的原则,调整各机组出力分配方案,并给出与该方案相应的阻塞费用。
5.假设下一个时段预报的负荷需求是1052.8MV,重复3~4的工作。
二、条件假设
1.假设各机组对线路上有功潮流值的影响相互独立,互不干扰;
2.假设在误差范围内,可以用有功潮流值与机组出力值关系的近似表达来计算在各机组出力确定的情况下,各线路上的有功潮流值的大小;
3.假设机组的段容量区间为左开右闭,便于统一计算处理;
4.各机组出力值的总和等于总负荷需求量,不计传输损失。
三、符号说明
:
下一时段的负荷量;
清算价;
总的购电费用;
i:
各机组的序号;
j:
各线路的序号;
X:
第i个机组的出力值;
比:
第j条线路上有功潮流绝对值的大小;
z:
阻塞费用;
〉:
线路上有功潮流值超出限值的百分比;
四、问题分析
我国电力市场发展的初期是发电侧电力市场,采取交易与调制一体化的模
式。
因此,在此情况下研究电力市场的输电及其输电阻塞的管理十分必要。
为了
解题步骤清晰,给出该模式下的操作流程图,
得到下一时段的负荷预报
根据报价、当前机组出力和各机组爬坡速率选取段容量
得到出力分配预案和清算价
图1机组出力值计算流程图
针对问题1,题中给出了某一时刻下,各机组的出力值及其个线路上有功潮流值的大小,随后针对该时刻,分别单独地改变每个机组的出力值,记录各线路有功潮流值的大小。
我们可以选取其中某一根线路上的有功潮流值大小进行研究。
表1和表2各机组的出力方案及主线路潮流值中共有33组数据,其中方案0给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值,方案1~32给出了围
绕方案0的一些实验数据。
通过观察表1的33组数据后,我们发现表中每连续4组数值(比如:
1—4组,5—8组,9—12组等)中只有某一个机组的出力在发生变化而其余7个机组的出力值保持不变。
由上图可知,y1与Xi、X2都呈线性关系,同理可得,yi(i=l2HI,6)与Xj(j=1,2,|H,8)都呈线性关系。
因此,可以利用线性回归回归分析来求解近似表达式针对问题2,因为预案中各机组的出力值大小可能导致某条或者多条线路上的有功潮流值的大小超过限值,为此出于安全因素的考虑,需要对原有的预案进行调整,使得处事交易方案不能执行,为此要支付阻塞费用,阻塞费用分为序外补偿费用和序内补偿费用。
我们计算序外容量和序内容量都按照预案清算价和新方案出力对应报价之差计算。
给出相应的补偿公式及其阻塞费用公式。
针对问题3,该问题是在下一时段需求负荷为982.4MW勺情况下,计算各机组出力分配预案,不考虑输电阻塞的因素。
最终的预案应该使得到的清算价取得最小值。
此外除了各机组的出力值总和要等于需求负荷,每个机组的预算出力值还要受到当前出力值和该机组的爬坡速率的影响,即,机组的出力值有范围限制。
对此我们可以建立0-1规划的目标规划模型,清算价为目标函数,实现其最小,爬坡速率等限制条件作为约束条件,利用lingo即可求出对应的各机组出力分配预案。
针对问题4,本问题是对问题3的后序处理,首先利用问题1所得到的线路有功潮流值关于机组出力大小的关系表达式,计算问题3预案机组出力分配情况下每条线路上的有功潮流值,判断是否出现阻塞,如果出现阻塞,就应该调整原有的预案分配。
其中出现补偿情况,为了使补偿费用最小,用补偿费用作为优化目标建立目标规划模型,增加有功潮流限值的约束条件,利用lingo求解得到新的机组出力分配预案。
针对问题5,下一时段的需求负荷为1052.8MW勺情况,此问题除了对问题
3,4进行再讨论外,主要是针对在出现输电阻塞,且无论如何调整各机组出力的分配预案也无法消除阻塞情况的分析。
此时需要使用安全裕度输电,此方案不仅要使阻塞费用最小,还要求每条线路上潮流值超出限值的百分比尽量小,对此我
们可以建立双目标规划求解,在问题4的约束条件下还要添加每条线路上潮流值超过限值的百分比小于安全裕度的约束条件。
利用lingo求解出各机组出力的分配预案。
五、模型建立与求解
5.1问题1的建模与求解
5.1.1模型分析
利用线性回归回归分析的方法求出8个机组对该线路上有功潮流值大小影响关系表达式,继而求出6条线路上,每条线路上有功潮流值大小与各机组出力的近似表达式,并进行误差分析,讨论所得的近似表达式是否可以用来计算在机组出力值确定的情况下,计算每条线路上有功潮流值的大小。
5.1.2模型建立
假设每个机组对线路上有功潮流值大小的影响都是独立的,且每条线路上潮流值的变化与各机组出力分配成线性关系,即可以表示为
y^-0J■-1,j*x^-'
-8,j*x8
其中,Xi表示第i个机组的出力值,并表示第i个机组对线路j的影响系数。
以%为例进行求解。
设
y^bodx1F2X2F3X3b4X4b5X5b6Xsb?
X7bgXg。
相同的方法,我们可以得到yjj=1,2,3,4,5,6均与X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8成线性关系,故都可以用上式表达。
5.1.3模型求解
直接利用matlab统计工具箱中的命令regress求解,使用格式为:
b,bint,r,rint,statS-regressy,x,alpha
其中输入y为模型(3)中y的数据(n维向量,n=30),x为对应于回归系数
b=:
bo,bi,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8的数据矩阵IdxxNx,XeNx,"
n*9矩阵,
其中第一列为全1向量),alpha为置信水平:
-(缺省时:
=0.05);
输出b为:
-的
估计值,常记作b,bint为b的置信区间,r为残差向量y—xb,rint为r的置信区间,stats为回归模型的检验统计量,有3个值。
第1个是回归方程的决定系数R2(R是相关系数),第2个是F统计量值,第3个是与F统计量值对应的概率值p。
得到模型(3)的回归系数估计值及其置信区间(置信水平。
=0.05)、检验统计量值R2,F,p的结果见表
参数
参数估计值
参数置信区间
b。
110.4775
109.5421111.4129】
b1
0.0826
0.08080.0844】
b2
0.0478
b.04370.0518】
b3
0.0528
b.05140.0542】
b4
0.1199
0.11660.1231】
b5
-0.0257
L0.0277-0.0237】
be
0.1216
0.11900.1243】
by
0.1220
0.11890.1251】
b8
-0.0015
[-0.00370.0007】
R2=0.9995,F=5862,P=3.55E-36
表1问题1模型的计算结果
结果分析:
利用多重判定系数R2、统计量F、F所对应的概率P来验证模型的
可行性。
R2越接近1,回归平面拟合程度越高,统计量F越大,回归平面拟合程度越高,当F所对应的概率p=0.05时,拟合程度越高。
这样我们得到了yi关于Xi,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8的近似表达式,同理也可得
到y2,y3,y4,y5,y6关于Xi^xnxxxn的近似表达式。
具体形式如下:
y2=131.3521-0.0547X[0.1275x2-0.0001x30.0332x40.0867x5—0.1127x6-0.0186x70.0985x8
y3--108.9928_0.0694xi0.0620X2-0.1565x3-0.0099x40.1247x50.0024x6-0.0028x7-0.2012x8
y4=77.6116-0.0346X-0.1028x20.2050x3-0.0209x4-0.0120x50.0057x60.1452x70.0763x8
y5=133.13340.0003x10.2428x2-0.0647x3-0.0412x4-0.0655x50.0700x6-0.0039x7-0.0092x
y6=120.84810.2376X1-0.0607x2-0.0781x30.0929x40.0466x5-0.0003x60.1664x70.0004x8
对求出的耳,j进行残差分析并对各组系数在进行线性回归时的显著性程度p
进行分析
图4片」进行残差分析
上述的显著性程度平均小于a=0.0025,可知回归模型中得到的系数矩阵可
以接受,即正确。
通过各组数值的残插图分析,每组除了极少数数据外,其余数据残差离零点均较低,且残差的置信区间均包含零点,这说明得到的回归模型能够较好地符合原始数据,其中偏离较大的数据可作为异常点。
5.2问题2的建模与求解
521模型分析
阻塞费用的计算是以电力市场规则为依据。
主要包含两部分:
1)对于序外容量:
方案调整后,一些机组由于出力增加,其报价也会随之增加,但由于清算价始终保持不变,使得机组不得不在低于其报价的清算价上出力,导致了获利损失。
因此,网方应对调整的出力部分造成的损失给予补偿,有补偿费用(调整后报价-清算价)出力的调整量。
2)对于序内容量:
由于出力方案的调整,使得一些机组的出力值减少或者为零,减少部分的出力值的获利消失。
为解决这部分损失,网方应赔偿该机组少得的获利值:
补偿费用(清算价-调整前报价)出力的调整量。
5.2.2模型的建立
设Xi表示方案调整前第i台机组的出力,Xi'
表示方案调整后第i台机组的出力。
p表示方案调整前的清算价,p表示方案调整后的第i台机组对应Xi'
的报价,由上述结算规则,
序外容量的补偿费为:
召=丄?
(xi'
-xi)(pi-p)
4x%x
序内容量的补偿费为:
z2=—?
(xi-xi'
)(p-pi)
4x'
<
x
则阻塞费用Z为这两者之和,即:
z=乙•z2
=;
?
(Xi'
-Xi)(Pi-p)+^?
(Xi-Xi'
)(p-Pi)
4Xi'
3Xi4X:
<X
5.3问题3的建模与求解
531模型分析
该模型是以清算价格为优化目标的0-1规划模型,引入决策变量Nj,m表示对于出力矩阵中元素的选取,Nj,m=1表示选取对应的元素,M,m=0表示不选取对应的元素,我们给出出力矩阵,并且对应的价格矩阵,即可将出力与报价练习在一起建立方程和不等式。
分配方案即为在出力矩阵的每行选取一个元素,使其和等于负荷量,并且对应的报价矩阵的清算价最低。
5.3.2模型建立
首先为模型的建立做准备,即给出出力矩阵A和对应的价格矩阵B。
根据题中所给表3各机组的段容量初步写出出力矩阵A,
「70
70
120
190]
30
50
58
73
81
89
110
200
240
280
A=
55
60
80
90
100
115
116
75
135
145
105
170
65
85
123
130
160一
因为下一时刻机组的出力值还与现时段的出力值和该机组的爬坡速率有关,
即,Xj-Vjt—冷_XiVit,其中,Xi表示现时段第i个机组的出力值,Xi'
表示下
时段第i个机组的出力值,t表示时段的时间长度,Vi表示机组i的爬坡速率。
继而可得,
X,[87,153]
X2'
[58,88]
x3'
[132,228]
x4'
[60.5,99.5]
X5'
[98,152]
x6'
[95,155]
X7'
[60.1,102.1]
X8'
[63,117]
为了使出力矩阵更加完整,将上述所求边界值插入A•得到出力矩阵A,
■70
87
132
60.5
98
60.1
63
117
160一
根据题中表4给出的各机组的段价,写出对应出力矩阵M的价格矩阵B
-
-505
124
168
210
252
312
330
363
489
489]
-560
182
203
245
300
320
360
410
495
-610
189
233
258
308
356
415
500
B=
-500
255
302
325
380
435
800
-590
146
188
215
250
310
396
510
-607
159
173
205
305
405
520
251
260
306
315
335
348
548
-800
183
253
283
303
318
400
800一
至此,我们开始建立模型。
1.决策变量
我们引入决策变量Nm,i=1,2,3,,,,8;
m=1,2,3,,,,12。
Ni,m=1,表示选取出力矩阵A中对应元素;
Ni,m=0,表示不选取出力矩阵A中对应元素。
2.目标函数
该规划的目标是使最终的清算价最小。
用pi表示第i台机组的最高报价,
i=1,2,3,”,8。
则目标函数可以表示为:
minp=maxpi
3.约束条件
(1)每个机组只会选择一个出力值,即,
12
■-Nj,m=1,i=1,2,3,,,,8
m理
(2)每个机组最高报价等与出力矩阵A选中元素对应在价格矩阵B中的元素,即,
PiNj,m・bi,m,i=1,2,3,ii,8
m4
其中,bi,m为价格矩阵B中的对应元素。
(3)机组的出力受到爬坡速率的限制,即,
Xi—Vjt兰送Ni,m・ai,mWXi+Vjt,i=1,2,3,,,,8
mz!
t表示
其中,Xi表示当前时段机组i的出力;
Vi表示机组i的爬坡速率;
时段的时间长度;
ai,m为出力矩阵A中的对应元素。
⑷各机组出力总和不小于负荷需求,即,
812
送ZNi,m・ai,mKs
i4m珀
其中,ai,m为出力矩阵A中的对应元素,s为负荷需求。
综上所述,模型建立如下:
目标函数:
minp=maxpi
Ni,m或1;
送Ni,m=1,i=12…,8;
m¥
约束条件:
丿Pi=瓦Ni,m・b,m,i=12…,8;
m=1
x-Vit兰迟Ni,m・ai,mSi+Vit,i=1,2,…,8;
无ENi,m中山注
ki=1m=1
5.3.3模型求解
利用lingo对上述规划进行求解,具体程序见附录程序2
求得最小清算价p=303,
决策变量N1,7=N2,7=N3,7=N4,7=N5,8=N6,7=“7,6=N8,8二1,其余为0
所以各机组出力
机组/出力
预案出力值
调整X8的值,使各机组出力总和为982.4,则冷=113.9
即,各机组分配出力预案
113.9
求得购电费用w二p・s/4=74417元。
5.4问题4的建模与求解
5.4.1模型分析
该问题是在判断问题3中得到分配预案发生输电阻塞的情况下,对机组出力分配的进一步讨论。
方案的要求是使调整各机组出力分配方案产生的阻塞费用最小。
我们建立以阻塞费用为优化目标的单目标优化模型,以负荷需求和爬坡速率
等限制条件作为规划的约束条件,从而进行求解。
5.4.2模型建立
首先还是建模前的数据准备,即,计算各线路上有功潮流值的大小,观察是否有一条或者多条线路存在输电阻塞的情况,以此来判断是否需要建模。
用问题1中得出的近似表达式,根据分配预案的x/i=1,2,...,8)值计算出6
条线路的潮流值如下:
线路
1
2
3
4
5
6
潮流值
173.3084
140.98403
-150.98122
120.9374
136.8083
168.5149
限值
165
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