第13讲简单的统筹规划问题Word下载.docx

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习题

　　1.某乡共有六块甘蔗地，每块地的产量如下图所示.现在准备建设一座糖厂，问糖厂建于何处总运费最省？

　　2.产地A1、A2、A3和销售地B1、B2、B3、B4都在铁路线上，位置如下图所示.已知A1、A2、A3的产量分别为5吨、3吨、2吨；

B1、B2、B3、B4的销售量分别是1吨、2吨、3吨、4吨.试求出使总运输吨公里数最小的调运方案。

3.把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材料？

4.钢筋原材料每件长7.3米，每套钢筋架子用长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各1段.现在需要绑好钢筋架子100套，至少要用去原材料几件？

截料方法怎样最省？

5.某车间有铣床3台，车床3台，自动机床1台，生产一种由甲、乙两个零件组成的产品.每台铣床每天生产甲零件10个，或者生产乙零件20个；

每台车床每天生产甲零件20个，或者生产乙零件30个；

每台自动机床每天生产甲零件30个，或者生产乙零件80个.如何安排这些机器的生产任务才能获得最大数量的成套产品？

每天最多可生产多少套产品？

第十三讲简单的统筹规划问题

　　这一讲我们讨论有关物资调运、下料问题及配套生产等实例。

例1某工地A有20辆卡车，要把60车渣土从A运到B，把40车砖从C运到D（工地道路图如右图所示），问如何调运最省汽油？

　　分析把渣土从A运到B或把砖从C运到D，都无法节省汽油.只有设法减少跑空车的距离，才能省汽油。

解：

如果各派10辆车分别运渣土和砖，那么每运一车渣土要空车跑回300米，每运一车砖则要空车跑回360米，这样到完成任务总共空车跑了

　　300×

60＋360×

40=32400（米）。

　　如果一辆车从A→B→C→D→A跑一圈，那么每运一车渣土、再运一车砖要空车跑

　　240+90＝330（米）.

　　因此，先派20辆车都从A开始运渣土到B，再空车开往C运砖到D后空车返回A，这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务.然后再派这20辆车都从A运渣土到B再空车返回A，则运渣土任务也完成了.这时总共空车跑了

　　330×

40+300×

20＝19200（米）.

　　后一种调运方案比前一种减少跑空车13200米，这是最佳节油的调运方案。

　　说明：

“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则：

下面通过例子再介绍“避免对流”的原则。

例2一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？

　　分析在人员调运时不考虑路程远近的因素，就只需避免两个基地之间相互调整，即“避免对流现象”。

　　解：

五个基地人员总数为

　　17+4+16+14+9=60（人）

　　依题意，调整后每个基地应各有

　　60÷

5=12（人）。

　　因此，需要从多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E调人.为了避免对流，经试验容易得到调整方案如下：

　　先从D调2人到E，这样E尚缺1人；

再由A调1人给E，则E达到要求.此时，A尚多余4人，C也多余4人，总共8人全部调到B，则B亦符合要求。

　　调动示意图如右图所示.这样的图形叫做物资流向图.用流向图代替调运方案，能直观地看出调运状况及有无对流现象，又可避免列表和计算的麻烦，图中箭头表示流向，箭杆上

　　的数字表示流量。

发生对流的调运方案不可能是最优方案.这个原则可以证明：

　　如右图，设A1B2＝a千米，B2B1=b千米，B1A2＝c千米.如果从A1运1吨货物到B1，同时又从A2运1吨货物到B2，那么在B1B2之间A1的物资从西向东运输，A2的货物从东向西运输，两者发生对流，于是这样调动的总吨千米数为

　　（a＋b）+（b＋c）＝a＋c+2b.

　　而如果从A1运1吨货物到B2，同时从A2运1吨货物到B1，栽蛟耸渥芏智资猘+c.显然

　　a+c＜a+c+2b。

例3在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如右图，）共有5个仓库.一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。

　　分析欲使花费的运输费少，关键在于运输的货物和路程尽可能少，实际经验告诉我们一个原则——“小往大处靠”.下面就以两地调运问题为例加以计算验证：

如上图，在公路上A、B两地各有10吨、15吨麦子，问打麦场建在何处运费最少？

　　设打麦场建在C点，则总运费是（假定每吨小麦运输1千米的费用是a元）

　　W＝10×

a×

AC＋15×

BC

　　＝10a×

AC＋10a×

BC＋5a×

（AC＋BC）＋5a×

=10a×

AB＋5a×

　　上式中10a×

AB是固定的值，不随C点的选取而改变；

只有5a×

BC随BC的变化而改变，若BC越小，则W也越小.当BC=0时，即C点与B点重合时，W的值最小.因此打麦场建在B点时总运费是10a×

AB（元）为最少.显然当打麦场建在AB线段之外时，总运费都大于10a×

AB（元）。

根据“小往大处靠”的原则，先把一号仓库的10吨货物送往二号仓库集中，需运费

　　10×

0.5×

100=500（元）。

　　这时可以认为二号仓库有30吨货物，而五号仓库有40吨货物，于是又应把二号仓库的30吨货物运往五号仓库集中，需运费

　　30×

300=4500（元）。

　　所以，把货物集中存放在五号仓库时所花运费最少，需要

　　500＋4500=5000（元）。

“小往大处靠”的原则也不是一成不变的，具体问题还要具体分析。

　　再举两例如下：

　　例如一号仓库有20吨货物，二号仓库有30吨货物，其他仓库存货照样如前，那么应该往哪个仓库集中呢？

首先仍应把一号仓库的20吨货物运往二号仓库集中，然后再把五号仓库的40吨货物也运往二号仓库集中，这样运费最少。

　　又如一号仓库有30吨货物，二号仓库有20吨货物，其他仓库存货仍然如前，那么应该往哪个仓库集中呢？

先把一号仓库的30吨货物运往二号仓库集中，再把五号仓库的40吨货物也运往二号仓库集中，这样运费最省.（想想为什么？

）

　　还有一点值得注意，在决定货物往何处集中时，起决定作用的是货物的重量，至于距离仅仅是为了计算运费.如果把本题中各个仓库之间的距离换成另外一些数值，仍应该把货物集中到五号仓库。

　　本题可以推广为一般命题：

“一条公路上有n个仓库，它们分别存货A1吨、A2吨、…、an吨.现在需要把所有的货物集中存放在一个仓库里，应该选取哪个仓库可以使总运输费最少？

”它的解法将涉及到一次函数的知识，同学们在学过初三代数之后就会完全明白了。

　　分析显然无残料的剪法是最优方案.于是考虑二元一次不定方程的整数解问题。

设4米长的剪x根，7米长的剪y根，依题意列方程

　　4x＋7y＝189。

　　根据倍数分析法可知

　　7｜x（即x是7的倍数）。

　　令x1＝0，则7y＝189，解出y1=27；

　　x2＝7，则7y＝161，解出y2＝23；

　　x3=14，则7y＝133，解出y3＝19；

　　x4=21，则7y=105，解出y4=15；

　　x5＝28，则7y=77，解出y5=11；

　　x6=35，则7y＝49，解出y6＝7；

　　x7=42，则7y＝21，解出y7=3。

　　因此，有七种剪法都是最省材料的。

本例是最简单的下料问题，属于“线性规划”的范畴，线性规划是运用一次方程（组）、一次函数来解决规划问题的数学分支。

规划论研究的问题主要有两类：

一类是确定了一项任务，研究怎样精打细算使用最少人力、物力和时间去完成它；

另一类是在已有一定数量的人力、物力和财力的条件下，研究怎样合理调配，使它们发挥最大限度的作用，从而完成最多的任务。

　　分析不难想到有三种截法省料：

　　截法1：

截成3尺、3尺、4尺三段，无残料；

　　截法2：

截成3尺、3尺、3尺三段，残料1尺；

　　截法3：

截成4尺、4尺两段，残料2尺。

　　由于截法1最理想（无残料），因此应该充分应用截法1.考虑用原材料50根，可以截成100根3尺长的短竹竿，而4尺长的仅有50根，还差50根.于是再应用截法3，截原材料25根，可以得到4尺长的短竹竿50根，留下残料

　　2×

25＝50（尺）。

至少要用75根原材料，其中50根用截法1，25根用截法3，这样的截法最省料.

一般说来，一定长度的条形材料要截取两种毛坯的下料问题，用本例的方法求解是比较省料的，这种解法的理论根据要用到二元不等式及一次函数图像，有兴趣的读者可参阅有关书刊。

例6甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西

产1200套西服.现在两厂联合生产，尽量发挥各自特长多生产西服，那么现在每月比过去多生产西服多少套？

　　分析根据已知条件，甲厂生产一条裤子与一件上衣的时间之比为2∶3，因此在单位时间内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比也是2∶3（注意：

在固定时间内，数量与每件所用时间成反比）；

同理可知，在单位时间内乙厂生产上衣与裤子的数量之比是3∶4。

单说明理由：

　　如果甲厂生产9条裤子，则相当甲厂生产6件上衣；

如果让乙厂生产这6件上衣，则相当于生产8条裤子.这就是说，甲厂生产9条裤子时乙厂只能生产8条裤子.显然甲厂善于生产裤子.类似地，如果乙厂生产9件上衣，则相当于乙厂生产12条裤子；

如果让甲厂生产这12条裤子，则相当甲厂生产8件上衣.这就是说，乙厂生产9件上衣时甲厂只能生产8件上衣.显然乙厂善于生产上衣.

两厂联合生产，尽量发挥各自特长，安排乙厂全力生产上衣.由

　　同时，安排甲厂全力生产裤子，则甲厂全月可生产裤子

　　为了配套生产，甲厂先全力生产2100条裤子，这需要

　　于是，现在联合生产每月比过去多生产西服

　　（2100＋60）-（900＋1200）=60（套）。

本例是线性规划中劳力组合问题.劳力组合最简单的情况就是效率比问题.这里给出多种劳力（或机械）干两种配套活的一般分工原则：

习题十三

　　3.把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材料？

　　4.钢筋原材料每件长7.3米，每套钢筋架子用长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各1段.现在需要绑好钢筋架子100套，至少要用去原材料几件？

　　5.某车间有铣床3台，车床3台，自动机床1台，生产一种由甲、乙两个零件组成的产品.每台铣床每天生产甲零件10个，或者生产乙零件20个；

习题十三解答

　　1.答：

糖厂建于C处总运费最省。

如下图（a），根据“小往大处靠”的原则，把A靠到B；

E靠到G，F靠到G，这样就成图（b）

　　同理：

B靠到C，D靠到C，这时，C为16吨；

G为11吨.最后，G靠到C。

　　2.答：

A1运往B11吨；

运往B22吨；

运往B32吨。

A2运往B31吨；

运往B42吨。

A3运往B42吨。

　　3.解：

设截成17米长的钢筋x根，截成24米长的钢筋y根。

则有17x+24y=239，可得非负整数解为x＝7，y=5。

　　4.解：

截法1：

2.9＋2.9＋1.5=7.3

2.1＋2.1＋1.5＋1.5＝7.2

2.9+2.1+2.1＝7.1

　　答：

共用钢筋90根，其中40根用截法1；

30根用截法2；

20根用截法3.

　　所以：

自动机床最善于生产乙零件；

车床最善于生产甲零件.因此确定：

自动机床只生产乙零件，车床只生产甲零件；

铣床生产部分甲零件和部分乙零件，使其配套。

自动机床一天生产80个乙零件；

　　车床一天生产3×

20＝60个甲零件；