高中数学必修2第二章专题辅导二Word格式文档下载.docx
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(4)平面与平面垂直的性质定理:
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1
如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,
AC⊥CD,∠ABC=60°
,PA=AB=BC,E是PC的中点.
证明:
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2
(2015·
江苏)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,
E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为
B1C1的中点.
求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
(2015·
江苏)
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°
,E,F分别是AP,AD的中点.
(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
题型三 线面、面面垂直的综合应用
例3
如图所示,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,
AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4
.
(1)设M是PC上的一点,求证:
平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P—ABCD的体积.
如图所示,已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点,
(1)求证:
EF∥平面ABCD;
(2)设M为线段C1C的中点,当
的比值为多少时,DF⊥平面D1MB?
并说明理由.
题型四 线面角、二面角的求法
例4
如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,
∠ABC=60°
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)证明:
AE⊥平面PCD;
(3)求二面角A—PD—C的正弦值.
已知三棱锥S-ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.
证明
(1)在四棱锥P—ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°
,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
由
(1),知AE⊥CD,且PC∩CD=C,
∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD=A,
∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,
∴PD⊥平面ABE.
证明
(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1,CC1∩DE=E,
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE,
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由
(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,
所以A1F∥平面ADE.
证明
(1)如图,在△PAD中,
因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.
又因为EF⊄平面PCD,
PD⊂平面PCD,
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°
,所以△ABD为正三角形.
因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.
又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
思维启迪:
(1)因为两平面垂直与M点位置无关,所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD,考虑证明BD⊥平面PAD.
(2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离.
(1)证明 在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4
,
∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.
又∵面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,
BD⊂面ABCD,∴BD⊥面PAD.
又BD⊂面BDM,
∴面MBD⊥面PAD.
(2)解 过P作PO⊥AD,
∵面PAD⊥面ABCD,
∴PO⊥面ABCD,
即PO为四棱锥P—ABCD的高.
又△PAD是边长为4的等边三角形,
∴PO=2
在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,
∴四边形ABCD为梯形.
在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为
=
此即为梯形的高.
∴S四边形ABCD=
×
=24.
∴VP—ABCD=
24×
2
=16
(1)证明 ∵E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点,∴EF∥AB.∵EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
(2)解 当
时,DF⊥平面D1MB.
∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
∵D1D⊥平面ABC,∴D1D⊥AC.
∴AC⊥平面BB1D1D,∴AC⊥DF.
∵F,M分别是BD1,CC1的中点,∴FM∥AC.∴DF⊥FM.
∵D1D=
AD,∴D1D=BD.∴矩形D1DBB1为正方形.
∵F为BD1的中点,∴DF⊥BD1.
∵FM∩BD1=F,∴DF⊥平面D1MB.
(2)证明AE⊥平面PCD;
(1)解 在四棱锥P—ABCD中,
因PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,
故PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,
从而AB⊥平面PAD,
故PB在平面PAD内的射影为PA,
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.
在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°
(2)证明 在四棱锥P—ABCD中,
因PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
故CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC=A,
又AE⊂平面PAC,∴AE⊥CD.
由PA=AB=BC,∠ABC=60°
又PC∩CD=C,综上得AE⊥平面PCD.
(3)解 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示.
由
(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,
则AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角.
由已知,可得∠CAD=30°
设AC=a,可得
PA=a,AD=
a,PD=
a,AE=
a.
在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·
PD=PA·
AD,
则AM=
在Rt△AEM中,sin∠AME=
所以二面角A—PD—C的正弦值为
已知三棱锥S-ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.
解:
如图所示,过点A作AD⊥BC于点D,连接SD;
作AG⊥SD
于点G,连接GB.
∵SA⊥底面ABC,△ABC为等边三角形,
∴BC⊥SA,BC⊥AD.
∴BC⊥平面SAD.
又AG⊂平面SAD,∴AG⊥BC.
又AG⊥SD,∴AG⊥平面SBC.
∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角.
∵AB=2,SA=3,∴AD=
,SD=2
在Rt△SAD中,AG=
∴sin∠ABG=
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