高考数学常用公式精华总结.doc

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高中数学常用公式精华总结

1.元素与集合的关系

.

2.德摩根公式

.

3．集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.

4.二次函数的解析式的三种形式

（1）一般式;

（2）顶点式;

（3）零点式.

5.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.

6.闭区间上的二次函数的最值

二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：

（可画图解决问题）

（1）当a>0时，若，则；

，，.

（2）当a<0时，若，则，若，则，.

7.真值表

ｐ

ｑ

非ｐ

ｐ或ｑ

ｐ且ｑ

真

真

假

真

真

真

假

假

真

假

假

真

真

真

假

假

假

真

假

假

8.常见结论的否定形式

原结论

反设词

原结论

反设词

是

不是

至少有一个

一个也没有

都是

不都是

至多有一个

至少有两个

大于

不大于

至少有个

至多有（）个

小于

不小于

至多有个

至少有（）个

对所有，

成立

存在某，

不成立

或

且

对任何，

不成立

存在某，

成立

且

或

9.四种命题的相互关系

原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题

若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ

　　　　　　　互　　　　　　　互

　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互

　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否

　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　否　　　　　　否

否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　

若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ

10.充要条件

（1）充分条件：

若，则是充分条件.

（2）必要条件：

若，则是必要条件.

（3）充要条件：

若，且，则是充要条件.

注：

如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

11.函数的单调性

（1）设那么

上是增函数；

上是减函数.

（2）设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.

12.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.

13．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

14.两个函数图象的对称性

（1）函数与函数的图象关于直线（即轴）对称.

（2）同底的指数和对数函数互为反函数，图像关于直线y=x对称。

15.几个函数方程的周期（约定a>0），则的周期T=a；

16.分数指数幂

（1）（，且）.

（2）（，且）.

17．根式的性质

（1）.

（2）当为奇数时，；当为偶数时，.

18．有理指数幂的运算性质

（1）.

（2）.

（3）.

注：

若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

19.指数式与对数式的互化式

.

20.对数的换底公式

（,且,,且,）.

推论（,且,,且,,）.

21．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

（1）;

（2）;

（3）.

22.数列的同项公式与前n项的和的关系

（数列的前n项的和为）.

23.等差数列的通项公式；

其前n项和公式为.

24.等比数列的通项公式；

其前n项的和公式为或.

25.同角三角函数的基本关系式

，=，

27.正弦、余弦的诱导公式：

奇变偶不变，符号看象限。

28.和角与差角公式

;

;

.

=

（辅助角所在象限由点的象限决定,）.

29.二倍角公式

.

.

.

30.三角函数的周期公式

函数，x∈R及函数，x∈R（A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0）的周期；

函数，（A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0）的周期.

31.正弦定理 .

32.余弦定理

;;.

33.面积定理

（1）（分别表示a、b、c边上的高）.

（2）.

34.三角形内角和定理

在△ABC中，有

sinC=sin（A+B）,cosC=-cos（A+B）,tanC=-tan（A+B）

35.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

（1）结合律：

λ（μa）=（λμ）a;

（2）第一分配律：

（λ+μ）a=λa+μa;

（3）第二分配律：

λ（a+b）=λa+λb.

36.向量的数量积的运算律：

（1）a·b=b·a（交换律）;

（2）（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;

（3）（a+b）·c=a·c+b·c.

37.平面向量基本定理 

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

38．向量平行的坐标表示  

设a=,b=，且b0，则ab（b0）.

39.a与b的数量积（或内积）

a·b=|a||b|cosθ．

40.a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

41.平面向量的坐标运算

（1）设a=,b=，则a+b=.

（2）设a=,b=，则a-b=.

（3）设A，B,则.

（4）设a=，则a=.

（5）设a=,b=，则a·b=.

42.两向量的夹角公式

（a=,b=）.

43.平面两点间的距离公式

=

（A，B）.

44.向量的平行与垂直

设a=,b=，且b0，则

A||bb=λa.

ab（a0）a·b=0.

45.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.

46.三角形四“心”向量形式的充要条件

设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则

（1）为的外心.

（2）为的重心.

（3）为的垂心.

（4）为的内心.

47.常用不等式：

（1）（当且仅当a＝b时取“=”号）．

（2）（当且仅当a＝b时取“=”号）．

（3）

（4）.

48.均值定理

已知都是正数，则有

（1）若积是定值，则当时和有最小值；

（2）若和是定值，则当时积有最大值.

49.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：

同号两根之外，异号两根之间.

；

.

50.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

.

或.

51.指数不等式与对数不等式

（1）当时,

;

.

（2）当时,

;

52..斜率公式

（、）.

53.直线的五种方程

（1）点斜式（直线过点，且斜率为）．

（2）斜截式（b为直线在y轴上的截距）.

（3）两点式（）（、（））.

（4）截距式（分别为直线的横、纵截距，）

（5）一般式（其中A、B不同时为0）.

54.两条直线的平行和垂直

（1）若，

①;

②.

（2）若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①；

②；

55．四种常用直线系方程

（1）定点直线系方程：

经过定点的直线系方程为（除直线）,其中是待定的系数;经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．

（2）共点直线系方程：

经过两直线,的交点的直线系方程为（除），其中λ是待定的系数．

（3）平行直线系方程：

直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是（），λ是参变量．

（4）垂直直线系方程：

与直线（A≠0，B≠0）垂直的直线系方程是,λ是参变量．

56.点到直线的距离

（点,直线：

）.

57.或所表示的平面区域

设直线，则或所表示的平面区域是：

若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.

58.或所表示的平面区域

设曲线（），则

或所表示的平面区域是：

所表示的平面区域上下两部分；

所表示的平面区域上下两部分.

59.圆的四种方程

（1）圆的标准方程.

（2）圆的一般方程（＞0）.

60.点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有三种

若，则

点在圆外;点在圆上;点在圆内.

61.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种:

;

;

.

其中.

62.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，

;

;

;

;

.

63.椭圆的标准方程及简单的几何性质

64．椭圆的的内外部

（1）点在椭圆的内部.

（2）点在椭圆的外部.

65.双曲线的内外部

（1）点在双曲线的内部.

（2）点在双曲线的外部.

66.双曲线的方程与渐近线方程的关系

（1）若双曲线方程为渐近线方程：

.

（2）若渐近线方程为双曲线可设为.

（3）若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.

67.抛物线的焦半径公式

抛物线焦半径.

过焦点弦长.

68.抛物线上的动点可设为P或P，其中.

69.抛物线的内外部

（1）点在抛物线的内部.

点在抛物线的外部.

（2）点在抛物线的内部.

点在抛物线的外部.

（3）点在抛物线的内部.

点在抛物线的外部.

（4）点在抛物线的内部.

点在抛物线的外部.

70.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或AB=

（弦端点A，由方程消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.

71．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行.

72．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

73．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直.

74．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；

（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

75．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直.

76.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

（1）加法交换律：

a＋b=b＋a．

（2）加法结合律：

（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．

（3）数乘分配律：

λ（a＋b）=λa＋λb．

77.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b（b≠0），a∥b存在实数λ使a=λb．

三点共线.

、共线且不共线且不共线.

78.球的半径是R，则

其体积,

其表面积．

79．柱体、锥体的体积

（