湖南师大附中高二期中考试数学理试题和答案.docx

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湖南师大附中高二期中考试数学理试题和答案

湖南师大附中2015届高二第二学期期中考试试题

数学（理科）

满分：

100分（必考试卷Ⅰ）　　　　50分（必考试卷Ⅱ）

时量：

120分钟

得分：

______________

必考试卷Ⅰ

一、选择题：

本大题共7小题，每小题5分，共35分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M＝，N＝{y|y＝x2＋1}，则M∩N＝

A．[1，2）B．（1，2）

C．（2，＋∞）D．∅

2．函数f（x）＝的定义域为

A．（3，4）B．（3，4]

C．（－∞，4]D．[4，＋∞）

3．若定义在R上的函数f（x）＝＋x2，则它能取到的最大值为

A．2B．4C．2D．2－1

4．已知随机变量ξ～N（1，σ2），且P（ξ<2）＝0.8，则P（0<ξ<1）＝

A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2

5．函数f（x）＝x2－ax＋2在（2，＋∞）上单调递增，则a的取值范围为

A．[2，＋∞）B．[4，＋∞）

C．（－∞，4]D．（－∞，－4]

6．在对人们休闲方式的一次调查中，得到数据如下表：

　　　　休闲方式

性别　　　　　

看电视

运动

合计

女

43

27

70

男

21

33

54

合计

64

60

124

为了检验休闲方式是否与性别有关系，根据表中数据得：

k＝≈6.201.

P（K2≥k0）

0.05

0.025

0.010

k0

3.841

5.024

6.635

给出下列命题：

①至少有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关．

②最多有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关．

③在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为休闲方式与性别有关系．

④在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为休闲方式与性别无关．

其中的真命题是

A．①③B．①④C．②③D．②④

7．已知函数f（x）在[0，＋∞）上有定义，对给定的实数K，我们定义函数fK（x）＝若f（x）＝2－x－x2，对任意x∈[0，＋∞），恒有fK（x）＝f（x），则

A．K的最大值为B．K的最小值为

C．K的最大值为2D．K的最小值为2

选择题答题卡

题号

1

2

3

4

5

6

7

得　分

答案

二、填空题：

本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．

8．已知集合A＝{x|ax－1＝0，x∈R}，B＝{1，2}，A∪B＝B，则a＝________．

9．某班有4位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，则最多1名同学遇到红灯的概率是____________．

10．已知函数f（x）＝log2（2x2＋mx－1）在区间（1，＋∞）上单调递增，则实数m的取值范围为______________．

11．某商场根据连续5周的市场调研，对某商品的销售量x（千克）与价格y（元∕千克）统计数据（如表所示）表明：

二者负相关，其回归方程为＝－2x＋80，则统计表格中的实数a＝____________.

周次

1

2

3

4

5

销售量x

18

19

18

22

23

价格y

45

43

a

35

33

12.已知R上的偶函数f（x）满足对任意x∈R，f（x＋2）＝，且当x∈（0，1）时，f（x）＝2－x，则f＝________．

13．对任意实数组x1，x2，…，xn，记它们中最小的数为f（x1，x2，…，xn），给出下述结论：

①函数y＝f（4x，2－3x）的图象为一条直线；

②函数y＝f（x，2－x）的最大值等于1；

③函数y＝f（x2＋2x，x2－2x）一定为偶函数；

④对a>0，b>0，f的最大值为.

其中，正确命题的序号有______________．

三、解答题：

本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

14．（本小题满分11分）

已知A盒中有2个红球和2个黑球；B盒中有2个红球和3个黑球，现从A盒与B盒中各取一个球出来再放入对方盒中．

（1）求A盒中有2个红球的概率；

（2）求A盒中红球数ξ的分布列及数学期望．

15.（本小题满分12分）

已知A＝，B＝.

（1）试用区间集表示集合B；

（2）若B⊆∁RA，试求实数m的取值范围．

16.（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝ln为奇函数，其中a为实常数．

（1）求实数a的值；

（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明．

必考试卷Ⅱ

一、选择题：

本大题共1个小题，每小题5分，满分5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．随机变量ξ的分布列如下：

ξ

0

1

2

P

a

b

c

其中a，b，c成等差数列，则函数f（x）＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为

A.B.

C.D.

二、填空题：

本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．

2．若函数y＝的图象与函数y＝ax－3a的图象有两个不同的交点，则实数a的取值范围为________．

三、解答题：

本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

3．（本小题满分13分）

已知幂函数f（x）＝x－m2＋m＋2（m∈Z）在（0，＋∞）上单调递增．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设g（x）＝f（x）－ax＋1，a为实常数，求g（x）在区间[－1，1]上的最小值．

4.（本小题满分13分）

已知函数f（x）＝x2＋在（0，＋∞）上单调递增．

（1）求实数a的取值范围；

（2）讨论方程f（x）＝x的根的个数．

5.（本小题满分14分）

已知f（x）＝

（1）若存在实数x0，使得f（x0）≤m，求m的取值范围；

（2）若x1≠x2且f（x1）＝f（x2），求证：

x1＋x2<0.

湖南师大附中2015届高二第二学期期中考试试题数学（理科）参考答案－

湖南师大附中2015届高二第二学期期中考试试题

数学（理科）参考答案

必考试卷Ⅰ

高考资源网

一、选择题

1．A　【解析】M＝（0，2），N＝[1，＋∞），∴M∩N＝[1，2）．选A.

2．B　【解析】⇒⇒3

3．D　【解析】f（x）＝＋x2＝＋x2＋1－1≥2－1＝2－1，当且仅当x2＋1＝时取等号，故选D.

4．C　【解析】P（0<ξ<1）＝P（0<ξ<2）＝[1－2P（ξ>2）]＝（1－2×0.2）＝0.3.选C.

5．C　【解析】需对称轴在（2，＋∞）的左端，即≤2，故选C.

6．A　【解析】∵k＝6.201≥5.024，∴①③正确．选A.

7．D　【解析】由于当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝2－x－x2的值域为（－∞，2]，则知当K≥2时，恒有fK（x）＝f（x）．

二、填空题

8．0，，1　【解析】∵A∪B＝B，∴A⊆B

当a＝0时，A＝∅，符合题意；

当a≠0时，A＝，由A⊆B得＝1或＝2，

∴a＝1或.综上，a＝0，1，.

9.　【解析】P＝＋C41··＝.

10.　【解析】⇒m≥－1.

11．44　【解析】由表格数据知＝20，将其代入回归方程可示得＝40，于是a＝44.

12.　【解析】由已知f（x＋4）＝＝f（x），即函数的周期为4，结合已知条件可得f＝f＝f＝f＝.

13．②③④　【解析】画图即知①是错误的；对②、③分别作出相应函数的图象即知命题正确；对④，f≤≤＝，当且仅当a＝b＝，即a＝b＝时取等号，故④也正确．

三、解答题

14．【解析】

（1）A盒与B盒中各取一个球出来再放入对方盒中后，A盒中还有2个红球有下面两种情况：

①互换的是红球，将该事件记为A1，

则：

P（A1）＝＝；

②互换的是黑球，将该事件记为A2，

则：

P（A2）＝＝；

故A盒中有2个红球的概率为P＝P（A1）＋P（A2）＝＋＝；

（2）A盒中红球数ξ的所有可能取值为1，2，3.

而P（ξ＝1）＝＝；P（ξ＝2）＝；P（ξ＝3）＝＝

因而ξ的分布列为：

ξ

1

2

3

P

∴Eξ＝×1＋×2＋×3＝.

15．【解析】

（1）将y2－（m2＋m－1）y＋m3－m2<0变形得

<0，

而对任意实数m，有m2>m－1，故集合B＝；

（2）由21＋<1可得<0，解得1

则∁RA＝（－∞，1]∪[3，＋∞），

于是B⊆∁RA即可化为m2≤1或m－1≥3，

即m∈∪.

16．【解析】

（1）由f（x）＝ln知>0，

故（x＋a）（x－1）<0

因为f（x）为奇函数，定义域关于原点对称，

所以a＝1，

此时x∈（－1，1），f（－x）＝ln＝ln

＝－ln＝－f（x），故a＝1符合题意．

（2）f（x）在（－1，1）上单调递增．

证明：

设－1＜x1＜x2＜1，

f（x1）－f（x2）＝ln－ln＝ln

＝ln

因为－1＜x1＜x2＜1，所以（1＋x1）（1－x2）>0，（1－x1）（1＋x2）>0，x1－x2<0

所以0<<1，

故ln<0，即f（x1）－f（x2）<0，

所以f（x）在（－1，1）上单调递增．

必考试卷Ⅱ

一、选择题

1．B　【解析】⇒b＝

由f（x）有且只有一个零点得Δ＝0，即4－4ξ＝0，∴ξ＝1，

∴P（ξ＝1）＝.

二、填空题

2．（－∞，0）　【解析】作出两函数图象即知需a<0.

三、解答题

3．【解析】

（1）因为幂函数f（x）＝x－m2＋m＋2在（0，＋∞）上单调递增，

所以－m2＋m＋2>0，

故－1

又因为m∈Z，

故m＝0或1，

所以f（x）＝x2.

（2）由

（1）知g（x）＝x2－ax＋1，

①若≤－1，即a≤－2时，g（x）在[－1，1]上单调递增，

所以g（x）min＝g（－1）＝a＋2；

②若－1<≤1，即－2

g（x）在上单调递减，上单调递增，

所以g（x）min＝g＝1－；

③若>1，即a>2时，g（x）在[－1，1]上单调递减，

所以g（x）min＝g

（1）＝2－a.

综上：

a≤－2时，g（x）在区间[－1，1]上的最小值为a＋2；

－2

a>2时，g（x）在区间[－1，1]上的最小值为2－a.

4．【解析】

（1）①若a＝0，则f（x）＝x2，满足f（x）在（0，＋∞）上单调递增；

②若a＜0，因为x2在（0，＋∞）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递增，故f（x）在（0，＋∞）上单调递增；

③若a＞0，x在（0，＋∞）上趋近于0时，f（x）趋近﹢∞，而f

（1）＝1＋a，与f（x）在（0，＋∞）上单调递增矛盾．

综上知：

a的取值范围为（－∞，0]．

（2）方程f（x）＝x即＝0，

由

（1）知a≤0，当a＝0时，方程有唯一实数根x＝1；

当a＜0时，＝0等价于a＝－x3＋x2，（x≠0）

当x<0时，－x3＋x2>0，故a＝－x3＋x2无解；

当0

当x＞1时，令g（x）＝－x3＋x2，设1＜x1＜x2，

g（x1）－g（x2）＝－x13＋x12＋x23－x22

＝－（x1－x2）（x12＋x1x2＋x22）＋（x1－x2）（x1＋x2）

＝－（x1－x2）（x12＋x1x2＋x2