版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件理Word格式.docx
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1”的逆否命题
答案 A
解析 对于A,其逆命题是若x>
|y|,则x>
y,是真命题,这是因为x>
|y|≥y,必有x>
y.
2.(教材改编)命题“若x2>
y2,则x>
y”的逆否命题是( )
A.若x<
y,则x2<
y2B.若x≤y,则x2≤y2
C.若x>
y,则x2>
y2D.若x≥y,则x2≥y2
答案 B
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2>
y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.
3.(教材改编)“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由(x-1)(x+2)=0可得x=1或x=-2,
∵{1}{1,-2},
∴“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的必要不充分条件.
4.(2016·
北京)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 D
解析 若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为菱形,a+b,a-b表示该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立;
反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.
5.在下列三个结论中,正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
①若A是B的必要不充分条件,则綈B也是綈A的必要不充分条件;
②“
”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件;
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件.
答案 ①②
解析 易知①②正确.对于③,若x=-1,则x2=1,充分性不成立,故③错误.
题型一 命题及其关系
例1 (2016·
宿州模拟)下列命题:
①“若a2<
b2,则a<
b”的否命题;
②“全等三角形面积相等”的逆命题;
③“若a>
1,则ax2-2ax+a+3>
0的解集为R”的逆否命题;
④“若
x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题.
其中正确的命题是( )
A.③④B.①③C.①②D.②④
解析 对于①,否命题为“若a2≥b2,则a≥b”,为假命题;
对于②,逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”,是假命题;
对于③,当a>
1时,Δ=-12a<
0,原命题正确,从而其逆否命题正确,故③正确;
对于④,原命题正确,从而其逆否命题正确,故④正确.故选A.
思维升华
(1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:
①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;
判断一个命题是假命题,只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
(1)命题“若x>
0,则x2>
0”的否命题是( )
A.若x>
0,则x2≤0
B.若x2>
C.若x≤0,则x2≤0
D.若x2≤0,则x≤0
(2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( )
A.不拥有的人们会幸福
B.幸福的人们不都拥有
C.拥有的人们不幸福
D.不拥有的人们不幸福
答案
(1)C
(2)D
题型二 充分必要条件的判定
例2
(1)(2015·
四川)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
(2)已知条件p:
x>
1或x<
-3,条件q:
5x-6>
x2,则綈p是綈q的( )
答案
(1)B
(2)A
解析
(1)∵3a>
3b>
3,∴a>
b>
1,此时loga3<
logb3正确;
反之,若loga3<
logb3,则不一定得到3a>
3,例如当a=
,b=
时,loga3<
logb3成立,但推不出a>
1.故“3a>
3”是“loga3<
logb3”的充分不必要条件.
(2)由5x-6>
x2,得2<
x<
3,
即q:
2<
3.
所以q⇒p,p⇏q,所以綈p⇒綈q,綈q⇏綈p,
所以綈p是綈q的充分不必要条件,故选A.
思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)定义法:
根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:
根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.
(3)等价转化法:
根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.
(1)(2016·
四川)设p:
实数x,y满足x>
1且y>
1,q:
实数x,y满足x+y>
2,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)已知p:
x+y≠-2,q:
x,y不都是-1,则p是q的( )
答案
(1)A
(2)A
解析
(1)当x>
1,y>
1时,x+y>
2一定成立,即p⇒q,
当x+y>
2时,可以x=-1,y=4,即q⇏p,
故p是q的充分不必要条件.
(2)(等价法)因为p:
x≠-1或y≠-1,
所以綈p:
x+y=-2,綈q:
x=-1且y=-1,
因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q,
所以綈q是綈p的充分不必要条件,
即p是q的充分不必要条件,故选A.
题型三 充分必要条件的应用
例3 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10},
由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].
引申探究
1.本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
∴
方程组无解,
即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
2.本例条件不变,若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解 由例题知P={x|-2≤x≤10},
∵綈P是綈S的必要不充分条件,
∴P⇒S且S⇏P.
∴[-2,10][1-m,1+m].
或
∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).
思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
(1)已知命题p:
a≤x≤a+1,命题q:
x2-4x<
0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________________.
2x2-3x+1≤0,条件q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
答案
(1)(0,3)
(2)[0,
]
解析
(1)令M={x|a≤x≤a+1},N={x|x2-4x<
0}={x|0<
4}.
∵p是q的充分不必要条件,∴MN,
解得0<
a<
3.故答案为(0,3).
(2)命题p为{x|
≤x≤1},
命题q为{x|a≤x≤a+1}.
綈p对应的集合A={x|x>
},
綈q对应的集合B={x|x>
a+1或x<
a}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件,
∴0≤a≤
.故答案为[0,
].
1.等价转化思想在充要条件中的应用
典例
(1)(2016·
湖北七校联考)已知p,q是两个命题,那么“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的( )
C.充分必要条件
x2+2x-3>
0;
条件q:
a,且綈q的一个充分不必要条件是綈p,则a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.(-∞,1]
C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]
思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题,在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.
解析
(1)因为“p∧q是真命题”等价于“p,q都为真命题”,且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”,所以“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件.
(2)由x2+2x-3>
0,得x<
-3或x>
1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.
∴{x|x>
a}{x|x<
1},∴a≥1.
1.命题“若α=
,则tanα=1”的否命题是( )
A.若α≠
,则tanα≠1
B.若α=
C.若tanα≠1,则α≠
D.若tanα≠1,则α=
2.命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是( )
A.如果x<
a2+b2,那么x<
2ab
B.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2
C.如果x<
2ab,那么x<
a2+b2
D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab
答案 C
解析 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,“≥”的否定是“<
”.故答案C正确.
3.给出命题:
若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
解析 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;
它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.
4.(2015·
重庆)“x>1”是“
”的( )
解析 由x>1⇒x+2>3⇒
,
⇒x+2>1⇒x>-1,故“x>1”是“
”成立的充分不必要条件.故选B.
5.(2016·
山东)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
解析 若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交;
若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交,故选A.
6.已知集合A={x∈R|
<
2x<
8},B={x∈R|-1<
m+1},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是( )
A.{m|m≥2}B.{m|m≤2}
C.{m|m>
2}D.{m|-2<
m<
2}
解析 A={x∈R|
8}={x|-1<
3},
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,
∴AB,∴m+1>
即m>
2,故选C.
7.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( )
解析 由Venn图易知充分性成立.反之,A∩B=∅时,由Venn图(如图)可知,存在A=C,同时满足A⊆C,B⊆∁UC.
故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件.
8.(2015·
湖北)设a1,a2,…,an∈R,n≥3.若p:
a1,a2,…,an成等比数列;
q:
(a
+a
+…+a
)(a
)=(a1a2+a2a3+…+an-1an)2,则( )
A.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
解析 若p成立,设a1,a2,…,an的公比为q,则(a
)=a
(1+q2+…+q2n-4)·
a
(1+q2+…+q2n-4)=a
(1+q2+…+q2n-4)2,(a1a2+a2a3+…+an-1an)2=(a1a2)2(1+q2+…+q2n-4)2,故q成立,故p是q的充分条件.取a1=a2=…=an=0,则q成立,而p不成立,故p不是q的必要条件,故选B.
9.设a,b为正数,则“a-b>
1”是“a2-b2>
1”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 ∵a-b>
1,即a>
b+1.
又∵a,b为正数,
∴a2>
(b+1)2=b2+1+2b>
b2+1,即a2-b2>
1成立,反之,当a=
,b=1时,满足a2-b2>
1,但a-b>
1不成立.所以“a-b>
1”的充分不必要条件.
10.有三个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“若a>
b,则a2>
b2”的逆否命题;
③“若x≤-3,则x2+x-6>
0”的否命题.
其中真命题的序号为____________.
答案 ①
解析 命题①为“若x,y互为相反数,则x+y=0”是真命题;
因为命题“若a>
b2”是假命题,故命题②是假命题;
命题③为“若x>
-3,则x2+x-6≤0”,因为x2+x-6≤0⇔-3≤x≤2,故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充要
解析 若当x∈[0,1]时,f(x)是增函数,
又∵y=f(x)是偶函数,∴当x∈[-1,0]时,f(x)是减函数.
当x∈[3,4]时,x-4∈[-1,0],
∵T=2,∴f(x)=f(x-4).
故x∈[3,4]时,f(x)是减函数,充分性成立.
反之,若x∈[3,4]时,f(x)是减函数,
此时x-4∈[-1,0],
∵T=2,∴f(x)=f(x-4),
则当x∈[-1,0]时,f(x)是减函数.
∵y=f(x)是偶函数,
∴当x∈[0,1]时,f(x)是增函数,必要性也成立.
故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.
12.若x<
m-1或x>
m+1是x2-2x-3>
0的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.
答案 [0,2]
解析 由已知易得{x|x2-2x-3>
0}{x|x<
m+1},又{x|x2-2x-3>
0}={x|x<
-1或x>
∴0≤m≤2.
13.若“数列an=n2-2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题,则λ的取值范围是________________.
答案 [
,+∞)
解析 若数列an=n2-2λn(n∈N*)为递增数列,则有an+1-an>
0,即2n+1>
2λ对任意的n∈N*都成立,于是可得3>
2λ,即λ<
.
故所求λ的取值范围是[
,+∞).
*14.下列四个结论中:
①“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件;
②在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件;
③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b全不为零”的充要条件;
④若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件.
其中正确的是________.
答案 ①④
解析 由λ=0可以推出λa=0,但是由λa=0不一定推出λ=0成立,所以①正确;
由AB2+AC2=BC2可以推出△ABC是直角三角形,但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角,所以②不正确;
由a2+b2≠0可以推出a,b不全为零,
反之,由a,b不全为零可以推出a2+b2≠0,
所以“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件,而不是“a,b全不为零”的充要条件,③不正确,④正确.
*15.已知集合A={y|y=x2-
x+1,x∈[
,2]},B={x|x+m2≥1},若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.
解 y=x2-
x+1
=(x-
)2+
∵x∈[
,2],∴
≤y≤2.
∴A={y|
≤y≤2}.
由x+m2≥1,得x≥1-m2,
∴B={x|x≥1-m2}.
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,
∴A⊆B,∴1-m2≤
解得m≥
或m≤-
故实数m的取值范围是(-∞,-
]∪[
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- 高考 数学 一轮 复习 第一章 集合 常用 逻辑 用语 12 命题 及其 关系 充分 条件 必要条件
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