高中数学知识点总结与题库(数列).doc
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第六章数列
1
二、重难点击
本章重点:
数列的概念,等差数列,等比数列的定义,通项公式和前项和公式及运用,等差数列、等比数列的有关性质。
注重提炼一些重要的思想和方法,如:
观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。
知识网络
数列与正整数集关系
等差数列
等比数列
特殊数列求和方法
公式法
倒序相加法
错位相减法
裂项相消法
递推公式
通项公式
数列
第一课时数列
11
四、数列通项与前项和的关系
1.
2.
课前热身
3.数列的通项公式为,则数列各项中最小项是(B)
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项
4.已知数列是递增数列,其通项公式为,则实数的取值范围是
5.数列的前项和,,则
题型一归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式
⑴7,77,777,7777,…
⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9…
解析:
⑴将数列变形为,
⑶将已知数列变为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…。
可得数列的通项公式为
点拨:
本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律,从而求得通项。
题型二应用求数列通项
例2.已知数列的前项和,分别求其通项公式.
⑴
解析:
⑴当,
当
又不适合上式,故
三、利用递推关系求数列的通项
【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系,求其通项公式
⑴
解析:
⑴因为,所以
所以
…,…,
以上个式相加得
即:
点拨:
在递推关系中若求用累加法,若求用累乘法,若,求用待定系数法或迭代法。
课外练习
3设,(),则的大小关系是(C)
A. B.
C. D.不能确定
解:
因为
所以,选C.
二、填空题
5.已知数列的前项和则
7.已知数列的通项(),则数列的前30项中最大项和最小项分别是
解:
构造函数
由函数性质可知,函数在上递减,且
函数在上递增且
三、解答题
6.2等差数列
知识要点
2.递推关系与通项公式
是数列成等差数列的充要条件。
3.等差中项:
若成等差数列,则称的等差中项,且;成等差数列是的充要条件。
4.前项和公式
;
是数列成等差数列的充要条件。
5.等差数列的基本性质
⑴反之,不成立。
⑵
⑶
⑷仍成等差数列。
6.判断或证明一个数列是等差数列的方法:
①定义法:
是等差数列
②中项法:
是等差数列
③通项公式法:
是等差数列
④前项和公式法:
是等差数列
课前热身
2.等差数列中,
A.14 B.15 C.16 D.17
解
。
3.等差数列中,,则前10或11项的和最大。
解:
∴为递减等差数列∴为最大。
4.已知等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为-110
解:
∵
成等差数列,公差为D其首项为
,前10项的和为
6.设等差数列的前项和为,已知
①求出公差的范围,
②指出中哪一个值最大,并说明理由。
解:
①
②
课外练习
一、选择题
1.已知数列是等差数列,,其前10项的和,则其公差等于(D)
2.已知等差数列中,等于(A)
A.15B.30C.31D.64
二、填空题
3.设为等差数列的前项和,=54
4.已知等差数列的前项和为,若
5.设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同点
组成公差为的等差数列,则的取值范围为
解:
椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为,由题意得:
三、解答题
6.等差数列的前项和记为,已知
①求通项;②若=242,求
解:
由,=242
7.甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运动,甲第一分钟走2,以后每分钟比前一分钟多走1,乙每分钟走5,①甲、乙开始运动后几分钟相遇?
②如果甲乙到对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前一分钟多走1,乙继续每分钟走5,那么,开始运动几分钟后第二次相遇?
解:
①设分钟后第一次相遇,依题意有:
故第一次相遇是在开始运动后7分钟。
②设分钟后第二次相遇,则:
故第二次相遇是在开始运动后15分钟
10.已知数列中,前和
①求证:
数列是等差数列
②求数列的通项公式
③设数列的前项和为,是否存在实数,使得对一切正整数都成立?
若存在,求的最小值,若不存在,试说明理由。
解:
①∵
∴数列为等差数列。
②
③
要使得对一切正整数恒成立,只要≥,所以存在实数使得对一切正整数
都成立,的最小值为。
6.3等比数列
知识要点
1.定义:
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为。
2.递推关系与通项公式
3.等比中项:
若三个数成等比数列,则称为的等比中项,且为是成等比数列的必要而不充分条件。
4.前项和公式
5.等比数列的基本性质,
①反之不真!
②
③为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列。
④仍成等比数列。
6.等比数列与等比数列的转化
①是等差数列是等比数列;
②是正项等比数列是等差数列;
③既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。
7.等比数列的判定法
①定义法:
为等比数列;
②中项法:
为等比数列;
③通项公式法:
为等比数列;④前项和法:
为等比数列。
1.
2.已知数列是等比数列,且70(问题引入)
猜想:
是等比数列,公比为。
证明如下:
∵
即:
,∴是首项为,公比为的等比数列。
二、性质运用
例2:
⑴在等比数列中,
①求,
②若
⑵在等比数列中,若,则有等式
成立,类比上述性质,相应的在等比数列中,若则有等式成立。
解:
⑴①由等比数列的性质可知:
②由等比数列的性质可知,是等差数列,因为
⑵由题设可知,如果在等差数列中有
成立,我们知道,如果,而对于等比数列,则有所以可以得出结论,若
成立,在本题中
点拨:
历年高考对性质考查较多,主要是利用“等积性”,题目“小而巧”且背景不断更新,要熟练掌握。
典例精析
一、错位相减法求和
例1:
求和:
解:
⑴
⑵
①
②
由①-②得:
点拨:
①若数列是等差数列,是等比数列,则求数列的前项和时,可采用错位相减法;
②当等比数列公比为字母时,应对字母是否为1进行讨论;
③当将与相减合并同类项时,注意错位及未合并项的正负号。
二、裂项相消法求和
例2:
数列满足=8,()
①求数列的通项公式;
则
所以,=8+(-1)×(-2)=―10-2
②
对一切恒成立。
故的最大整数值为5。
点拨:
①若数列的通项能转化为的形式,常采用裂项相消法求和。
②使用裂项消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项。
三、奇偶分析法求和
例3:
设二次函数
1.在等差数列中,=1,前项和满足
①求数列的通项公式
②记,求数列的前项和。
解:
①设数列的公差为,由
所以=
②由,有
所以①
②
①-②得
课外练习
1.数列的前项和为,若等于(B)
4.的定义域为,且是以2为周期的周期函数,数列是首项为,公差为1的等差数列,那么的值为(C)
A.-1B.1C.0D.10
解:
因为函数的定义域为,且是以2为周期的周期函数,
所以
又数列是首项为,公差为1的等差数列
故原式=0,选C。
二、填空题
5.设等比数列的公比与前项和分别为和,且≠1,
6.数列满足
,则数列的前项和为
=)
7.数列的前100项的和为。
()
典例精析
一、函数与数列的综合问题
①设是常数,求证:
成等差数列;
②若,的前项和是,当时,求
解:
①,
②
点拨:
本例是数列与函数综合的基本题型之一,特征是以函数为载体构建数列的递推关系,通过由函数的解析式获知数列的通项公式,从而问题得到求解。
1.已知正项数列的前项和为,的等比中项,
①求证:
数列是等差数列;
②若,数列的前项和为,求
③在②的条件下,是否存在常数,使得数列为等比数列?
若存在,试求出;若不存在,说明理由。
解:
①的等比中项,
所以数列是等差数列。
②
所以当且仅当3+=0,即=-3时,数列为等比数列。
2.已知在正项数列中,=2,且
在双曲线上,
数列中,
点(,)在直线上,其中是数列的前项和,①求数列的通项公式;②求证:
数列是等比数列。
③若。
解:
①由已知带点在上知,
-=1,所以数列是以2为首项,以1为公差的等差数列。
所以
②因为点(,)在直线上,
③
一、选择题
1.(2009广东卷理)已知等比数列满足,且,则当时,
A.B.C.D.
【解析】由得,,则,,选C.
答案C
2.(2009辽宁卷理)设等比数列{}的前n项和为,若=3,则=
A.2B.C.D.3
【解析】设公比为q,则=1+q3=3Þq3=2
于是
【答案】B
14.(2009湖北卷理)已知数列满足:
(m为正整数),若,则m所有可能的取值为__________。
答案4532
解析
(1)若为偶数,则为偶,故
①当仍为偶数时,故
②当为奇数时,
故得m=4。
(2)若为奇数,则为偶数,故必为偶数
,所以=1可得m=5
16.(2009陕西卷文)设等差数列的前n项和为,若,则.
解析:
由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.
答案:
2n
17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则.
答案:
1
22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列中,
(I)设,求数列的通项公式
(II)求数列的前项和
分析:
(I)由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式:
()
(II)由(I)知,
=
而,又是一个典型的错位相减法模型,
易得=
23.(2009北京理)已知数集具有性质;对任意的
,与两数中至少有一个属于.
(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;
(Ⅱ)证明:
,且;
(Ⅲ)证明:
当时,成等比数列.
【解析】本题主要考查集合、等比数列
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