六年级奥数不定方程与整数分拆讲座Word文档格式.docx

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1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?

【分析与解】设这个两位数为，则数字和为，这个数可以表达为

，有

即，亦即．

注意到和都是0到9的整数，且不能为0，因此只能为1、2、3或4，相应地的取值为2、4、6、8．

综上分析，满足题目条的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．

2．设A和B都是自然数，并且满足,那么A+B等于多少?

【分析与解】将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．

3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?

【分析与解】设购买甲级铅笔支，乙级铅笔支．

有7+3=0，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质求解的方法：

将系数与常数对3取模（系数7，3中，3最小）：

得=2（d3），所以可以取2，此时取12；

还可以取2+3=，此时取；

即、,对应为14、10

所以张明用角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．

4．有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?

【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、张和d张，

列方程如下：

由

（2）

（1）得③

注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．

将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：

剩余部分的管子最少是多少厘米?

【分析与解】24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．

另一方面，374=27×

12+4×

12+2，而36÷

12=3，24÷

12=2，有3×

9+2×

2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．

因此剩余部分的管子最少是2厘米．

6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?

【分析与解】设男职工人，孩子人，则女职工3-人（注意，为何设孩子数为人，而不是设女职工为人），

那么有=216，化简为=216，即=72．

有

但是，女职工人数为必须是自然数，所以只有时，满足．

那么男职工数只能为12名

7．一居民要装修房屋，买长07米和8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起，可以得到许多种长度的木条，例如：

7+7=14米，07+08=1米．那么在36米、38米、34米、39米、37米这种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【分析与解】设07米，08米两种木条分别，根，则07+08=34

36，…

即7+8=34，36，37，38，39

将系数，常数对7取模，有≡6，l，2，3，4（d7），于是最小分别取6,1,

2，3，4．

但是当取6时，8×

6=48超过34，无法取值．

所以34米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．

8小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?

【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．

所以，2分，10+2分应该为平信的邮费，最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．

于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．

9有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?

其中3克、克和7克的砝码各有几个?

【分析与解】为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷

7：

18

……4，所以3克、克的砝码应组合为4克，或4+7克重．

设3克的砝码个，克的砝码个，则．

当=0时，有，无自然数解；

当=1时，有，有=2，=1，此时7克的砝码取17个，所以共

需2+1+17=21个砝码，有3克、克和7克的砝码各2、1、17个．

当&

gt;

1时，7克的砝码取得较少，而3、克的砝码却取得较多，不是最少的取

砝码情形．

所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、克和7克的砝码各2、1、17个．

10．种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10商品，那么有多少种不同的选购方式?

【分析与解】设B、、D、E、A商品依次买了b、、d、e、（10-b--d-e）

，则有

=60．

=310，显然只能取0，1，2．

Ⅰ有=310，其中d可取0，1，2，3，4．

（1）当d=0时，有=310，将系数，常数对6取模得：

≡4（d6），于是最小取4，那么有18b=310-43×

4=138，b不为自然

数．所以d=0时。

不满足；

（2）有=233，将系数，常数对6取模得：

≡（d6）,于是最小,那么有18b=233-43×

=18,

；

（3）有=16，将系数，常数对6取模得：

≡（d6），于是最小取0，那么有18b=16，b不为自然数，所以d=2

时，不满足；

（4）有=79，将系数、常数对6取模得：

≡1（d6），于是最小那么有18b=79—43=36．

（）当d=4时，有=2，显然不满足．

Ⅱ有=190，其中d可以取0、1、2．

（1）有=190，将系数、常数对6取模有：

≡4（d6），于是最小那么有18b=190-43×

4=18,

（2）当d=1时，有=113，将系数、常数对6取模有：

≡（d6），于是最小取，即18+21=113，显然d=1时，不满足；

（3）

有=36,显然有时

Ⅲ

有=70，只能取0，

有=70，将系数、常数对6取模有：

≡4（rd6），于是最小取4，那么有18+172=70，显然不满足

最后可得到如下表的满足情况：

共有4种不同的选购方法．

11．有43位同学，他们身上带的钱从8分到角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种：

3分一张和分一张．每11人都尽量多买分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张?

【分析与解】钱数除以余0，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分的画片．因此，可将钱数8分至角2分这4种分为9组，每连续个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共买10×

9=90张，去掉角1分钱中买的2张3分画片，角2分中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90-2-4=84张．

12．哥德巴赫猜想是说：

“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1．

【分析与解】个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71．

其中168-11=17，168-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有

168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解．

13．

（1）将0分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?

（2）将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?

【分析与解】

（1）首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3++7+11+13+17+19+23+29，显然大于0．

所以，其中一定可以有某几个质数相等．

欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过0—2×

9=32，而不超过32的最大质数为31．

又有，所以满足条的最大质数为31．

（2）最大的质数必大于，否则10个质数的之和将不大于0．

所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7．

60÷

7=8……4，，而4=2+2，恰好有．即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．

14．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?

【分析与解】注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分（即1元），于是除了0分和100分外，其他98种币值就可以两两配对了，即

（1，99）；

（2，98）；

（3，97）；

（4，96）；

…；

（49，1）；

每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然0分和100分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，…，48分和49分这49种情况．

1分和3分的币值显然不能构成．

2分，4分，6分，…，46分，48分等2；

4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成．

分，7分，9分，…，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分,8分，…46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分．

综合以上分析，不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3分，97分，99分．

1．小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用3元买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把3元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?

【分析与解】如下表先枚举出所有可能的单价如表1．

再依次考虑：

首先，不能出现3的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完3元，所以含有7，，1的组合不可能．

然后，也不能出现3—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花3元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．

所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4=3这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．

1．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头平均每个和尚每天恰好吃1个馒头，问：

庙里至少有多少个和尚．

2．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；

晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了1天，它们并不是，每天早晚都见面，在这1天内它们共叫61声．问：

波斯猫至少叫了多少声?

3．《张邱建算经》百鸡问题：

今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一,百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?