届一轮复习北师大版 13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词 学案Word文档格式.docx

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浙江）命题“任意n∈N＋，f（n）∈N＋且f（n）≤n”的否定形式是（　　）

A.任意n∈N＋，f（n）∉N＋且f（n）＞n

B.任意n∈N＋，f（n）∉N＋或f（n）＞n

C.存在n0∈N＋，f（n0）∉N＋且f（n0）＞n0

D.存在n0∈N＋，f（n0）∉N＋或f（n0）＞n0

答案　D

解析　写全称命题的否定时，要把量词，任意改为存在，并且否定结论，注意把“且”改为“或”.故选D.

4.（2015·

山东）若“任意x∈

，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.

答案　1

解析　∵函数y＝tanx在

上是增函数，∴ymax＝tan

＝1.依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.

5.（教材改编）给出下列命题：

①任意x∈N，x3>

x2；

②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；

③存在x0∈R，x

－x0＋1≤0；

④存在一个四边形，它的对角线互相垂直.

则以上命题的否定中，真命题的序号为________.

答案　①②③

题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

例1　

（1）已知命题p1：

y＝ln[（1－x）·

（1＋x）]为偶函数；

命题p2：

y＝ln

为奇函数，则下列命题是假命题的是（　　）

A.p1且p2B.p1或（綈p2）

C.p1或p2D.p1且（綈p2）

（2）已知命题p：

若x>

y，则－x<

－y；

y，则x2>

y2.在命题①p且q；

②p或q；

③p且（綈q）；

④（綈p）或q中，真命题是（　　）

A.①③B.①④

C.②③D.②④

答案　

（1）D　

（2）C

解析　

（1）对于命题p1：

令f（x）＝y＝ln[（1－x）（1＋x）]，由（1－x）（1＋x）>

0得－1<

x<

1，∴函数f（x）的定义域为（－1,1），关于原点对称，∵f（－x）＝ln[（1＋x）（1－x）]＝f（x），∴f（x）为偶函数，∴命题p1为真命题；

对于命题p2：

令g（x）＝y＝ln

，易知g（x）的定义域为（－1,1），关于原点对称，g（－x）＝ln

＝－g（x），∴g（x）为奇函数，命题p2为真命题，故p1或（綈p2）为假命题.

（2）当x>

y时，－x<

－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题.

当x>

y时，x2>

y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题.

由真值表知：

①p且q为假命题；

②p或q为真命题；

③p且（綈q）为真命题；

④（綈p）或q为假命题.故选C.

思维升华　“p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤：

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p、q的真假；

（3）确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假.

（1）已知命题p：

对任意x∈R，总有2x>

0；

q：

“x>

1”是“x>

2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）

A.p且qB.（綈p）且（綈q）

C.（綈p）且qD.p且（綈q）

（2）若命题p：

关于x的不等式ax＋b>

0的解集是{x|x>

－

}，命题q：

关于x的不等式（x－a）（x－b）<

0的解集是{x|a<

b}，则在命题“p且q”、“p或q”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有________.

答案　

（1）D　

（2）綈p、綈q

解析　

（1）p为真命题，q为假命题，故綈p为假命题，綈q为真命题.从而p且q为假，（綈p）且（綈q）为假，（綈p）且q为假，p且（綈q）为真，故选D.

（2）依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p且q”为假、“p或q”为假，“綈p”为真、“綈q”为真.

题型二　含有一个量词的命题

命题点1　全称命题、特称命题的真假

例2　

（1）下列命题中，为真命题的是（　　）

A.任意x∈R，x2>

0B.任意x∈R，－1<

sinx<

1

C.存在x0∈R,2x0<

0D.存在x0∈R，tanx0＝2

（2）下列四个命题

p1：

存在x0∈（0，＋∞），

x0<

x0；

p2：

存在x0∈（0,1），

p3：

任意x∈（0，＋∞），

p4：

任意x∈

，

.

其中真命题是（　　）

A.p1，p3B.p1，p4

C.p2，p3D.p2，p4

答案　

（1）D　

（2）D

解析　

（1）任意x∈R，x2≥0，故A错；

任意x∈R，－1≤sinx≤1，故B错；

任意x∈R,2x>

0，故C错，故选D.

（2）根据幂函数的性质，对任意x∈（0，＋∞），

x>

x，故命题p1是假命题；

由于

＝

，故对任意x∈（0,1），

，所以存在x0∈（0,1），

，命题p2是真命题；

当x∈

时，0<

1，

，故

不成立，命题p3是假命题；

，0<

，命题p4是真命题.

故p2，p4为真命题.

命题点2　含一个量词的命题的否定

例3　

（1）命题“存在实数x，使x>

1”的否定是（　　）

A.对任意实数x，都有x>

B.不存在实数x，使x≤1

C.对任意实数x，都有x≤1

D.存在实数x，使x≤1

（2）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：

任意x∈A,2x∈B，则綈p为：

______.

答案　

（1）C　

（2）存在x0∈A,2x0∉B

解析　

（1）利用特称命题的否定是全称命题求解，“存在实数x，使x>

1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”.故选C.

（2）命题p：

任意x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题.

∴綈p：

存在x0∈A,2x0∉B.

思维升华　

（1）判定全称命题“任意x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；

要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p（x0）成立.

（2）对全（特）称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词.

②对原命题的结论进行否定.

（1）下列命题中的真命题是（　　）

A.存在x∈R，使得sinx＋cosx＝

B.任意x∈（0，＋∞），ex>

x＋1

C.存在x∈（－∞，0），2x<

3x

D.任意x∈（0，π），sinx>

cosx

（2）（2015·

课标全国Ⅰ）设命题p：

存在n∈N，n2>

2n，则綈p为（　　）

A.任意n∈N，n2>

2nB.存在n∈N，n2≤2n

C.任意n∈N，n2≤2nD.存在n∈N，n2＝2n

答案　

（1）B　

（2）C

解析　

（1）因为sinx＋cosx＝

sin（x＋

）≤

<

，故A错误；

当x<

0时，y＝2x的图像在y＝3x的图像上方，故C错误；

因为x∈（0，

）时有sinx<

cosx，故D错误.所以选B.

（2）将命题p的量词“存在”改为“任意”，“n2>

2n”改为“n2≤2n”.

题型三　由命题的真假求参数的取值范围

例4　已知p：

存在x∈R，mx2＋1≤0，q：

任意x∈R，x2＋mx＋1>

0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为（　　）

A.m≥2B.m≤－2

C.m≤－2或m≥2D.－2≤m≤2

答案　A

解析　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>

0恒成立，则有m≥0；

当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<

0，－2<

m<

2.

因此由p，q均为假命题得

即m≥2.

引申探究

1.本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为________.

答案　（－2,0）

解析　依题意，当p是真命题时，有m<

当q是真命题时，有－2<

2，

由

可得－2<

0.

2.本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为________________.

答案　（－∞，－2]∪[0,2）

解析　若p且q为假，p或q为真，则p、q一真一假.

当p真q假时

　∴m≤－2；

当p假q真时

　∴0≤m<

∴m的取值范围是（－∞，－2]∪[0,2）.

3.本例中的条件q变为：

存在x∈R，x2＋mx＋1<

0，其他不变，则实数m的取值范围为________.

答案　[0,2]

解析　依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>

0，

∴m>

2或m<

－2.

得0≤m≤2，

∴m的取值范围是[0,2].

思维升华　根据命题真假求参数的方法步骤

（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；

（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：

“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A.{a|a≤－2或a＝1}

B.{a|a≥1}

C.{a|a≤－2或1≤a≤2}

D.{a|－2≤a≤1}

（2）已知命题“存在x0∈R，使2x

＋（a－1）x0＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－∞，－1）B.（－1,3）

C.（－3，＋∞）D.（－3,1）

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，

∴p：

a≤1，q：

a≤－2或a≥1，

∴a≤－2或a＝1.

（2）依题意可知“任意x∈R,2x2＋（a－1）x＋

>

0”为真命题，所以Δ＝（a－1）2－4×

2×

0，即（a＋1）（a－3）<

0，解得－1<

a<

3.故选B.

1.常用逻辑用语及其应用

一、命题的真假判断

典例　已知命题p：

存在x∈R，x2＋1<

2x；

若mx2－mx－1<

0恒成立，则－4<

0，那么（　　）

A.“綈p”是假命题

B.q是真命题

C.“p或q”为假命题

D.“p且q”为真命题

解析　由于x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，

即x2＋1≥2x，所以p为假命题；

对于命题q，当m＝0时，有－1<

0，恒成立，

所以命题q为假命题.

综上可知：

綈p为真命题，

p且q为假命题，p或q为假命题，故选C.

温馨提醒　判断与一元二次不等式有关命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立（有解、无解），然后再利用逻辑用语进行判断.

二、求参数的取值范围

“任意x∈[0,1]，a≥ex”；

“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________.

解析　若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；

由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.

答案　[e,4]

温馨提醒　含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围.

三、利用逻辑推理解决实际问题

典例　

（1）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：

我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：

我没去过C城市；

丙说：

我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为________.

（2）对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：

甲：

中国非第一名，也非第二名；

乙：

中国非第一名，而是第三名；

丙：

中国非第三名，而是第一名.

竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名.

解析　

（1）由题意可推断：

甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.

（2）由上可知：

甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名.

答案　

（1）A　

（2）一

温馨提醒　在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.

[方法与技巧]

1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解.

2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；

否定的规律是“改量词，否结论”.

[失误与防范]

1.p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可；

p且q为真命题，必须p、q同时为真.

2.两种形式命题的否定

p或q的否定：

3.命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；

“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.

A组　专项基础训练

（时间：

30分钟）

1.已知命题p：

所有有理数都是实数；

正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（　　）

A.綈p或qB.p且q

C.綈p且綈qD.綈p或綈q

解析　不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有綈p或綈q为真命题.

2.已知命题p，q，“綈p为真”是“p且q为假”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　由“綈p为真”可得p为假，故p且q为假；

反之不成立.

3.下列命题中的假命题是（　　）

A.存在x∈R，sinx＝

B.存在x∈R，log2x＝1

C.任意x∈R，（

）x>

0D.任意x∈R，x2≥0

解析　因为任意x∈R，sinx≤1<

，所以A是假命题；

对于B，存在x＝2，log2x＝1；

对于C，根据指数函数图像可知，任意x∈R，（

对于D，根据二次函数图像可知，任意x∈R，x2≥0.

4.下列命题中的假命题是（　　）

A.任意x∈R,2x－1>

B.任意x∈N＋，（x－1）2>

C.存在x0∈R，lgx0<

D.存在x0∈R，tan

＝5

解析　A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>

B项，∵x∈N＋，∴当x＝1时，（x－1）2＝0与（x－1）2>

0矛盾；

C项，当x0＝

时，lg

＝－1<

D项，当x∈R时，tanx∈R，∴存在x0∈R，tan

＝5.

5.已知命题p：

若a>

1，则ax>

logax恒成立；

在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件（m，n，p，q∈N＋）.则下面选项中真命题是（　　）

A.（綈p）且（綈q）B.（綈p）或（綈q）

C.p或（綈q）D.p且q

解析　当a＝1.1，x＝2时，

ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>

log1.11.21＝2，

此时，ax<

logax，故p为假命题.

命题q，由等差数列的性质，

当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，

当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题.

故綈p是真命题，綈q是假命题，

所以p且q为假命题，p或（綈q）为假命题，（綈p）且（綈q）为假命题，（綈p）或（綈q）为真命题.

6.已知命题“存在x∈R，使2x2＋（a－1）x＋

A.（－1,3）B.（2,3）

C.[－1,3）D.（－1,3]

解析　原命题的否定为任意x∈R,2x2＋（a－1）x＋

0，由题意知，其为真命题，

则Δ＝（a－1）2－4×

则－2<

a－1<

2，则－1<

3.

7.命题p：

存在x0>

0，x0＋

＝2，则綈p为（　　）

A.任意x>

0，x＋

＝2B.任意x>

≠2

C.任意x>

≥2D.存在x>

解析　“存在”的否定为“任意”，“＝”的否定为“≠”.故选B.

8.已知命题p：

存在m∈R，m＋1≤0，命题q：

0.若“p且q”为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

A.（－∞，－2]∪（－1，＋∞）

B.[2，＋∞）

C.（－∞，－2]∪[2，＋∞）

D.[－2,2]

解析　若“p且q”为假命题，则p，q中至少有一个是假命题，若命题p为真命题，则m≤－1，若q为真命题，则Δ＝m2－4<

0，∴－2<

2，若命题p和命题q都是真命题，则－2<

m≤－1，∴若“p且q”为假命题，则m≤－2或m>

－1，故选A.

9.命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________.

答案　任意x∈R，x2＋2x＋5≠0

解析　否定为全称命题：

“任意x∈R，x2＋2x＋5≠0”.

10.若命题“存在x0∈R，x

＋（a－1）x0＋1<

0”是真命题，则实数a的取值范围是________________.

答案　（－∞，－1）∪（3，＋∞）

解析　因为命题“存在x0∈R，x

0”等价于x

＋（a－1）x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝（a－1）2－4>

0，即a2－2a－3>

0，解得a<

－1或a>

11.已知命题p：

x2＋2x－3>

>

1，若“綈q且p”为真，则x的取值范围是________.

答案　（－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）

解析　因为“綈q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，

<

0，得2<

3，所以q假时有x≥3或x≤2；

p为真命题时，由x2＋2x－3>

0，解得x>

1或x<

－3，由

解得x<

－3或1<

x≤2或x≥3，

所以x的取值范围是x<

x≤2或x≥3.

12.下列结论：

①若命题p：

存在x∈R，tanx＝1；

任意x∈R，x2－x＋1>

0.则命题“p且（綈q）”是假命题；

②已知直线l1：

ax＋3y－1＝0，l2：

x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是

＝－3；

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：

“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”.其中正确结论的序号为________.

答案　①③

解析　①中命题p为真命题，命题q为真命题，

所以p且（綈q）为假命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；

③正确，所以正确结论的序号为①③.

B组　专项能力提升

15分钟）

13.已知命题p：

存在x∈R，x－2>

lgx，命题q：

任意x∈R，x2>

0，则（　　）

A.p或q是假命题

B.p且q是真命题

C.p且（綈q）是真命题

D.p或（綈q）是假命题

解析　∵x＝10时，x－2＝8，lg10＝1，x－2>

lgx成立，∴命题p为真命题，又x2≥0，命题q为假命题，

∴p且（綈q）是真命题.

14.四个命题：

①任意x∈R，x2－3x＋2>

0恒成立；

②存在x∈Q，x2＝2；

③存在x∈R，x2＋1＝0；

④任意x∈R,4x2>

2x－1＋3x2.其中真命题的个数为（　　）

A.0B.1

C.2D.4

解析　∵x2－3x＋2>

0，Δ＝（－3）2－4×

2>

∴当x>

2或x<

1时，x2－3x＋2>

0才成立，

∴①为假命题.

当且仅当x＝±

时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.

对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.

4x2－（2x－1＋3x2）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，

∴④为假命题.

∴①②③④均为假命题.

15.下列结论正确的是（　　）

A.若p：

存在x∈R，x2＋x＋1<

0，则綈p：

任意x∈R，x2＋x＋1<

B.若p或q为真命题，则p且q也为真命题

C.“函数f（x）为奇函数”是“f（0）＝0”的充分不必要条件

D.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题

解析　∵x2＋x＋1<

0的否定是x2＋x＋1≥0，∴A错；

若p或q为真命题，则p、q中至少有一个为真，∴B错；

f（x）为奇函数，但f（0）不一定有意义，∴C错；

命题“若x2－3x＋2＝0则x＝1”的否命题为“若x2－3x－2≠0，则x≠1”，是真命题，D对.

16.已知命题p：

“任意x∈R，存在m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.

答案　（－∞，1]

解析　若綈p是假命题，则p是真命题，

即关于x的方程4x－2·

2x＋m＝0有实数解，

由于m＝－（4x－2·

2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，∴m≤1.

17.设p：

方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；

方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根.则使p或q为真，p且q为假的实数m的取值范围是________________________.

答案　（－∞，－2]∪[－1,3）

解析　设方程x2＋2mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，

得m<

－1，

所以命题p为真时，m<

－1.

由方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根，可知Δ2＝4（m－2）2－4（