武汉市武珞路中学学年八年级上学期期中数学试题文档格式.docx
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多边形的内角和外角性质.
【分析】设此多边形是n边形,
∵多边形的外角和为360°
,内角和为(n-2)180°
,
∴(n-2)180=360,解得:
n=4.
∴这个多边形是四边形.故选A.
4.如图,AD⊥AB,CB⊥AB,AD=BC,则Rt△ABD与Rt△BAC全等的依据是()
A.HLB.ASAC.SASD.AAS
根据垂直得出∠DAB=∠CBA=90°
,根据HL推出两直角三角形全等即可.
∵AD⊥AB,CB⊥AB,
∴∠DAB=∠CBA=90°
在Rt△ABD和Rt△BAC中
∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL),
A.
此题考查全等三角形的判定的应用,能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键,注意:
直角三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.
5.已知等腰三角形的周长为22,一边长为8,则它的底边长是()
A.8B.6C.7或8D.6或8
【答案】D
要确定等腰三角形的另外两边长,可根据已知的边的长,结合周长公式求解,由于长为8的边已知没有明确是腰还是底边,要分类进行讨论.
∵等腰三角形的周长为22,
∴当8为腰时,它的底长=22-8-8=6,8+6>8,能构成等腰三角形;
当8为底时,它的腰长=(22-8)÷
2=7,7+7>8能构成等腰三角形,
即它的另外两边长分别为8,6或者7,7.
则它的底边长是6或8.
D.
此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系,解题关键在于注意养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.
6.边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放并连线,则图中阴影部分的面积为()
B.2a2C.3a2D.
结合图形,发现:
阴影部分的面积=△ABQ的面积的-△BER的面积,代入求出即可.
根据图形可知:
阴影部分的面积S=
此题考查整式的混合运算,解题关键是列出求阴影部分面积的式子.
7.下列分解因式正确的是()
A.-x2+4x=-x(x+4)B.x2+2x-1=(x-1)2
C.4x2-1=(4x+1)(4x-1)D.-x2+2x-1=-(x-1)2
各项分解得到结果,即可作出判断.
A、原式=-x(x-4),不符合题意;
B、原式不能分解,不符合题意;
C、原式=(2x+1)(2x-1),不符合题意;
D、原式=-(x-1)2,符合题意,
此题考查了因式分解-运用公式法,以及提公因式法,熟练掌握各种因式分解的方法是解题的关键.
8.将二次三项式x2-4x+3进行配方,正确的结果是()
A.(x+2)2-1B.(x-2)2-1C.(x+2)2+3D.(x-2)2+3
根据题意所给的式子要配成完全平方式,常数项应该是一次项系数-4的一半的平方;
可将常数项3拆分为4和-1,然后再按完全平方公式进行计算.
x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1.
此题考查配方法的应用,解题关键在于在对二次三项式进行配方时,一般要将二次项系数化为1,然后将常数项进行拆分,使得其中一个常数是一次项系数的一半的平方.
9.如图,3×
3的网格中,△ABC的三个顶点均在在格点上,这样的三角形叫格点三角形,图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有()个(不含△ABC)
A.3B.4C.7D.8
本题考查的是用SSS判定两三角形全等.认真观察图形可得答案.
如图所示每个大正方形上都可作两个全等的三角形,所以共有八
个全等三角形,
除去△ABC外有七个与△ABC全等的三角形.
C.
此题考查三角形全等的判定,解题关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
10.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,AD垂直于BD,△BCD的面积为45,△ADC的面积为20,则△ABD的面积为().
A.20B.18C.16D.25
延长AD交BC于E,由AAS证明△ABD≌△EBD,得出AD=ED,得出△ABD的面积=△EBD的面积,△CDE的面积=△ACD的面积=20,即可得出结果.
延长AD交BC于E,如图所示:
∵BD平分∠ABC,AD垂直于BD,
∴∠ABD=∠EBD,∠ADB=∠EDB=90°
在△ABD和△EBD中,
∴△ABD≌△EBD(AAS),
∴AD=ED,
∴△ABD的面积=△EBD的面积,△CDE的面积=△ACD的面积=20,
∴△ABD的面积=△EBD的面积=△BCD的面积-△CDE的面积=45-20=25.
故选D.
此题考查等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,三角形面积的计算,证明三角形全等得出AD=ED是解题关键.
二、填空题
11.计算:
x5·
x2=__________,x6÷
x3=__________,(-2xy2)3=_________.
【答案】x7x3-8x3y6
根据同底数幂的乘法和除法,幂的乘方,进行计算即可.
x2=x7,x6÷
x3=x3,(-2xy2)3=-8x3y6.
故答案为:
x7,x3,-8x3y6.
此题考查同底数幂的乘除法,幂的乘方,解题关键在于掌握运算法则.
12.若
是完全平方式,则
___.
【答案】
利用完全平方公式的题中判断即可求出m的值.
是完全平方式,
此题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
13.观察:
①1×
3+1=22,②2×
4+1=32,③3×
5+1=42,④4×
6+1=52……请你用字母n的等式表示你发现的规律:
______.
【答案】n(n+2)+1=(n+1)2
试题分析:
假设第一个数字为n,则第二个数字为(n+2),等号后面的数字为(n+1),然后根据给出的式子得出规律.
点睛:
本题主要考查的就是规律的发现与整理,做这种类型的题目时,我们首先要通过已知的式子找出各数字之间存在的关系,然后根据得出规律用代数式来进行表示,如果同学对答案不是很确定的时候,我们可以利用多项式的乘法计算法则将所得出的代数式进行验证.
14.△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,分别过A、B向过C的直线CD作垂线,垂足分别为E、F,若AE=5,BF=3,则EF=________.
【答案】8或2.
认真画出图形,找出一组全等三角形即可,利用全等三角形的对应边相等可得答案.
∵∠C=90°
,AC=BC,
∴∠BCF=∠EAC
∴△BFC≌△CEA,
∴CF=AE=5
CE=BF=3
①∴EF=CF+CE=5+3=8.
②EF=CF-CE=5-3=2
8或2.
此题考查三角形全等的判定方法,全等三角形的性质,解题关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、SSA、HL.
15.如图,已知P(3,3),点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,∠APB=90°
,则OA+OB=________.
【答案】6
过P作PM⊥y轴于M,PN⊥x轴于N,
∵P(3,3),
∴PN=PM=3,
∵x轴⊥y轴,
∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°
∴∠MPN=360°
-90°
=90°
则四边形MONP是正方形,
∴OM=ON=PN=PM=3,
∵∠APB=90°
∴∠APB=∠MON,
∴∠MPA=90°
-∠APN,∠BPN=90°
-∠APN,
∴∠APM=∠BPN,
在△APM和△BPN中
,
∴△APM≌△BPN(ASA),
∴AM=BN,
∴OA+OB
=OA+0N+BN
=OA+ON+AM
=ON+OM
=3+3
=6.
故答案是:
6.
16.如图,△ABC中,∠BAC=36°
,AD平分∠BAC,AM⊥AD交BC的延长线于M,若BM=BA+AC,则∠ABC=_________.
【答案】96°
.
根据题意延长BA到N,使得AN=AC,连接MN,求出∠NAM=∠MAC=108°
,证△MAN≌△MAC,推出∠C=∠N,∠NMA=∠CMA,根据等腰三角形性质求出∠C=2∠AMC,根据三角形内角和定理求出∠AMC,根据三角形外角性质即可求出答案.
延长BA到N,使得AN=AC,连接MN,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD=
∠BAC=18°
∵AM⊥AD,
∴∠MAD=90°
∴∠BAM=90°
−18°
=72°
∴∠MAN=180°
−∠MAB=180°
−72°
=108°
∵∠MAC=90°
+18°
∴∠MAN=∠MAC,
∵AM=AM,AN=AC,
∴△MAN≌△MAC,
∴∠C=∠N,∠NMA=∠CMA,
∵BM=AB+AC,AN=AC,
∴BM=BN,
∴∠N=∠NMB=2∠AMC,
∴∠C=2∠AMC,
∵∠C+∠AMC+∠MAC=180°
∴3∠AMC=180°
−108°
∴∠AMC=24°
∴∠ABC=∠AMC+∠MAB=72°
+24°
=96°
故答案为96°
此题考查三角形的角平分线、中线和高,三角形内角和定理,三角形的外角性质,全等三角形的判定与性质,解题关键在于掌握作辅助线和掌握各性质定义.
三、解答题
17.
(1)计算:
(x+2)(x-5)
(2)分解因式:
-3x3+12x
(1)x2-3x-10;
(2)3x(2+x)(2-x).
(1)原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果;
(2)先提取公因式3x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
(1)原式=x2-5x+2x-10=x2-3x-10;
(2)-3x3+12x
=3x(4-x2)
=3x(2+x)(2-x).
此题考查提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.
18.
(1)先化简,再求值:
[(x-y)2-(x+y)(x-y)]÷
2y,其中x=2,y=-3.
(2)已知a+b=4,ab=2,求a2+b2的值.
(1)y-x,-5;
(2)12;
(1)利用完全平方公式、平方差公式展开,合并同类项化简,最后代入计算即可.
(2)先变形后得出关于a+b和ab的代数式,再整体代入求出即可.
(1)原式=(x2-2xy+y2-x2+y2)÷
2y
=(2y2-2xy)÷
=y-x,
当x=2,y=-3,原式=-3-2=-5.
(2)∵a+b=4,ab=2,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=42-2×
2=12;
此题考查整式的混合运算-化简求值,解题的关键是熟练掌握完全平方公式.平方差公式的应用,学会整体代入的思想解决问题.
19.如图,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,∠ABC=∠DEF,BE=CF,判断AC与DF有何关系,请说明理由.
【答案】AC∥DF.证明见解析
根据BE=CF,求得BC=EF,再利用SAS证明△ABC≌△DEF,进而得到∠ACB=∠DFE,即可得证.
AC∥DF.证明:
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠ACB=∠DFE,
∴AC∥DF.
此题考查全等三角形的性质和判定,解题关键在于掌握判定定理.
20.如图所示,在
中,
是高,
、
是角平分线,它们相交于点
,求
的度数.
由AD是高易得∠DAC与∠C互余,即可求出∠DAC,由三角形内角和定理求出∠ABC,再根据角平分线的定义求出∠ABO与∠BAO,最后根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数.
解:
是
的高
在
中
是角平分线
本题考查了三角形中的角度计算,熟练掌握高和角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键.
21.求证:
全等三角形对应边上的高相等.(根据题意画出图形,写出已知、求证,并证明)
【答案】见解析
分别画出两个全等三角形△ABC和△DEF,作高线AH和DG,根据AAS可证明全等.
如图
已知△ABC≌△DEF,AH,DG分别是对应边BC,EF边上的高,
求证:
AH=DG
证明:
∵△ABC≌△DEF,
∴AB=DE,∠B=∠E,
∵AH,DG分别是对应边BC,EF边上的高,
∴∠AHB=90°
,∠DGE=90°
即∠AHB=∠DGE,
在△ABH与△DEG中,
∴△ABH≌△DEG(AAS),
∴AH=DG.
此题考查作图-复杂作图,全等三角形的性质,解题的关键是熟练掌握基本知识.
22.如图,四边形ABCD中,∠B=∠C=90°
,E是BC的中点,DE平分∠ADC.
(1)求证:
AE平分∠BAD.
(2)求证:
AD=AB+CD.
(1)见解析;
(2)见解析
(1)过点E作EF⊥DA于点F,首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF,根据等量代换可得BE=EF,再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD;
(2)首先证明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF,同理可得AF=AB,再由AD=AF+DF利用等量代换可得结论;
(1)证明:
过点E作EF⊥DA于点F,
,DE平分∠ADC,
∴CE=EF,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
∴BE=EF,
又∵∠B=90°
,EF⊥AD,
∴AE平分∠BAD.
(2)证明:
AD=CD+AB,
∵∠C=∠DFE=90°
∴在Rt△DFE和Rt△DCE中
∴Rt△DFE和Rt△DCE(HL),
∴DC=DF,
同理AF=AB,
∵AD=AF+DF,
∴AD=CD+AB;
此题考查角平分线的性质和判定,全等三角形的性质和判定,解题关键是掌握角平分线的性质和判定定理.
23.如图1,△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE.
BD=CE;
(2)若点M,N分别是BD,CE的中点,如图2,连接AM,AN,MN,若AC=6,AE=4,∠EAC=60°
,求AN的长.
(2)
.
(1)由∠BAC=∠DAE知∠EAC=∠DAB,根据AB=AC、AD=AE即可证△CAE≌△BAD,从而得证;
(2)取AC的中点F,连接FN,过点N作NG⊥AC,据此可得NF∥AE、NF=
AE=2,继而由∠GFN=∠EAC=60°
得FG=
FN=1、AG=4、NG=
,利用勾股定理可得答案.
(1)∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,
∴∠EAC=∠DAB,
∵AB=AC、AD=AE,
∴△CAE≌△BAD,
∴BD=CE;
(2)取AC的中点F,连接FN,过点N作NG⊥AC于点G,
∵N是CE的中点,
∴NF∥AE,NF=
AE=2,
∴∠GFN=∠EAC=60°
∴∠FNG=30°
∴FG=
FN=1,
∴AG=1+3=4,NG=
在Rt△ANG中,由勾股定理可得AN=
此题考查全等三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性质,解题的关键是掌握判定定理.
24.已知在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),D(0,c),其中a,b,c满足2a2+b2+c2-2ab-8a-2c+17=0,过坐标O作直线BC交线段OA于点C.
(1)如图1,当∠ODA=∠OCB时,求点C的坐标;
(2)如图2,在
(1)条件下,过O作OE⊥BC交AB于点E,过E作EF⊥AD交OA于点N,交BC延长线于F,求证:
BF=OE+EF;
(1)C(1,0);
(2)见解析;
(1)利用非负数的性质求出a,b,c的值,再证明△AOD≌△BOC(ASA),推出OC=OD=1解决问题;
(2)如图2中,设AD交BC于点Q,连接OQ,QE.想办法证明BQ=OE,FQ=EF即可解决问题;
(1)如图1中,
∵2a2+b2+c2-2ab-8a-2c+17=0,
∴(a-4)2+(a-b)2+(c-1)2=0,
∵(a-4)2≥0,(a-b)2≥0,(c-1)2≥0,
∴a=b=4,c=1,
∴A(4,0),B(0,4),D(0,1).
∴OB=OA,
∵∠ODA=∠OCB,∠AOD=∠BOC=90°
∴△AOD≌△BOC(ASA),
∴OC=OD=1,
∴C(1,0).
(2)如图2中,设AD交BC于点Q,连接OQ,QE.
∵△AOD≌△BOC,
∴∠DAO=∠CBO,OD=OC,
∵OB=OA,
∴BD=AC,
∵∠AQB=∠CQA,
∴△DQB≌△CQA(AAS),
∴BQ=AQ,
∵OQ=OQ,OB=OA,BQ=AQ,
∴△OQB≌△OQA(SSS),
∴∠BOQ=∠AOQ=45°
∴∠BOQ=∠OAE,
∵BF⊥OE,
∴∠OBC+∠BOE=90°
,∠BOE+∠AOE=90°
∴∠OBQ=∠AOE,∵OB=OA,
∴△OBQ≌△AOE(ASA),
∴BQ=OE,OQ=AE,
∵EQ=EQ,AQ=OE,OQ=AE,
∴△OEQ≌△AQE(SSS),
∴∠OEQ=∠AQE,
∵EF⊥AD,OE⊥BC,
∴∠F+∠FEO=90°
,∠F+∠FQA=90°
∴∠FEO=∠FQA,
∴∠FEQ=∠FQE,
∴EF=FQ,
∴BF=BQ+FQ=OE+EF.
此题考查三角形综合题,非负数的性质,全等三角形的判定和性质,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
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