相似形最新必考题型文档格式.docx
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则抛物线解析式为y=−x2+2x+3;
(2)当x=0,y=3,即OC=3,
∵抛物线解析式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4,
∴顶点坐标为(1,4),
∵对称轴为直线x=−b2a=1,
∴CD=1,
∵CD∥x轴,
∴D(1,3),
∴m=4−3=1.
4题目:
5题目:
如图,在矩形纸片
ABCD
中,
AB=6
,
BC=10
,点
E
在
CD
上,将
△
BCE
沿
BE
折叠,点
C
恰落在边
AD
上的点
F
处;
点
G
AF
ABG
BG
A
恰落在线段
BF
H
处,有下列结论:
①∠
EBG=45°
;
②△
DEF
∽△
③
S
=
FGH
④
AG+DF=FG
.
其中正确的是
.(把所有正确结论的序号都选上)
考点:
相似三角形的应用
分析:
∵△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处,
∴∠1=∠2,CE=FE,BF=BC=10,
在Rt△ABF中,∵AB=6,BF=10,
∴AF=
=8,
∴DF=AD-AF=10-8=2,
设EF=x,则CE=x,DE=CD-CE=6-x,
在Rt△DEF中,∵DE2+DF2=EF2,
∴(6-x)2+22=x2,解得x=
,
∴ED=
∵△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,
∴∠3=∠4,BH=BA=6,AG=HG,
∴∠2+∠3=
∠ABC=45°
,所以①正确;
HF=BF-BH=10-6=4,
设AG=y,则GH=y,GF=8-y,
在Rt△HGF中,∵GH2+HF2=GF2,
∴y2+42=(8-y)2,解得y=3,
∴AG=GH=3,GF=5,
∵∠A=∠D,
∴
≠
∴△ABG与△DEF不相似,所以②错误;
∵S△ABG=
•6•3=9,S△FGH=
•GH•HF=
×
3×
4=6,
∴S△ABG=
S△FGH,所以③正确;
∵AG+DF=3+2=5,而GF=5,
∴AG+DF=GF,所以④正确.
故答案为①③④.
6题目:
如图
(1)矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,∠MPN=90∘将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转,PM交AB(或AD)于点E,PN交边AD(或CD)于点F,当PN旋转至PC处时,∠MPN的旋转随即停止
(1)特殊情形:
如图
(2),发现当PM过点A时,PN也恰好过点D,此时,△ABP___△PCD(填:
“≌”或“∼”
(2)类比探究:
如图(3)在旋转过程中,PEPF的值是否为定值?
若是,请求出该定值;
若不是,请说明理由;
(3)拓展延伸:
设AE=t,△EPF面积为S,试确定S关于t的函数关系式;
当S=4.2时,求所对应的t的值。
(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=∠C=90∘,
∴∠BAP+∠BPA=90∘.
∵∠MPN=90∘,
∴∠BPA+∠CPD=90∘,
∴∠BAP=∠CPD,
∴△ABP∽△PCD.
∽。
(2)是定值。
如图3,过点F作FH⊥PC于点H,
∵矩形ABCD中,AB=2,
∴∠B=∠FHP=90∘,HF=AB=2,
∴∠BPE+∠BEP=90∘.
∴∠BPE+∠HPE=90∘,
∴∠BEP=∠HPE,
∴△BEP∽△HPE,
∴PEPF=BPHF,
∵BP=1,
∴PEPF=12.
(3)分两种情况:
①如图3,当点E在AB上时,0⩽t⩽2.
∵AE=t,AB=2,
∴BE=2−t.
由
(2)可知:
△BEP∽△HPE,
∴BEHP=PEPF,即2−tHP=12,
∴HP=4−2t.
∵AF=BH=PB+BH=5−2t,
∴S=S矩形ABHF−S△AEF−S△BEP−S△PHF=AB⋅AF−12AE⋅AF−12BE⋅PB−12PH⋅FH=t2−4t+5(0⩽t⩽2).
当S=4.2时,t2−4t+5=4.2,
t=2±
455√.
∵0⩽t⩽2,
∴t=2−455√;
②如图4,当点E在AD上时,0⩽t⩽1,过点E作EK⊥BP于点K,
∵AE=t,BP=1,
∴PK=1−t.
同理可证:
△PKE∽△FCP,
∴PKFC=PEPF,即1−tFC=12,
∴FC=2−2t.
∴DF=CD−FC=2t,DE=AD−AE=5−t,
∴S=S矩形EKCD−S△EKP−S△EDF−S△PCF=CD⋅DE−12EK⋅KP−12DE⋅DF−12PC⋅FC=t2−2t+5(0⩽t⩽1).
当S=4.2时,t2−2t+5=4.2,
t=1±
5√5.
∵0⩽t⩽1,
∴t=1−5√5.
综上所述:
当点E在AB上时,S=t2−4t+5(0⩽t⩽2),当S=4.2时,t=2−455√;
当点E在AD上时,S=t2−2t+5(0⩽t⩽1),当S=4.2时,t=1−5√5.
7题目:
如图,在△ABC中,AC=50m,BC=40m,点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动,几秒后,△PCQ与△ABC相似?
相似三角形的判定
设x秒后,△PCQ与△ABC相似,根据题意设出AP,PC,CQ,分两种情况考虑:
当∠CPQ=∠A,∠C=∠C=90°
时,△CPQ∽△CAB;
当∠CPQ=∠B,∠C=∠C=90°
时,△CPQ∽△CBA;
分别由相似得比例,求出x的值,即可得到结果.
设x秒后,△PCQ与△ABC相似,
根据题意得:
AP=2xm,PC=(50−2x)m,CQ=3xm,
分两种情况考虑:
当∠CPQ=∠A,∠C=∠C=90∘时,△CPQ∽△CAB,
此时有CP/CA=CQ/CB,即50−2x/50=3x/40,
x=200/23,
当∠CPQ=∠B,∠C=∠C=90∘时,△CPQ∽△CBA,
此时CPCB=CQCA,即50−2x40=3x50,
x=125/11,
则200/23秒或125/11秒时,△PCQ与△ABC相似。
8题目:
如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是ABCD的中点.过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA、GB、GC、GD、EF.若∠AGD=∠BGC.
(1)求证:
AD=BC;
(2)求证:
△AGD∽△EGF;
(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求ADEF的值.
(1)证明:
∵GE是AB的垂直平分线,
∴GA=GB.
同理,GD=GC.
在△AGD和△BGC中,⎧⎩⎨⎪⎪GA=GB∠AGD=∠BGCGD=GC,
∴△AGD≌△BGC(SAS),
∴AD=BC;
(2)证明:
∵∠AGD=∠BGC,
∴∠AGB=∠DGC.
在△AGB和△DGC中,GAGD=GBGC,
∴△AGB∽△DGC,
∴EGFG=GAGD.
又∵∠AGE=∠DGF,
∴∠AGD=∠EGF,
∴△AGD∽△EGF;
(3)延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,如图所示,
则AH⊥BH,
∵△AGD≌△BGC,
∴∠GAD=∠GBC.
在△GAM和△HBM中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB,
∴∠AGB=∠AHB=90°
∴∠AGE=12∠AGB=45°
∴AGEG=2√.
又∵△AGD∽△EGF,
∴ADEF=AGEG=2√.
9题目:
10题目:
如图,点C是线段AB上一点,△ACD和△BCE都是等边三角形,连结AE,BD,设AE交CD于点F.
△ACE≌△DCB;
△ADF∽△BAD.
(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形,
∴AC=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60∘
∴∠ACE=∠DCB=120∘.
∴△ACE≌△DCB(SAS);
(2)∵△ACE≌△DCB,
∴∠CAE=∠CDB.
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60∘,
∴DC∥BE,
∴∠CDB=∠DBE,
∴∠CAE=∠DBE,
∴∠DAF=∠DBA.
∴△ADF∽△BAD.
11题目:
如图,已知OA⊥OB,OA=4,OB=3,以AB为边作矩形ABCD,使AD=a,过点D作DE垂直OA的延长线交于点E.
△OAB∽△EDA;
(2)当a为何值时,△OAB与△EDA全等?
请说明理由,并求出此时点C到OE的距离。
如图所示,
∵OA⊥OB,
∴∠1+∠2=90∘,
又∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90∘,
∴∠2+∠3=90∘,
∴∠1=∠3,
∵OA⊥OB,OE⊥OA,
∴∠BOA=∠DEA=90∘,
∴△OAB∽△EDA.
(2)在Rt△OAB中,AB=32+42−−−−−√=5,
由
(1)可知∠1=∠3,∠BOA=∠DEA=90∘,
∴当a=AD=AB=5时,△AOB与△EDA全等。
当a=AD=AB=5时,可知矩形ABCD为正方形,
∴BC=AB,如图,过点C作CH⊥OE交OE于点H,
则CH就是点C到OE的距离,过点B作BF⊥CH交CH于点F,
则∠4与∠5互余,∠1与∠5互余,
∴∠1=∠4,
又∵∠BFC=∠BOA,BC=AB,
∴△OAB≌△FCB(AAS),
∴CF=OA=4,BO=BF.
∴四边形OHFB为正方形,
∴HF=OB=3,
∴点C到OE的距离CH=CF+HF=4+3=7.
12题目:
如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处(AE为折痕,点E在CD上),在AD上截取DG,使以DG=CF.
△ABF∽△FCE;
BD⊥GE.
证明:
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABF=∠C=∠ADC=90∘,
∴∠BAF+∠BFA=90∘,
由折叠的性质可得:
∠AFE=∠ADC=90∘,
∴∠CFE+∠BFA=90∘,
∴∠BAF=∠CFE,
∴△ABF∽△FCE;
(2)∵DG=CF,DE=EF,
∴cos∠EFC=FCEF=DGDE,
∵cos∠BAF=ABAF=ABAD,∠BAF=∠EFC,
∴DGDE=ABAD,
∴DGAB=DEAD,
∵∠BAD=∠GDE=90∘,
∴△DBA∽△EGD,
∴∠DBA=∠EGD,
∵∠DBA+∠ADB=90∘,
∴∠DGH+∠GDH=90∘,
∴∠GHD=90∘,
∴BD⊥GE.
13题目:
如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE,DB相交于点M,N.
(1)求EMDM的值;
(2)求AM和MN的长。
(1)延长DC、AF交于点G,如图所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=90∘,AB∥CD,CD=AB=2,BC=AD=3,
∵BF=2FC,
∴BF=2,CF=1,
∴BF=AB,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∴∠BAF=45∘,
∴∠DAG=90∘−45∘=45∘,
∴△ADG是等腰直角三角形,
∴DG=AD=3,
∵E为AB的中点,
∴AE=12AB=1,
∵AB∥DC,
∴△AEM∽△GDM,
∴EMDM=AEDG=13;
(2)∵△ADG是等腰直角三角形,
∴在Rt△ADG中,由勾股定理得:
AG=32+32−−−−−−√=32√,
∴AMGM=EMDM=AEDG=13,
∴AM=14AG=32√4,
∴△ABN∽△GDN,
∴ANGN=ABGD,
∴ANGN=23,
∴AN=25AG=62√5,
∴MN=AN−AM=62√5−32√4=92√20.
14题目:
在△ABC中,作直线DN平行于BC上的中线AM,设直线DN交AB于点D.交CA的延长线于点E.交BC于点N.求证:
AD:
AB=AE:
AC.
如图,
∵AM∥EN,
∴AE:
AC=MN:
CM,
∵DN∥AM,
∴AD:
AB=MN:
BM,
而AM为中线,
∴BM=CM,
15题目:
王师傅有两块板材边角料,其中一块是边长为60cm的正方形板子;
另一块是上底为30cm,下底为120cm,高为60cm的直角梯形板子(如图①).王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材。
他将两块板子叠放在一起,使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合,两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域(如图②).由于受材料纹理的限制,要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。
(1)求FC的长;
(2)利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x(cm)为多少时,矩形的面积y(cm2)最大?
最大面积是多少?
(3)若想使裁出的矩形为正方形,试求出面积最大的正方形的边长。
[二次函数的应用]
(1)由图形结构可知DE∥CG,容易想到用相似三角形的性质解答;
(2)画出图形,根据P点位置,分三种情况讨论:
①点P在AE上,②点P在EF上,③点P在FC上.通过观察,易得①③;
利用相似三角形的性质可计算出②.
(3)利用正方形面积公式,将面积最值问题转化为一元二次方程最值问题解答.
(1)由题意,得△DEF∽△CGF,
∴DFFC=DECG,
又∵DE=AD−AE=60−30=30,DF=DC−FC=60−FC,CG=120−60=60,
∴60−FCFC=3060,
∴FC=40(cm);
(3分)
(2)如图,设矩形顶点B所对顶点为P,则
①当顶点P在AE上时,x=60,y的最大值为60×
30=1800(cm2).(4分)
②当顶点P在EF上时,过点P分别作PN⊥BG于点N,PM⊥AB于点M.
根据题意,得△GFC∽△GPN.
∴PNNG=FCCG,
∴NG=32x,
∴BN=120−32x.
∴y=x(120−32x)=−32(x−40)2+2400.
∴当x=40时,y的最大值为2400(cm2).(7分)
③当顶点P在FC上时,y的最大值为60×
40=2400(cm2).(8分)
综合①②③,
得x=40cm时,矩形的面积最大,最大面积为2400cm2;
(9分)
(3)根据题意,正方形的面积y(cm2)与边长x(cm)满足的函数表达式为:
y=x(120−32x)=−32x2+120x.
当y=x2时,正方形的面积最大,
∴x2=−32x2+120x.
解之,得x1=0(舍),x2=48(cm).
∴面积最大的正方形的边长为48cm.(12分)
16题目:
如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°
,CD⊥AB于D,E是AC中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F。
FD²
=FB·
FC。
(2)G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?
说明理由。
相似三角形
相似三角形的判定与性质;
直角三角形斜边上的中线
1.证明:
CD垂直AB,E为AC中点,则DE=AC/2=AE,∠A=∠ADE=∠FDB;
又∠A=∠DCG(均为∠ECD的余角).故∠FDB=∠DCB.
又∠F=∠F,则⊿FDB∽⊿FCD,FD/FC=FB/FD,FD²
=FBxFC.
2.GD垂直FD.
证明:
CD垂直AD,E为AC中点,则DE=AC/2=CE,得∠CDE=∠ECD;
同理可证:
DG=CG,∠GDC=∠GCD.
则∠CDE+∠GDC=∠ECD+∠GCD=90度,故GD垂直FD.
17题目:
如图,四边形ABCD是正方形,△ECF是等腰直角三角形,其中CE=CF,G是CD与EF的交点。
△BCF≌△DCE;
BF=DE,BF⊥DE;
(3)若BC=5,CF=3,∠BFC=90∘,求DG:
GC的值。
(1)由四边形ABCD是正方形,△ECF是等腰直角三角形,易得BC=DC,∠BCF=∠ECD,又由CE=CF,利用SAS即可证得△BCF≌△DCE;
(2)首先延长BF交DE于H,由△BCF≌△DCE,根据全等三角形的对应边相等,即可得BF=DE,又由全等三角形的对应角相等,易求得∠CDE+∠2=90°
,则可得BF⊥DE;
(3)由BC=5,CF=3,∠BFC=90°
,利用勾股定理即可求得BF的长,又由△BCF≌△DCE,即可得DE的长,∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°
,然后证得△DGE∽△CGF,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90∘,BC=CD,
∴∠BCF+∠FCD=90∘,
∵△ECF是等腰直角三角形,CF=CE,
∴∠ECD+∠FCD=90∘,
∴∠BCF=∠ECD.
在△BCF和△DCE中,
⎧⎩⎨⎪⎪BC=DC∠BCF=∠DCECF=CE,
∴△BCF≌△DCE(SAS);
延长BF交DE于H,
∵△BCF≌△DCE,
∴BF=DE,∠CBF=∠CDE,
∵∠CBF+∠1=90∘,∠1=∠2,
∴∠2+∠CDE=90∘,
∴∠DHF=90∘,
∴BF⊥DE;
(3)在△BFC中,BC=5,CF=3,∠BFC=90∘,
∴BF=BC2−CF2−−−−−−−−−√=52−32−−−−−√=4.
∴DE=BF=4,∠BFC=∠DEC=∠FCE=90∘.
∴DE∥FC.
∴△DGE∽△CGF.
∴DG:
GC=DE:
CF=4:
3.
18题目:
如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A.
D),Q是BC边上的任意一点。
连AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F.
△APE∽△ADQ;
(2)设AP的长为x,试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式,并求当P在何处时,S△PEF取得最大值,
最大值为多少?
(3)当Q在何处时,△ADQ的周长最小?
(须给出确定Q在何处的过程或方法,不必给出证明)
19题目:
如图,在平面直角坐标系中,已知点A和B的坐标分别为(0,6),(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P,Q移动的时间为t秒.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当t为何值时,△APQ与△ABO相似?
(3)当t为何值时,△APQ的面积为245个平方单位?
待定系数法求一次函数表达式,勾股定理,相似三角形对应边成比例,两角分别相等的两个三角形相似
【解题方法提示】
对于
(1),已知A、B的坐标,因此设直线AB的表达式为y=kx+b,然后利用待定系数法进行求解;
对于
(2),没有明确指出△APQ与△AOB相似时的对应角,故需分两种情况:
△APQ∽△AOB,△AQP∽△AOB进行讨论;
若△APQ∽△AOB,利用相似三角形对应边的比例以及线段之间的关系即可求得t的值,同理即可解答另一个情况;
对于(3),过Q作QD⊥AO找到三角形的高,根据三角形面积的计算公式,相信你能得到结论了.
(1)设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0),
把A(0,6),B(8,0)分别代入上式,
得{b=68k+b=0,
解得⎧⎩⎨k=−34b=6,
∴直线AB的表达式为y=−34x+6.
(2)在Rt△ABO中,OA=6,OB=8,则AB=OA2+OB2−−−−−−−−−−√=10.
由题意知,AP=t,AQ=10-2t.分两种情况讨论:
①当∠APQ=∠AOB时,有△APQ∽△AOB.
∴APAO=AQB
,即t6=10−2t10,
解得t=3011.
②当∠AQP=∠AOB时,有△AQP∽△AOB.
∴APAB=AQAO,即t10=10−2t6,
解得t=5013.
综上可知,当t=3011或5013时,△APQ与△AOB相似.
(3)过点Q作QE垂直于AO于E,
在Rt△ABO中,sin∠BAO=BOAB=45,
在Rt△AEQ中,QE=AQ×
sin∠BAO=(10-2×
t)×
45.
所以S△APQ=12×
AP×
QE=12×
t×
(8-×
85t=245.
解得t=2或t=3.
故当t=2或t=3时,△APQ的面积为245个平方单位.
20题目:
相似三角形的判定方法
(1)若DE∥BC(A型(图1)和X型(图2))则______.
(2)射影定理:
若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)图3则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=______,CD2=______,BC2=______.
相似三角形的判定与性质,射影定理
(1)根据相似三角形的判定定理填空即可;
(2)由Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD,利用相似三角形对应边成比例即可求得结论.
(1)∵DE
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