考研数二真题及解析Word文档下载推荐.docx

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Vx0

，则（

）

（A）0

dy

Vy

（B）0

（C）Vy

（D）dy

（8）

设f（x）是奇函数，除x

0外到处连续，x

0是其第一类中断点，则

f（t）dt是（）

（A）连续的奇函数

（B）连续的偶函数

（C）在x

0中断的奇函数

（D）在x

0中断的偶函数

（9）

设函数g（x）可微，h（x）

e1

g（x）,h

（1）

1,g

（1）

2,则g

（1）等于（

（A）ln3

（B）

ln3

（C）

ln21

（D）ln21

（10）

函数y

c1ex

c2e2x

xex知足的一个微分方程是

（

（A）y

y

2y

3xex

3ex

（C）y

（D）y

4

（11）

设f（x,y）为连续函数，则

df（rcos,rsin

）rdr等于（）

x2

1x2

（A）

dx

f（x,y）dy

y2

1y2

f（x,y）dx

（D）

f（x,y）dx

（12）

设f（x,y）与（x,y）均为可微函数，且

y（x,y）

0,已知（x0,y0）是f（x,y）在拘束条

件

（x,y）

0下的一个极值点，以下选项正确的选项是

（）

（A）若fx（x0,y0）

（C）若fx（x0,y0）

0,则fy（x0

y0）

（B）若

fx（x0,y0）

0,则fy（x0,y0）

0,则fy（x0

（D）若

0,则fy（x0,y0）

（13）设1,2,L,s均为n维列向量，A是mn矩阵，以下选项正确的选项是（）

（A）若1,

2,L,

s线性有关，则

A1,A2,L,A

1,

A1,A

2,L,A

（C）若

s线性没关，则

（D）若1,

s线性有关.

s线性没关.

（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列

得C，记P0

（A）CP1AP.

（B）C

PAP1.

（C）CPTAP.

（D）CPAPT.

三、解答题：

15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的地点上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（此题满分10分）

试确立常数A,B,C的值，使得ex（1BxCx2）1Axo（x3），此中o（x3）是当

x0时比x3高阶的无量小.

（16）（此题满分10分）

求arcsinexdxex

（17）（此题满分10分）

设地区D

{（x,y）|x2

y2

1,x

0}，计算二重积分

I

xy

2dxdy

D1x

（18）（此题满分

12分）

设数列{xn}知足0

x1

，xn1

sinxn（n

1,2,L

xn

xn2

（I）证明limxn存在，并求该极限;

（II）

计算lim

n

（19）（此题满分

10分）

证明：

当

0ab

时，bsinb

2cosb

basina

2cosa

a.

（20）（此题满分

设函数f（u）在（0,

）内拥有二阶导数，且Z

f

知足等式

2z

（I）考证

f（u）

;

（II）若f

（1）

0,f

（1）

1,

求函数f（u）的表达式.

u

（21）（此题满分

已知曲线L的方程

t2

（t0）,

4t

t2

（I）议论L的凹凸性;

（II）过点（1,0）引L的切线，求切点（x0,y0），并写出切线的方程;

（III）求此切线与L（对应x

x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.

（22）（此题满分9分）

x3x4

已知非齐次线性方程组4x1

3x2

5x3

x4

1,有3个线性没关的解.

ax1

3x3

bx4

（I）证明此方程组系数矩阵

A的秩r（A）

2;

（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解.

（23）（此题满分9分）

A的各行元素之和均为

T

设3阶实对称矩阵

3,向量

11,2,1,2

0,1,1是线

性方程组Ax0的两个解.

（I）求A的特点值与特点向量;

（II）求正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ.

2006年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题分析

一、填空题

（1）【答案】y

5

【详解】

由水平渐近线的定义及无量小量的性质----“无量小量与有界函数的乘积是无量小

量”可知

limy

lim

0时

1为无量小量，sinx，cosx均为有界量.

故，y

是水平渐近线.

【答案】

3

【详解】按连续性定义，极限值等于函数值，故

sint2

sin（x2）

limf（x）

洛lim

x0

3x

注：

0

型不决式，能够采纳洛必达法例；

等价无量小量的替代

sinx2:

x2

（3）【答案】12

dx2

0（1x2）2

【答案】Cxe.

【详解】分别变量，

（1x）dx

（1

1）dx

1dxdx

lny

lnx

xc

elny

elnx

Cxe

【答案】e

【详解】题目观察由方程确立的隐函数在某一点处的导数.

在原方程中令x0y（0）1.

将方程两边对x求导得yeyxeyy，令x0得y（0）e

【答案】2

【详解】由已知条件BAB2E变形得，BA2EBB（AE）2E,两边取队列

式,得

B（A

E）

2E

4E4

此中，AE

2，2E22E4

2.

所以，B

E

A

二、选择题.

（7）【答案】A

方法1：

图示法.

因为f（x）0,则f（x）严格单一增添；

因为f（x）0,则f（x）是凹函数，又

Vx0，画f（x）x2的图形

y=f（x）y

联合图形剖析，就能够明显得出结论：

Vy.

方法2：

用两次拉格朗日中值定理

f（x0Vx）

f（x0）

（x0）Vx（前两项用拉氏定理）

f（

）Vx

（x0）Vx

（再用一次拉氏定理）

f（）（

x0）Vx,

此中x0

x0

Vx,x0

因为f

（x）0，进而Vy

0.

又因为dy

f（x0）Vx

0，应选[A]

方法3：

用拉格朗日余项一阶泰勒公式

.泰勒公式：

f（x）

f（x0）

f（x0）（x

x0）

（x0）（x

x0）2L

f（n）（x0）（xx0）n

Rn，

2!

n!

（n

1）

此中Rn

（x0）（xx0）n

.此时n取1代入，可得

（n

1）!

ydy

f（x0

f（x0）f（x0）x

1f（）（x）2

又由dy

f（x0）x

0，选（A）.

（8）【答案】（B）

赋值法

x,

特别选用f（x）

0，知足全部条件，则

f（t）dt

x.

它是连续的偶函数

.所以，选（B）

明显f（x）在随意区间

a,b

记

上可积，于是F（x）

f（t）dt到处连续，又

F（x）

s

tx

F（x）

f（t）dt

f（s）ds

即F（x）为偶函数.选（B）.

【答案】（C）

【详解】利用复合函数求导法

h（x）

e1g（x）两边对x求导

h（x）

g（x）e1g（x）

将x

1代入上式，12e1

g

（1）

g

（1）ln11ln21.应选（C）.

【答案】（C）

【详解】题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解，反求二阶常系数非齐次微分方程，分两

步进行，先求出二阶常系数齐次微分方程的形式，再由特解定常数项.

因为y

c2e2x

xex是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，

所以该方程对应的

齐次方程的特点根为1和-2，于是特点方程为

20，对应的齐次

（1）

（2）

微分方程为y

y-2y

所以不选（A）与（B），为了确立是（C）仍是（D），只需将特解y

xex代入方程左侧，

计算得（

）-2

3x

e，应选（D）.

【答案】（C）

【详解】记

4d

f（rcos

rsin

）rdr

f（x,y）dxdy，则地区D的极坐标表示是：

D

r

，0

.题目观察极坐标和直角坐标的互化问题，

画出积分区间，联合图形

能够看出，直角坐标的积分范围（注意

与

1在第一象限的交点是

2，2）），于是

D:

0y

2,y

所以，原式

f（x,y）dx.

所以选

（C）

【答案】D【详解】

化条件极值问题为一元函数极值问题。

已知

（x0,y0）0

，由

，在

邻域，可确立隐函数

y（x）

，

（x,y）0（x0,y0）

知足y（x0）

y0

。

dxx

（x0,y0）

是f（x,y）在条件（x,y）

0下的一个极值点

x0是

zzf（x,y（x））的极值点。

它的必需条件是

dz

f（x0,y0）f（x0,y0）dy

fx（x0,y0）fy（x0,y0）

x（x0

dxxx0

y（x0

xx0

若fx（x0,y0）

0，则fy（x0,y0）

，或x（x0,y0）

0，所以不选（A），（B）.

0）.所以选（D）

（不然

dxx

用拉格朗日乘子法.引入函数F（x,y,）f（x,y）（x,y），有

Fx

fx（x,y）

x（x,y）

Fy

fy（x,y）

y（x,y）

F

（x,y）

因为

y（x0,y0）0，所以

fy（x0,y0），代入

（1）得

y（x0,y0）

fx（x0,y0）

fy（x0,y0）x（x0,y0）

0，选（D）

（13）

【答案】A【详解】

方法

1：

若1,

2,L

s线性有关,则由线性有关定义存在不全为

0的数k1,k2,L,ks使得

k11

k22

Lkss0

为了获得A

1,A2,L,A

s的形式，用A左乘等式两边,

得

k1A1

k2A2LksAs0

①

于是存在不全为

0的数k1,k2,L

ks使得①建立，所以A1,A

2：

假如用秩来解,则更为简单了然.

只需熟习两个基天性质,它们是:

1.

2,L,s线性有关

r（1,2,L,s）s；

2.

r（AB）

r（B）.

矩阵（A1,A2,L,As）

A（

1,2,L,s）,设B（

1,2,L,s），则由

r（AB）

r（B）得r（A1,A2,L,A

s）

r（1,2,L,s）s.所以答案应当为（A）.

（14）

【答案】B

【详解】用初等矩阵在乘法中的作用（矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换）得出

将A的第2行加到第

1行得B，即B0

A记PA