最新高中数学函数知识点经典总结96956优秀名师资料Word文档格式.docx
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最新高中数学函数知识点经典总结96956优秀名师资料Word文档格式.docx
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0)在上单
(1,),,调递减,在上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上,也应该马上可以想到m,n实
际上就是方程的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”()()().,,,,“且”和“非”
若为真,当且仅当、均为真pqpq,
若为真,当且仅当、至少有一个为真pqpq,
若为真,当且仅当为假,pp
命题的四种形式及其相互关系是什么,
(互为逆否关系的命题是等价命题。
)
原命题与逆否命题同真、同假;
逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质(高考经常考)
A,{x|xB,{x|xp}q}满足条件,满足条件,
A_____B若;
则是的充分非必要条件;
pq
则是的必要非充分条件;
则是的充要条件;
___________若;
则是的既非充分又非必要条件;
7.对映射的概念了解吗,映射f:
A?
B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应
能构成映射,
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。
m注意映射个数的求法。
如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有n个。
A,{1,2,3,4}B,{a,b,c}ABBAAB如:
若,;
问:
到的映射有个,到的映射有个;
到的函数
A,{1,2,3}AB有个,若,则到的一一映射有个。
y,,(x)函数的图象与直线交点的个数为个。
x,a
8.函数的三要素是什么,如何比较两个函数是否相同,
(定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:
?
表达式相同;
定义域一致(两点必须同时具备)
9.求函数的定义域有哪些常见类型,
xx4,,,(答:
,,,)022334:
例:
函数的定义域是y,,,,,,,2lgx,3,,
函数定义域求法:
分式中的分母不为零;
偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底
数大于零且不等于一,真数大于零。
,,y,tanxxR,且xk,,k,,,,,,正切函数,,2,,
y,cotx,余切函数,,x,R,且x,k,,k,,,反三角函数的定义域
函数y,arcsinx的定义域是[,1,1],值域是,函数y,arccosx的定义域是[,1,1],值域是[0,π],
函数y,arctgx的定义域是R,值域是.,函数y,arcctgx的定义域是R,值域是(0,π).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得
到函数的定义域。
10.如何求复合函数的定义域,
如:
函数的定义域是,,,则函数的定fxabbaF(xfxfx())()(),,,,,,0,,
(答:
,)aa,义域是_____________。
,
y,f(x)m,g(x),n复合函数定义域的求法:
已知的定义域为,求的定义域,可由解出x的,,,,m,ny,fg(x)范围,即为的定义域。
,y,fg(x)
1,,y,f(x)例若函数的定义域为,2,则的定义域为。
f(logx)2,,2,,
111,,y,f(x),2分析:
由函数的定义域为可知:
;
所以中有。
x,2y,f(logx),logx,222,,222,,
1解:
依题意知:
logx,222
解之,得2,x,4
的定义域为,,x|2,x,4f(logx)2
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
1例求函数y=的值域x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2x例、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不
必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
bay.,型:
直接用不等式性质2k+x
bxb.y,型,先化简,再用均值不等式2xmxn,,
x11例:
y,,,2121+xx+x
2,,xmxn,,cy..,型通常用判别式2xmxn,,
2xmxn,,d.y,型xn,
法一:
用判别式
法二:
用换元法,把分母替换掉
22xx1,,,(x+1)(x+1)+11例:
y,,,,,,,,(x+1)1211x1x1x1,,,
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x,4例求函数y=值域。
5x,6
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三
角函数的单调性。
xe,12sin1,,2sin1,,例求函数y=,,的值域。
y,y,xe,11sin,1cos,,,
xey,,11xye,,,,0x1,ye,1
2sin11,,y,y,,,,|sin|||1,,1sin2,,y,
2sin1,,yy,,,,,2sin1(1cos),,1cos,,
2sincos1,,,yy,,
1,y24sin()1,sin(),,,,,,yxyx即,,24,y
1,y又由知sin()11,,,x2,4,y
解不等式,求出,就是要求的答案y
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
x,5,例求函数y=(2?
x?
10)的值域x,1log23
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+的值域。
x,1
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
22例:
已知点P(x.y)在圆x+y=1上,
y
(1)的取值范围x,2
(2)y-2x的取值范围
y解:
(1)令则是一条过,,,kykx,
(2),(-2,0)的直线.x,2
d,Rd(为圆心到直线的距离,R为半径)
(2)令y-2xbyxbR,,,,,,20,即也是直线dd
22例求函数y=+的值域。
(x,2)(x,8)
解:
原函数可化简得:
y=?
x-2?
+?
x+8?
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A
(2),B(-8)间的距离之和。
由上图可知:
当点P在线段AB上时,
=?
AB?
=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
?
故所求函数的值域为:
[10,+?
22例求函数y=+的值域,6x,13,4x,5xx
2222解:
原函数可变形为:
y=,,+(x,3)(0,2)(x,2)(0,1)
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,
22,由图可知当点P为线段与x轴的交点时,y=?
==,43(3,2)(2,1)min故所求函数的值域为[,+?
)。
43
注:
求两距离之和时,要将函数
9、不等式法
,利用基本不等式a+b?
2,a+b+c?
3(a,b,c?
),求函数的最值,其题型特征解析式是和式3abcabR时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例:
22x,,x(0)x
2x(3-2x)(0<
x<
1.5)1111322=xx,,,,,,333xx+3-2x,xxxx()1=xx(3-2x),,,,33(应用公式a+b+c,abc时,注意使者的乘积变成常数)33
3abc,,()(应用公式abc,时,应注意使3者之和变成常数)3
倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
x,2例求函数y=的值域x,3
x,2y,x,3
x,,20时,
12111x,,,,,,,,,,xy220y2xx,,22
xy,,20时,=0
1?
,0y2
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑
直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗,
切记:
做题,特别是做大题时,一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,
与到手的满分失之交臂
x如:
,求fxexfx,,,1().,,
令,则txt,,,10
2?
xt,,1
2t,12?
ftet(),,,1
2x,12?
fxexx(),,,,10,,
13.反函数存在的条件是什么,
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗,
(?
反解x;
互换x、y;
注明定义域)
10,,xx,,,,如:
求函数的反函数fx(),,2,,xx0,,,,
xx,,,11,,,,1(答:
)fx,(),,,,xx0,,,,
在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题:
(2004.全国理)函数的反函数是(B)y,x,1,1(x,1)
22A(y=x,2x+2(x<
1)B(y=x,2x+2(x?
1)
22C(y=x,2x(x<
1)D(y=x,2x(x?
当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想,一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案还是可以做出来的。
可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。
下面请看一下我的思路:
原函数定义域为x〉=1,那反函数值域也为y>
=1.排除选项C,D.现在看值域。
原函数至于为y>
=1,则反函数定义域为x>
=1,答案为B.
我题目已经做完了,好像没有动笔(除非你拿来写*书)。
思路能不能明白呢,
14.反函数的性质有哪些,
反函数性质:
1、反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)2、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称
互为反函数的图象关于直线y,x对称;
保存了原来函数的单调性、奇函数性;
1?
设的定义域为,值域为,,,则yf(x)ACaAbCf(a)=bf,,,,,()ba
,,111?
,,,ffafbaffbfab()()()(),,,,,
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如
4,1(04.上海春季高考)已知函数,则方程的解__________.f(x),4f(x),log(,2)x,3x
15.如何用定义证明函数的单调性,
(取值、作差、判正负)
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x,x,找出f(x),f(x)之间的大小关系1212
fxfx()(),fx()121可以变形为求的正负号或者与1的关系fx()xx,122
(2)参照图象:
若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性;
(特例:
奇函数)
若函数f(x)的图象关于直线x,a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。
(特例:
偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
函数f(x)与f(x),c(c是常数)是同向变化的
函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c,0时,它们是同向变化的;
当c,0时,它们是反向变化的。
?
如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x),f2(x)和它们同向变化;
(函数相加)?
如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;
如果负值函数f1
(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;
(函数相乘)
1?
函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。
fx()
若函数u,φ(x),x[α,β]与函数y,F(u),u?
[φ(α),φ(β)]或u?
[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y,F[φ(x)]是递增的;
若函数u,φ(x),x[α,β]与函数y,F(u),u?
[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y,F[φ(x)]是递减的。
(同增异减)
1?
若函数y,f(x)是严格单调的,则其反函数x,f(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。
f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)
都是正
数
增增增增增
增减减//
2减增减//如:
求的单调区间yxx,,,log2,,1
2减减增减减
2(设,由则uxxux,,,,,,2002
2且,,如图:
loguux,,,,,11,,1
2
u
O12x
当,时,,又,?
xuuy,,,,(]log011
xuuy,,,,[)log121
„„)
16.如何利用导数判断函数的单调性,
在区间,内,若总有则为增函数。
(在个别点上导数等于abfxfx'
()(),0,,
零,不影响函数的单调性),反之也对,若呢,fx'
(),0
3如:
已知,函数在,上是单调增函数,则的最大afxxaxa,,,,,01(),,
值是()
A.0B.1C.2D.3
,,,aa2(令fxxax'
(),,,,33x,,0,,,,33,,,,
aa则或x,,,x33
a由已知在,上为增函数,则,即fx()[)1,,,,13a3
a的最大值为3)
17.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么,
(f(x)定义域关于原点对称)
若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx()()(),,,,,
若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxfxfxy()()(),,,,
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;
两个偶函数的乘积是偶函数;
一个偶函数与奇函数的乘积
是奇函数。
()若是奇函数且定义域中有原点,则。
2f(x)f(0)0,
xaa?
22,,如:
若fx(),为奇函数,则实数a,x21,
为奇函数,,又,?
fxxRRf()(),,,000
0aa?
22,,即01,?
)a,,021,
x2又如:
为定义在,上的奇函数,当,时,,fxxfx()()()(),,,1101x41,求在,上的解析式。
fx(),11,,
x2(令,,则,,xxfx,,,,,,1001(),,,,,x41,
xx22又为奇函数,?
fxfx()(),,,,,xx,,4114
xx,,()10,,2,,xx,041,,又,?
ffx()()00,,),x2,x,01,,,x,41,,
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
若函数的定义域不关于一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.
原点对称,则函数为非奇非偶函数.
二、奇偶函数定义法
f(,x)在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x)=0奇函数
f(x)-f(-x)=0偶函数
f(x),1偶函数f(-x)
f(x),,1奇函数f(-x)
三、复合函数奇偶性
f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)
奇奇奇奇偶
奇偶偶非奇非奇
偶
偶奇偶非奇非奇
18.你熟悉周期函数的定义偶偶偶偶偶
吗,
(若存在实数(),在定义域内总有,则为周期TTfxTfxfx,,,0()(),,
函数,T是一个周期。
若,则fxafx,,,(),,
是周期函数,为的一个周期)fxTafx()(),2
我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:
告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期2t.推
fxfxt()()0,,,,,,,,fxfxt()
(2),导:
fxtfxt()
(2)0,,,,,
同时可能也会遇到这种样子:
f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:
函数f(x)关于直线对称,
对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a
对称。
又如:
若图象有两条对称轴,fxxaxb(),,
即,faxfaxfbxfbx()()()(),,,,,,
fxfax()
(2),,,,,,,,,,,faxfbx
(2)
(2),,fxfbx()
(2),,,,
令则taxbxtbaftftba,,,,,,,,,2,222,()(22)
即fxfxba()(22),,,
所以函数以为周期因不知道的大小关系,()2||(,,fxbaab,
为保守起见我加了一个绝对值,
19.你掌握常用的图象变换了吗,
fxfxy()()与的图象关于轴对称,联想点(x,y),(-x,y)
fxfxx()()与的图象关于轴对称,联想点(x,y),(x,-y)
fxfx()()与的图象关于原点对称,,联想点(x,y),(-x,-y)
1fxfxyx()()与的图象关于直线对称,联想点(x,y),(y,x)
fxfaxxa()()与的图象关于直线对称2,,联想点(x,y),(2a-x,y)
fxfaxa()()()与的图象关于点,对称,,20联想点(x,y),(2a-x,0)
yfxa,,()左移个单位aa(),0将图象yfx,(),,,,,,,,,,yfxa,,()右移个单位aa(),0
yfxab,,,()上移个单位bb(),0,,,,,,,,,,yfxab,,,()下移个单位bb(),0
(这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我还是写出来吧。
对于这种题目,其实根本不用这么
麻烦。
你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。
看点和原点的关系,就
可以很直观的看出函数平移的轨迹了。
注意如下“翻折”变换:
fxfx()|()|x,,,把轴下方的图像翻到上面
fxfx()(||)y,,,把轴右方的图像翻到上面
fxx()log,,1,,2
作出及的图象yxyx,,,,loglog11,,22
y
xy=log2
O1x
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗,
(k<
0)y(k>
0)
y=b
O’(a,b)
Ox
x=a
(k为斜率,b为直线与y轴的交点)()一次函数:
10ykxbk,,,,,
kk()反比例函数:
推广为是中心,200y,,,,kybkOab,'
(),,,,xxa,的双曲线。
22b4acb,,,2()二次函数图象为抛物线30yaxbxcaax,,,,,,,,,,,,,2a4a
2,,b4acb,b顶点坐标为,,对称轴,x,,,,2a42aa,,
24acb,开口方向:
,向上,函数ay,,0min4a
24acb,ay,,0,向下,max4a
,b根的关系:
x,2a
bcxxxxxx,,,,,,,,,||121212aaa||
二次函数的几种表达形式:
2fxaxbxc()(),,,一般式
2fxaxmn()()(mn,,,顶点式,(,)为顶点
fxaxxxxxx()()()(,2,,,是方程的个根)1212
fxaxxxxhxhxh()()()(,)(,),,,,函数经过点(1212
应用:
“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
22axbxcxxyaxbxcx,,,,,,,00,时,两根、为二次函数的图象与轴,12
2的两个交点,也是二次不等式解集的端点值。
axbxc,,,,00()
求闭区间,m,n,上的最值。
b区间在对称轴左边()nffmffn,,,,max(),min()2a
b区间在对称轴右边()mffnffm,,,,max(),min()2a
b区间在对称轴边2()nm,,,2a
24cb,afffmfnmin,maxmax((),()),,4a
也可以比较和对称轴的关系,距离越远,值越大m,n
(只讨论的情况)a,0
求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
一
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