石景山区高三期末数学理试题及答案.docx
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石景山区高三期末数学理试题及答案
石景山区2015—2016学年第一学期期末考试试卷
高三数学(理)
本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.设集合,,则=( )
A.{1}
B.
C.
D.
2.若变量满足约束条件,
则的最大值为( )
A.B.
C.D.
3.右面的程序框图表示算法的运行结果是()
A.B.
C.D.
4.已知数列是等差数列,,
则前项和中最大的是()
A.B.或
C.或D.
5.“”是直线与直线平行的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.若曲线上只有一个点到其焦点的距离为1,则的值为()
A.4B.3C.2D.1
7.如图,点为正方体的中心,点为面的中心,点为的中点,则空间四边形在该正方体的面上的正投影不可能是()
8.如图,在等腰梯形中,,分别是底边的中点,把四边形沿直线折起,使得面面,若动点平面,设与平面所成的角分别为(均不为0.若,则动点的轨迹为()
A.直线
B.椭圆
C.圆
D.抛物线
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面内,复数对应的点到原点的距离为_________.
10.的二项展开式中项的系数为_________.(用数字作答)
11.在△中,角的对边分别为.,,,
则_____________.
12.在极坐标系中,设曲线和相交于点,则=___________.
13.2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是________种.(用数字作答)
14.股票交易的开盘价是这样确定的:
每天开盘前,由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数,然后由计算机根据这些数据确定适当的价格,使得在该价位上能够成交的股数最多.(注:
当卖方意向价不高于开盘价,同时买方意向价不低于开盘价,能够成交)
根据以下数据,这种股票的开盘价为________元,能够成交的股数为___________.
卖家意向价(元)
2.1
2.2
2.3
2.4
意向股数
200
400
500
100
买家意向价(元)
2.1
2.2
2.3
2.4
意向股数
600
300
300
100
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共13分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期与单调增区间;
(Ⅱ)求函数在上的最大值与最小值.
16.(本小题共13分)
某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学生中,随机抽取12
名进行体质健康测试,测试成绩(百分制)以茎叶图形式表示如下:
成绩
5
2
6
5
7
2
8
8
6
6
6
7
7
8
9
0
8
根据学生体质健康标准,成绩不低于76的为优良.
(Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ)将频率视为概率.根据样本估计总体的思想,在该校学生中任选3人进行体质健
康测试,求至少有1人成绩是“优良”的概率;
(Ⅲ)从抽取的12人中随机选取3人,记表示成绩“优良”的学生人数,求的分布列
及期望.
17.(本小题共14分)
在四棱锥中,侧面底面,,为中点,底面是直角梯形,,,,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使得二面角为?
若存在,求的值;若不存在,请述明理由.
18.(本小题共13分)
已知函数(,为自然对数的底数).
(Ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(Ⅱ)求函数的极值;
(Ⅲ)当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
19.(本小题共14分)
已知椭圆的焦距为,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设为椭圆的左焦点,为直线上任意一点,过作的垂线交椭圆于点,.证明:
经过线段的中点.(其中为坐标原点)
20.(本小题共13分)
给定一个数列,在这个数列里,任取项,并且不改变它们在数列中的先后次序,得到的数列称为数列的一个阶子数列.
已知数列的通项公式为(为常数),等差数列是
数列的一个3阶子数列.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)等差数列是的一个阶子数列,且
(为常数,,求证:
;
(Ⅲ)等比数列是的一个阶子数列,
求证:
.
石景山区2015—2016学年第一学期期末考试
高三数学(理科)参考答案
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
A
B
B
C
D
C
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
题号
9
10
11
12
13
14
答案
72
2.2,600
三、解答题共6小题,共80分.
15.(本小题共13分)
解:
.………………2分
(Ⅰ)的最小正周期为………………4分
令,解得,
所以函数的单调增区间为.………………7分
(Ⅱ)因为,所以,所以,
于是,所以.………………9分
当且仅当时,取最小值.………………11分
当且仅当,即时最大值.………13分
16.(本小题共13分)
解:
(Ⅰ)这组数据的众数为86,中位数为86;………………2分
(Ⅱ)抽取的12人中成绩是“优良”的频率为,
故从该校学生中任选1人,成绩是“优良”的概率为,………………4分
设“在该校学生中任选3人,至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A,
则;………………6分
(Ⅲ)由题意可得,的可能取值为0,1,2,3.………………7分
,,
,,………………11分
所以的分布列为
0
1
2
3
.………………13分
17.(本小题共14分)
解:
(Ⅰ)取的中点,连结,因为为中点,所以,
且,在梯形中,,,
所以,,四边形为平行四边形,
所以,…………………2分
因为平面,平面,
所以平面.…………………4分
(Ⅱ)平面底面,,所以平面,
所以.…………………5分
如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则…………………6分
,,
所以,,……………8分
又由平面,可得,
因为
所以平面.…………………9分
(Ⅲ)平面的法向量为,…………………10分
,设,
所以,……………11分
设平面的法向量为,
,,
由,,得
,
令
所以,…………………12分
所以,…………………13分
注意到,得.
所以在线段上存在一点,使得二面角为,
此时…………………14分
18.(本小题共13分)
解:
(Ⅰ)由,得.………………2分
又曲线在点处的切线平行于轴,
得,即,解得.………………4分
(Ⅱ),
①当时,,为上的增函数,
所以函数无极值.………………6分
②当时,令,得,.
;,.
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上,当时,函数无极小值
当,在处取得极小值,无极大值.………………9分
(Ⅲ)当时,
令,
则直线:
与曲线没有公共点,
等价于方程在上没有实数解.………………10分
假设,此时,,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.………………12分
又时,,知方程在上没有实数解.
所以的最大值为.………………13分
解法二:
(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)当时,.
直线:
与曲线没有公共点,
等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:
(*)
在上没有实数解.……………10分
①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.………………11分
②当时,方程(*)化为.
令,则有.
令,得,
当变化时,的变化情况如下表:
当时,,同时当趋于时,趋于,
从而的取值范围为.
所以当时,方程(*)无实数解,解得的取值范围是.
综上,得的最大值为.………………13分
19.(本小题共14分)
(Ⅰ)解:
由已知可得,………………2分
解得,,
所以椭圆的标准方程是.………………4分
(Ⅱ)证明:
由(Ⅰ)可得,的坐标是,设点的坐标为,
则直线的斜率.………………5分
当时,直线的斜率.直线的方程是.
当时,直线的方程是,也符合的形式.
设,,
将直线的方程与椭圆的方程联立,
消去,得,………………8分
其判别式.
所以,,
.………………10分
设为的中点,则点的坐标为.………………12分
所以直线的斜率,又直线的斜率,
所以点在直线上,即经过线段的中点.………………14分
20.(本小题共13分)
解:
(1)因为成等差数列,所以.
又因为,,,
代入得,解得.………………3分
(2)设等差数列的公差为.
因为,所以,
从而.
所以.………………5分
又因为,所以.
即.所以.
又因为,所以.………………8分
(3)设(),等比数列的公比为.
因为,所以.
从而.………………9分
所以
=
=.
设函数.
当时,函数为单调增函数.
因为当,所以.所以.
即.………………13分
【注:
若有其它解法,请酌情给分】
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