高考数学全国卷一.doc
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高考数学全国卷一.doc
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星期天(时间50分钟)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标I文科卷)
一.选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合,则()
A.B.C.D.
(2)若,则
A.B.C.D.
(3)设,则
A.B.C.D.2
(4)已知双曲线的离心率为2,则
A.2B.C.D.1
(5)设函数的定义域为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是
A.是偶函数B.是奇函数
C.是奇函数D.是奇函数
(6)设分别为的三边的中点,则
A.B.C.D.
(7)在函数①,②,③,④中,最小正周期为的所有函数为
A.①②③B.①③④C.②④D.①③
8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是()
A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱
9.执行右面的程序框图,若输入的分别为1,2,3,则输出的()
A.B.C.D.
10.已知抛物线C:
的焦点为,是C上一点,,则()
A.1B.2C.4D.8
(11)设,满足约束条件且的最小值为7,则
(A)-5(B)3(C)-5或3(D)5或-3
(12)已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
第II卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分
(13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.
(14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过城市;
乙说:
我没去过城市;
丙说:
我们三人去过同一城市;
由此可判断乙去过的城市为________.
(15)设函数则使得成立的的取值范围是________.
(16)如图,为测量山高,选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角,点的仰角以及;从点测得.已知山高,则山高________.
星期一(7分钟)
已知是递增的等差数列,,是方程的根。
(I)求的通项公式;
(II)求数列的前项和.
星期二(8分钟)
如图,三棱柱中,侧面为菱形,的中点为,且平面.
(1)证明:
(2)若,求三棱柱的高.
星期三(10分钟)
从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
星期四(15~20分钟)
已知点,圆:
,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点.
(1)求的轨迹方程;
(2)当时,求的方程及的面积
星期五(15~20分钟)
设函数,曲线处的切线斜率为0
(1)求b;
(2)若存在使得,求a的取值范围。
星期六(三选一(7~10分钟))
(22)(本小题满分10分)选修4-1,几何证明选讲
如图,四边形是的内接四边形,的延长线与的延长线交于点,且.
(I)证明:
;
(II)设不是的直径,的中点为,zxxk且,证明:
为等边三角形.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线,直线(为参数)
(1)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(2)过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线,交于点,求的最大值与最小值.
(24)(本小题满分10分)选修4-5;不等式选讲
若且
(I)求的最小值;
(II)是否存在,使得?
并说明理由.
文科数学试题答案
一、选择题
(1)B
(2)A(3)B(4)D(5)A(6)C
(7)C(8)B(9)D(10)C(11)B(12)A
二、填空题
(13)(14)A(15)(16)150
三、解答题
(17)解:
(I)方程的两根为2,3,由题意得
设数列的公差为d,则故从而
所以的通项公式为……6分
(II)设的前n项和为由(I)知则
两式相减得
所以……12分
(17)解:
(I)
(II)质量指标值的样本平均数为
80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08
=100.
质量指标值的样本方差为
=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.
……10分
(III)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
0.38+0.22+0.08=0.68.
由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.……12分
(18)解:
(I)连接,则O为与的交点.因为侧面为菱形,所以
又平面,所以,故平面ABO.
由于平面ABO,故……6分
(II)作,垂足为D,连接AD.作,垂足为H.由于,,故平面AOD,所以.又,所以平面ABC.
因为,所以为等边三角形,又BC=1,
可得.由于,所以
由,且,得
又O为的中点,所以点到平面 ABC的距离为故三棱柱的距离为 .
(19)解:
(I)圆C的方程可化为,所以圆心为,半径为4,
设,则,,
由题设知,故,即.
由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是.……6分
(II)由
(1)可知M的轨迹是以点为圆心,为半径的圆.
由于,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而.
因为ON的斜率为3,所以的斜率为,故的方程为.
又,O到的距离为,,所以的面积为.
……12分
(20)解:
(I),
由题设知,解得.……4分
(II)的定义域为,由
(1)知,,
(ⅰ)若,则,故当时,,在单调递增,
所以,存在,使得的充要条件为,即,
解得.
(ii)若,则,故当时,;
当时,,在单调递减,在单调递增.
所以,存在,使得的充要条件为,
而,所以不合题意.
(iii)若,则.
综上,a的取值范围是.
……12分
(22)解:
(I)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以, 由已知得,故……5分
(II)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知,故O在直线MN上.
又AD不是的直径,M为AD的中点,故,即
所以,故
又,故由(I)知,,所以为等边三角形.
……10分
(23)解:
(I)曲线C的参数方程为(为参数)
直线的普通方程为……5分
(II)曲线C上任意一点到的距离为
则,其中为锐角,且
当时,取得最大值,最大值为
当时,取得最小值,最小值为……10分
(24)解:
(I)由,得,且当时等号成立.
故,且当时等号成立.
所以的最小值为.……5分
(II)由(I)知,
由于,从而不存在,使得.……10分
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