高考江苏卷数学理试卷及答案.doc
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2013年普通高等学校统一考试数学试题
卷Ⅰ必做题部分
一.填空题
1.函数的最小正周期为。
2.设(为虚数单位),则复数的模为。
3.双曲线的两条渐近线的方程为。
4.集合共有个子集。
5.下图是一个算法的流程图,则输出的的值是。
6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:
环),结果如下:
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为。
7.现在某类病毒记作,其中正整数,(,)可以任意选取,则都取到奇数的概率为。
8.如图,在三棱柱中,分别是
的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,
则。
9.抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三
角形内部与边界)。
若点是区域内的任意一点,则的取值范
围是。
10.设分别是的边上的点,,,若(为实数),则的值为。
11.已知是定义在上的奇函数。
当时,,则不等式的解集用区间表示为。
12.在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为。
13.在平面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为。
14.在正项等比数列中,,,则满足的最大正整数的值为。
二.解答题:
15.本小题满分14分。
已知,
。
(1)若,求证:
;
(2)设,
若,求的值。
16.本小题满分14分。
如图,在三棱锥中,平面平面,,
x
y
A
l
O
,过作,垂足为,点分别是棱的中点.
求证:
(1)平面平面;
(2).
17.本小题满分14分。
如图,在平面直角坐标系中,点,直线
设圆的半径为,圆心在上。
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围。
C
B
A
18.本小题满分16分。
如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。
一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到。
现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为。
在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到。
假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,。
(1)求索道的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行
的速度应控制在什么范围内?
19.本小题满分16分。
设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和。
记,,其中为实数。
(1)若,且成等比数列,证明:
();
(2)若是等差数列,证明:
。
20.本小题满分16分。
设函数,,其中为实数。
(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论。
卷Ⅱ附加题部分
[选做题]第21题,本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21.A.[选修4-1:
几何证明选讲]本小题满分10分。
如图,和分别与圆相切于点,经过圆心,且
求证:
21.B.[选修4-2:
矩阵与变换]本小题满分10分。
已知矩阵,求矩阵。
21.C.[选修4-4:
坐标系与参数方程]本小题满分10分。
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线C的参数方程为(为参数),试求直线与曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。
21.D.[选修4-5:
不定式选讲]本小题满分10分。
已知>0,求证:
[必做题]第22、23题,每题10分,共20分。
请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22.本小题满分10分。
如图,在直三棱柱中,,,,点是的中点
(1)求异面直线与所成角的余弦值
(2)求平面与所成二面角的正弦值。
23.本小题满分10分。
设数列
,即当时,
,记,对于,
定义集合
(1)求集合中元素的个数;
(2)求集合中元素的个数。
参考答案
一、填空题
1.2.53.4.85.36.27..8.9.
10.11.12.13.或14.12
二、解答题
15.解:
(1)∵∴即,
又∵,∴∴∴
(2)∵∴即
两边分别平方再相加得:
∴∴∵
∴
16.证明:
(1)∵,∴F分别是SB的中点
∵E.F分别是SA.SB的中点∴EF∥AB
又∵EF平面ABC,AB平面ABC∴EF∥平面ABC
同理:
FG∥平面ABC
又∵EFFG=F,EF.FG平面ABC∴平面平面
(2)∵平面平面
平面平面=BC
AF平面SAB
AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC又∵BC平面SBC∴AF⊥BC
又∵,ABAF=A,AB.AF平面SAB∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA
17.解:
(1)由得圆心C为(3,2),∵圆的半径为
∴圆的方程为:
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即
∴∴∴∴或者
∴所求圆C的切线方程为:
或者即或者
(2)解:
∵圆的圆心在在直线上,所以,设圆心C为(a,2a-4)
则圆的方程为:
又∵∴设M为(x,y)则整理得:
设为圆D
∴点M应该既在圆C上又在圆D上即:
圆C和圆D有交点
∴
由得
由得
终上所述,的取值范围为:
18.解:
(1)∵,
∴∴,
∴
根据得
(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则
∴
∵即
∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短。
(3)由正弦定理得(m)
乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C
设乙的步行速度为V,则
∴∴
∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内
法二:
解:
(1)如图作BD⊥CA于点D,
设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,
AB=52k,由AC=63k=1260m,
知:
AB=52k=1040m.
(2)设乙出发x分钟后到达点M,
此时甲到达N点,如图所示.
则:
AM=130x,AN=50(x+2),
由余弦定理得:
MN2=AM2+AN2-2AM·ANcosA=7400x2-14000x+10000,
其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由
(1)知:
BC=500m,甲到C用时:
=(min).
若甲等乙3分钟,则乙到C用时:
+3=(min),在BC上用时:
(min).
此时乙的速度最小,且为:
500÷=m/min.
若乙等甲3分钟,则乙到C用时:
-3=(min),在BC上用时:
(min).
此时乙的速度最大,且为:
500÷=m/min.
故乙步行的速度应控制在[,]范围内.
C
B
A
D
M
N
19.证明:
∵是首项为,公差为的等差数列,是其前项和
∴
(1)∵∴
∵成等比数列∴∴
∴∴∵∴∴
∴
∴左边=右边=
∴左边=右边∴原式成立
(2)∵是等差数列∴设公差为,∴带入得:
∴对恒成立
∴
由①式得:
∵∴
由③式得:
法二:
证:
(1)若,则,,.
当成等比数列,,
即:
,得:
,又,故.
由此:
,,.
故:
().
(2),
.(※)
若是等差数列,则型.
观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
故有:
,即,而≠0,
故.
经检验,当时是等差数列.
20.解:
(1)由即对恒成立,∴
而由知<1∴
由令则
当<时<0,当>时>0,
∵在上有最小值
∴>1∴>
综上所述:
的取值范围为
(2)证明:
∵在上是单调增函数
∴即对恒成立,
∴
而当时,>∴
分三种情况:
(Ⅰ)当时,>0∴f(x)在上为单调增函数
∵∴f(x)存在唯一零点
(Ⅱ)当<0时,>0∴f(x)在上为单调增函数
∵<0且>0
∴f(x)存在唯一零点
(Ⅲ)当0<时,,令得
∵当0<<时,>0;>时,<0
∴为最大值点,最大值为
①当时,,,有唯一零点
②当>0时,0<,有两个零点
实际上,对于0<,由于<0,>0
且函数在上的图像不间断∴函数在上有存在零点
另外,当,>0,故在上单调增,∴在只有一个零点
下面考虑在的情况,先证<0
为此我们要证明:
当>时,>,设,则,再设
∴
当>1时,>-2>0,在上是单调增函数
故当>2时,>>0
从而在上是单调增函数,进而当>时,>>0
即当>时,>,
当0<<时,即>e时,<0
又>0且函数在上的图像不间断,
∴函数在上有存在零点,又当>时,<0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点
综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:
当时,的零点个数为1;当0<<时,的零点个数为2
21.A证明:
连接OD,∵AB与BC分别与圆O相切于点D与C
∴,又∵
∴~
∴又∵BC=2OC=2OD∴AC=2AD
21.B解:
设矩阵A的逆矩阵为,则=,即=,
故a=-1,b=0,c=0,d=∴矩阵A的逆矩阵为,
∴==
21.C解:
∵直线的参数方程为∴消去参数后得直线的普通方程为①
同理得曲线C的普通方程为②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为,
21.D证明:
∵
又∵>0,∴>0,,
∴
∴
∴
22.本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力。
解:
(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系,
则,,,,
∴,
∴
∴异面直线与所成角的余弦值为
(2)是平面的的一个法向量
设平面的法向量为,∵,
由
∴取,得,∴平面的法向量为
设平面与所成二面角为
∴,得
∴平面与所成二面角的正弦值为
23.本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。
(1)解:
由数列的定义得:
,,,,,,,,,,
∴,,,,,,,,,,
∴,,,,
∴集合中元素的个数为5
(2)证明:
用数学归纳法先证
事实上,[来源:
Z_xx_k.Com]
①当时,故原式成立
②假设当时,等式成立,即故原式成立
则:
,时,
综合①②得:
于是
由上可知:
是的倍数
而,所以是
的倍数
又不是的倍数,
而
所以不是的倍数
故当时,集合中元素的个数为
于是当时,集合中元素的个数为
又
故集合中元素的个数为
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