九年级数学一元二次方程导学案全部Word格式.docx
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1、2、3、
观察上述三个方程有什么共同特点?
一元二次方程的定义:
只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为
(a、b、c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式:
。
【达标】
1、判一判,下列方程哪些是一元二次方程?
(1)7x2-6x=0
(2)2x2-5xy+6y=0(3)2x2-
x-1=0(4)
=0(5)x2+2x-3=1+x2(6)ax2+bx+c=0
2、把下列方程化为一元二次方程的形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
4-7x2=0
3、想一想:
⑴关于x的方程(k-3)x2+2x-1=0,当k 时,是一元二次方程.
⑵当m时,方程(m-1)x∣m∣+1+2mx+3=0是关于x的一元二次方程?
拓展:
1、关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0,当k时,是一元二次方程.
当k时,是一元一次方程.
2、关于x的方程(a2+2a+1)x2+6x-3=0是一元二次方程吗?
请说明原因。
3、从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,
横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿
着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进
去了.你知道竹竿有多长吗?
请根据这一问题列出方程.
【评价】
规范:
成绩:
课题:
课题:
2.1花边有多宽
(二)
在上一节课中,我们得到了如下的两个一元二次方程:
,即:
;
。
发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。
上一节课的两个问题是否已经得以完全解决?
你能求出各方程中的x吗?
【互助】
1.有一根外带有塑料皮长为100m的电线,不知什么原因中间有一处不通,现给你一只万用表(能测量是否通)进行检查,你怎样快速的找到这一处断裂处?
与同伴进行交流。
2.在前一节课的问题中,我们若设地毯花边的宽为x(m),得到方程:
(1)x可能小于0吗?
说说你的理由.
(2)x可能大于4吗?
可能大于2.5吗?
说说你的理由,并与同伴进行交流.
(3)完成下表:
x
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2-13x+11
4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?
与同伴进行交流.
3.上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程,即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
,把这个方程化为一般形式为
(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
(2)小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗?
为什么?
(3)底端滑动的距离可能是2m吗?
可能是3m吗?
(4)x的整数部分是几?
十分位是几?
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
【达标】
1.五个连续整数,前三个数的平方和等于后两个数的平方。
您能求出这五个整数分别是多少吗?
课本P51
1.
2.
3.
规范:
2.2配方法
(一)
1、如果一个数的平方等于
,则这个数是,若一个数的平方等于7,则这个数是。
一个正数有几个平方根,它们具有怎样的关系?
2、用字母表示完全平方公式。
3、用估算法求方程
的解?
你喜欢这种方法吗?
为什么?
1.
(1)工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100CM2正方形,请你帮他想一想,这个正方形的边长应为;
若它的面积为75CM2,则其边长应为。
(口答)
(2)如果一个正方形的边长增加
后,它的面积变为
,则原来的正方形的边长为。
若变化后的面积为
呢?
(小组合作交流)
(3)你会解下列一元二次方程吗?
(独立练习)
(4)上节课,我们研究梯子底端滑动的距离
满足方程
你能仿照上面几个方程的解题过程,求出
的精确解吗?
你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里?
(
2.做一做:
(填空配成完全平方式,体会如何配方)
填上适当的数,使下列等式成立。
问题:
上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系?
对于形如
的式子如何配成完全平方式?
3.解决例题
(1)解方程:
x2+8x-9=0.
(2)解决梯子底部滑动问题:
配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成
形式
1.解下列方程
2如图,在一块长和宽分别是16米和12米的长方形耕地上挖两条宽度相等的水渠,使剩余的耕地面积等于原来长方形面积的一半,试求水渠的宽度。
课题:
2.2配方法
(二)
配方法解一元二次方程的基本步骤.
1.将下列各式填上适当的项,配成完全平方式口头回答.
x2+2x+________=(x+______)2x2-4x+________=(x-______)2
x2+________+36=(x+______)2x2+10x+________=(x+______)2
x2-x+________=(x-______)2
2.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别
x2+6x+8=03x2+18x+24=0
探讨方程2的应如何去解呢?
例2解方程3x2+8x-3=0
做一做:
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(S)满足关系:
h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度?
【达标】
2.印度古算术中有这样一首诗:
“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;
其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮。
告我总数有多少,两队猴子在一起?
大意是说:
一群猴子分两队,一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方,另一队猴子数是12,那么猴子的总数是多少?
请同学们解决这个问题.
课题:
2.2配方法(三)
你能举例说明什么是一元二次方程吗?
它有什么特点?
怎样用配方法解一元二次方程?
在一块长为16m,宽为12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半。
你觉得这个方案能实现吗?
若可以实现,你能给出具体的设计方案吗?
(自己设计,画出草图,再合作交流、互相补充.)
1.在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图,如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%,那么金边的宽应该是多少?
2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.
(1)鸡场的面积能达到180m2吗?
能达到200m2吗?
(2)鸡场的面积能达到250m2吗?
如果能,请你给出设计方案;
如果不能,请说明理由.
3.如图,圆柱的高为15cm,全面积(也称表面积)为200πcm2,那么圆柱底面半径为多少?
课题:
2.3公式法
【温故】
用配方法解下列方程:
(1)2x2+3=7x
(2)3x2+2x+1=0
提出问题:
解一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0)
练一练1、判断下列方程是否有解:
(1)2x2+3=7x
(2)x2-7x=18(3)3x2+2x+1=0
(4)9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0
例解方程2x2+3=7x
1.用公式法解下列方程
(1)2x2-4x-1=0
(2)5x+2=3x2(3)2x2+7x=4
(4)x2-
x+2=0(5)(x-2)(3x-5)=0
2.列方程解应用题
1.已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?
2.一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽
3.某商场销售一批衬衫,平均每天可以售出20件,没见盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,如果每件降价1元,商场每天可以多销售2件,
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫要降价多少元?
(2)选作题(供学有余力的学生选作)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?
2.4分解因式法
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。
3、选择合适的方法解下列方程:
(1)x2-6x=7
(2)3x2+8x-3=0
1.一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?
如果能,这个数是几?
你是怎样求出来的?
2.解下列方程
(1)5x2=4x
(2)x-2=x(x-2)(3)(x+1)2-25=0
练习:
1.解下列方程:
(1)(x+2)(x-4)=0
(2)x2-4=0(3)4x(2x+1)=3(2x+1)
2.一个数平方的两倍等于这个数的7倍,求这个数?
2.解下列方程
.
1、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的速度h(m),与时间t(s)满足关系:
h=15t-5t2小球何时能落回地面?
2、一元二次方程(m-1)x2+3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0,m=.
2.5为什么是0.618
(一)
1.记得黄金分割中的黄金分割点和黄金比吗?
是多少?
怎么求出来的?
1.学习了一元二次方程之后,能否从方程的角度来解决黄金比的问题吗?
1.数字问题
有这样一道阿拉伯古算题:
有两笔钱,一多一少,其和等于20,积等于96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱?
2.面积问题
如图,现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒?
3.平均增长(或降低)率问题
一商店1月份的利润是2500元,3月份的利润达到3000元,这两个月的利润平均月增长的百分率是多少(精确到0.1%)?
1.在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条,剩下的长方形钢板的面积为4800cm2。
求原正方形钢板的面积。
2.某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几?
拓展:
1.两个数的差等于4,积等于45,求这两个数。
2.一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m,在它四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246㎡,求小路的宽度。
3.甲公司前年交税40万元,今年缴税48.4万元,该公司缴税的年平均增长率为多少?
2.5为什么是0.618
(二)
请同学们回忆并回答利用方程解决实际问题的步骤和关键是什么?
4、数形结合问题
如图:
某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头。
一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰。
已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇,那么相遇时补给船航行了多少海里?
(结果精确到0.1海里)
5、利润问题
新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元。
市场调研表明:
当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;
而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台。
商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的降价应为多少元?
6探索与创新:
一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手。
这次会议到会的人数是多少?
1.如图:
在Rt△ACB中,∠C=90°
,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,
几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半?
2.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个。
调查表明:
这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个。
为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?
这时应进台灯多少个?
3.如图:
在△ABC中,∠B=90°
,点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8平方厘米?
4.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经试销发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
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