初三数学旋转相似讲义文档格式.docx

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⑶、BD

OD

OB

tanOCD

tanOAB

AC

OC

OA

⑷、因为AC⊥BD于点E，那么，若连

AD、BC，则四边形ABCD对角线互相垂直，则

S

1ACBD

四边形ABCD

2

AD2

BC2

AB2

CD2

例题讲解

例1.已知△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF.

探究BF与CD间的数量关系；

（1）如图1，若∠ACB=90,

3

，求

BF

（2）如图2，若tan∠ACB=

的值；

4

CD

（3）如图3，若△ABC中AC=BC=a，将△DEF绕点O旋转，设直线

CD与直线BF交于点H，则SBCH最大值

为__________（用含a的式子表示）。

分析：

（1）连OC，OD，△OBF≌△OCD，BF=CD

B

E

O

D

F

AC

C

A

（2）构造手拉手旋转相似。

可证△OBC∽△OFD,△ODC∽△OFB

BF=

OB=tan1

∠ACB

tan∠ACB=3，求tan

1∠ACB的问题，必须

问题转化为已知

熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。

由右图提示可得tan1∠ACB=1；

23

（3）由

（2）△OBC∽△OFD,△ODC∽△OFB，蝴蝶形图易得∠CHB=∠COB=90°

；

又BC=a，定边定角，

点H在以BC为直径的圆上，易求SBCHmax

1

a

1a

1a2

例2.如图１，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，求证：

AG＝CE；

求DF的值

AG

如图2，证△ABG△CBE，∴AG=CE

如图2，连接BD，BF，DF，

易证BD

2，

DBC

FBE

45

，

BC

BE

∴∠DB=F∠CBE

∴△DBF~△CBE

∴DF

BD

CE

∵AG=CE

DF

变式：

如图3，正方形ABCD和EFGH中，O为BC，EF中点

（1）求证：

AH=DG;

（2）求AH的值。

CF

（1）连接OA,OH,OD,OG,

易证：

△AOH~△DOG

AHDG

（2）OEOB1,EHAB2

△ABO~△HEO,

AOBHOE,AOHBOE,

又

OE

OH

△OBE~△OAH,

AH

AO

5

BO

易证△

BOE

△

COF

BECF,

例3.如图，∠ACB＝∠DCE＝90°

，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°

，AC＝3，AE＝8，求AD的长。

连接BE，由基本图形易得

可证△

∽△

，＝

，∠

ACD

BCEAD

3BE

BAE＝90°

在Rt△

作，由勾股定理求得

＝10

ABE

则

＝

103

AD

练习1.如图，点A是△DBC内一点，AB23,BC8,ABC

600，DAC

1200，AD

AC,求BD

得长。

构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10.

练习2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°

，BC＝2AC，F、G分别为AC、BC的中点，将△CFG绕点C顺时针

旋转，直线AF与直线BG交于点I.

（1）求证：

AF⊥BG；

（2）当旋转角小于90°

时，求2AIBI的值；

CI

（3）若AC＝4，直接写出△ACI面积的最大值___________.

（3）需分析出I点轨迹，由A、C、I、B四点共圆可得∠AIC=∠ABC，又AC=4，定边定角得I轨迹为圆弧。

练习3．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A＝90°

，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将

△ADE绕点A逆时针旋转（旋转角不超过180°

），BD的延长线交直线CE于点P．

（1）如图2，BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________；

（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求CP的长；

（3）当点D落在BA的延长线上时，求点P所经过的路径的长．

BB

DD

CEACA

图1

（1）BD＝CEBD⊥CE

（2）∵BD⊥CE，AD⊥BD，∴∠ADP＝∠DPE＝90°

又∠DAE＝90°

，AD＝AE，∴四边形ADPE为正方形∵AB＝2AD＝4，∴PE＝AD＝2

∴CE＝BD＝AB2－AD2＝23

∴CP＝23－2

（3）取BC中点O，连接OA、OP

∵在旋转过程中，BD⊥CE，∴∠BPC＝90°

图2

CA

P

∴OP＝

2BC＝22

∴点P的运动路径是以

O为圆心、半径为

22的一段圆弧

即△ABC外接圆的一部分

则∠AOP＝2∠ABP

易知点D在以A为圆心、半径为

2的半圆上运动

PE

当BP与半圆A相切于点D时，∠ABP最大，从而∠AOP最大

∵AD＝2AB，∴∠ABP＝30°

，∴∠AOP＝60°

即当△ADE从初始位置旋转60°

时，点P沿圆弧从A点运动到∠AOP＝60°

当△ADE继续旋转，直至点D落在BA的延长线上时，∠ABP＝0°

，∠AOP＝0°

∴点P从∠AOP＝60°

处又回到A点

∴点P所经过的路径的长为：

2×

＝