9矩阵位移法习题解答重庆大学文国治版教材课后答案Word文档格式.docx
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习题9.4根据结构刚度矩阵元素的物理意义,直接求出习题
9.4图所示刚架结构刚度矩阵中的
元素kn、
k21、k32的值。
各杆
E、
l
x
【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.4图所示。
kn
12EIEA
k21=0,
kii
1
习题解9.4图
理意义。
3
9.5图所示。
习题9.5图
(a)kii和k2i的物理意义
【解】各刚度系数的物理意义如习题解
习题9.5用简图表示习题9.5图所示刚架的单元刚度矩阵
K⑵中元素
K⑴中元素
的物
(a)k23)的物理意义
(b)k44)的物理意义
$
門1
屮2
1c
'
①
—
(b)k32的物理意义
习题解9.5图
习题9.6习题9.6图所示刚架各单元杆长为I,EA、EI为常数。
根据单元刚度矩阵元素的物理
意义,写出单元刚度矩阵K
(1)、K⑵的第3列和第5列元素。
习题9.6图
K
(1)中第5列元素:
12EI6EI
0罕卑
I3I2
K
(1)中第3列元素:
6EI2EI
4EI
6EI
2EIT
-120
T
00
EA小
K⑵中第3列元素:
岁0
K⑵中第5列元素:
0-岂
习题解9.6图
习题9.7用先处理法,对习题9.7图所示结构进行单元编号、结点编号和结点位移分量编码,
并写出各单元的定位向量。
习题9.7图
=100234T,芒=567009T
习题解9.7图
本题可有多种离散化方法,因此上述答案不是唯一的正确答案。
习题9.8用先处理法形成习题9.8图所示结构的综合结点荷载列阵。
【解】离散化如习题解9.8图所示。
非结点荷载引起的单元固端力为
各单元的等效结点荷载列阵为
(2)兀T
4
5
6
7
8
PF—T乍P2)
F
(2)
--Fp二
:
1.0
12
打
(3)
AT
9
pE3)—T乍P3)
■-Fp二
4.5
-4.5r
集成为结构的等效结点荷载列阵
Pe-1.000128021-3.59T
直接结点荷载列阵为
Pd-10-50400000[
综合结点荷载列阵为
PPe-0-50168021-3.59f
习题9.9用先处理法求习题
9.9图所示连续梁的结构刚度矩阵和结构的综合结点荷载列阵。
已
知:
El=2.4104kNm2。
8kN8kN
5kNm6kN/m
IE24
El1El3]El14
4m2m2m2m.5m
习题9.9图
【解】离散化如习题解9.9图所示。
本题无需坐标转换。
Pe⑵
=10.67
-10.67F
PE3)=fl2.5
-12.5T
Pe=
1.010.67
1.8312.5F
P=PjPe-500oh:
;
Pe-〔510.671.8312.5T
2/52
K⑶二El1
1/22
K⑷二El1
1/2
10
4/53
||1/2
所以本题只涉及转角位移未知量,
【解】离散化如习题解9.10图所示。
因为不计各杆轴向变形,无需坐标转换。
各单元的单刚为
122
⑴4/52/51⑵4/5
K⑴=EIK⑵=EI
2/54/5-2,2/5
集成即可得到结构刚度矩阵
2/5
01
0]
13/5
=105
13
2|
9/5
9」
4/5
K=El2/5
_0
习题9.11用先处理法建立习题9.11图所示结构的矩阵位移法方程。
已知:
各杆EA=4105kN,
El=5104kNm2。
【解】1)离散化如习题解9.11(a)图所示。
2)计算结构刚度矩阵
各单元单刚分别为:
单元①
单元②
"
10.00
:
-J10.00
0.9375
1.875
-0.9375
5.000
4875
2.500
110.00
一_0…
_0…
r'
Y0"
dd"
…6「
一飞-一
-J.875
i0
-1.875
K⑵=K⑵=104
单元③
集成为总刚
-
「2.222
-2.222
3.333
24.27
-10.00
13.16
-1.458
K=104
L.875
4458
16.67
L0.00
2)计算综合结点荷载列阵
除可以按照习题做法如下:
9.8的方法计算外,还可以直接根据其物理意义形成综合结点荷载列阵。
具体
将原结构上各结点位移未知量利用附加约束限制住后,施以原结构所受荷载。
这一过程可理解
成在矩阵位移法(先处理法)的基本结构上,作用外荷载,形成如习题解9.11(b)图所示的矩阵位移
法基本体系。
由此,可得各附加约束上的反力为
EI=4.8104kNm2。
m
SW-
I5m
习题9.12图
【解】离散化如习题解9.12图所示。
各单元单刚分别为
2(2,3,4)
1(0,1,0)b
3(0,0,0)
Or
习题解
9.12图
6.400
K⑴=K⑴=104
-6.400
0.9000
(2)T
(2)4
KTKT=10
—1.800
0;
0.4608
1.152:
-0.4608
1.152
3.840:
-1.152
1.920
…0一一
6.40d_
一一6一一
L.152;
i
1.920i
3.84
I0
-1.800
-0.90000
—1.8001
8.000
-8.000
4.800
1.800
2.400
1.800:
-0.9000
2.400|
_0.4608
-1.1521
K=10
7.300
8.461
8.640
习题9.13用先处理法计算习题
9.13
图所示组合结构的刚度矩阵
K。
已知:
梁杆单元的
54
EA=3.210kN,EI=4.810kNm
链杆单元的EA=2.4105kN。
A
习题9.13图
【解】离散化如习题解9.13图所示。
这里利用一般单元来计算链杆单元③,令其
EI为零,则
该单元的杆端转角为无意义的杆端位移,可为任意值。
单元③的杆端位移编码如习题解
9.13图所示,
其杆端转角在结点4处为“0”,
表示无杆端转角;
在结点2处为
3”
表示与单元①和②在该端的
转角相同。
点位移分量统一编码应给为“
单元①和②
K⑴二K⑵二K
(1)=104
(3)T(3)
扎
九⑵
.1
0.900
-0.900
L.800
!
一3.072
2.304
七.072
-2.304
01
1.728
=-2.304
-1.728
=0
-3.072
3.072
■
-0
0一
一19.07
3.528
9.600
有多少个?
23
4需
习题9.14图
3(4,5,6)
1(0,0,0)
fy
©
7(0,0,0)
【解】离散化如习题解9.14图所示,则各单元定位向量为
5(8,9,10)
4(4,5,7)
2(1,2,3)2P
习题解9.14图
•⑴=[1230
00]T,•⑵=[12
3456]T,■(3)=[8910457]丁
•⑷=[4570
00]T,'
(5)二[89
100011]T
根据单元定位向量,
判定各结点位移分量间的相关性。
这里参考【例
10.2】的方法,具体为:
位移分量1~3、6均与位移分量7~11无关,得到无关分量20对;
位移分量4、
5、7与位移分量11
无关,得到无关分量3对;
合计无关分量共23对。
说明K上半三角中,至少有
23个元素为零,因
此整个K中至少应有46个零元素。
习题9.15试用矩阵位移法计算习题9.15图所示连续梁,并画出弯矩图。
20kNI
EI=常数。
yiA
6kN/m
1川川川_T
BJCD
4m2m2m
4m
习题9.15图
【解】1)离散化如习题解9.15(a)图所示。
连续梁无需坐标转换。
3
(2)4(0)
1(0)2
(1)
10.8
(b)M图(kN-m)
13.2
3.6
(a)离散化
习题解9.15图
2)计算总刚
各单元刚度矩阵为
K⑴=EI『
1/2]
0K⑵=EI
I
1/2]1
K⑶=EII1
1/2]2
1/2
1,
12
■?
■21/2]
K二EI
||1/22
3)计算综合结点荷载列阵
按照习题9.11中综合结点荷载列阵的解法,在2、3两结点上附加刚臂,易求得
FP-FpiFp2【m8-10T
因此,综合结点荷载列阵为
P--FP-丨-810T
4)解结构刚度方程K=P,得
11-5.66.4fEl
5)求单元杆端力
根据F―K…乍二得
(2)
【解】1)离散化如习题解9.16(a)图所示。
(c)Fq图(kN)
9.16图
单元①无需坐标转换,其单元刚度矩阵为
单元②的坐标转换矩阵为
120
•20
1.125
2.25
V
-1.125
r
-2.25
-120
4125
-2.25J
「0.8
-0.6
0.6
0.8
05
1=
0:
0-
K
(1)=K
(1)=104
T
(2)
10
则其刚度矩阵为
61.65
-45.8
0.864:
-61.65
45.8
0.864
34.93
—34.93
4.8
-0.864
2.4
-0.864:
-34.93
7.152:
「0.864
2.4:
K⑵=TTK⑵T=104
K=104
181.6
.45.8
_45.8
36.05
-3.402
pE1)
扎T
=-FP1}-1016
10.670
16
■T
-10.67]
集成得结构的等效结点荷载列阵
16-10.67f
p=PEP^PE讨0
50f-1021
-10.67T
1.8513
7.4810-7.3719『
根据Fe=Te(K\'
.e)-Fpe,得
F⑴二K(1\-
(1)-F『=104
—120
-2.250
■01
-22.22]
—16
78.50
°
+
70.67
74.56
22.22
7.4810
T3.50
-7.3719_
3'
10.67_
-必6一
10占
单元①定位向量
0.8-0.60000
0.60.80:
000
001I000
・M・4■■・■・・■■・■m・・m■・■■・=・■■■・■■KBI
000:
0.8-0.60
-128.87-1.47-2.79-28.871.47-4.56T
6)绘内力图,如习题解9.16(b)~(d)图所示。
习题9.17用矩阵位移法计算习题9.17图所示平面桁架的内力。
e=3107kN/m2,各杆
A=0.1m。
【解】1)离散化如习题解9.17(a)图所示。
单元①和②无需坐标转换,
>
.5
-7.5
「7.5
—7.5
-■・・-・・・
■■■・u.
■・■■■・,
K⑵=K⑵=105
--
4.B|B・■“■■・・■■■■
-7.5
7.5
1,
.0
0」
其结构坐标系中的单刚分别为
K⑴二K
(1)=105
单兀③的〉=nrad
,结构坐标系中的单刚为
KTKT二10
■0
0:
0
1丨0
“l.・
0;
一仁0
_1
单元④的〉=0.6435rad,结构坐标系中的单刚为
一3.84
2.88丨
」.84
-2.881
2.88
2.161
-2.88
-2.16
C3.84
-2.88i
-2.16!
2.16
(4)T(4)5
单元⑤的:
--0.6435rad,结构坐标系中的单刚为
集成总刚为
11.34
12.16
-10
12.16_
P=Pj-80020F
•:
=10'
2.55747.2919-2.06498.1304T
根据F°
=Te(KJe),可求得各单元的杆端轴力。
这里以单元⑤为例,其杆端轴力为
001
F(5)二T(5)(K(5)J5〉)二0.8_°
.6
-2.88-3.84
2.162.88
2.883.84
0.8-0.6
单元⑤定位向量
-3.84
I[2.88
-2.16-2.882.16
2.5574
-7.2919一2/
二13.98
-13.98
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