数学归纳法总结Word格式文档下载.docx
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方法是正确的,但操作上缺乏顺序性.
方法二:
一个一个拿,拿一个看一个.
比如结果为:
第一个白球,第二个白球,第三个白球,……,第十二个白球,由此得到:
这一袋球都是白球.特点:
有顺序,有过程.
2、如果想象袋子有足够大容量,球也无限多?
要判断这一袋球是白球,还是黑球,上述方法可行吗?
情境三:
回顾等差数列通项公式推导过程:
设计意图:
首先设计情境一,分析情境,自然引出课题----归纳法,谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣,调动学生学习的积极性.情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题,很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.
二、师生互动,探究问题
承上启下:
以上问题的思考和解决,用的都是归纳法.什么是归纳法?
归纳法特点是什么?
上述归纳法有什么不同呢?
学生回答以上问题,得出结论:
1.归纳法:
由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点:
由特殊一般;
2.完全归纳法:
把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法;
3.不完全归纳法:
根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.
在生活和生产实际中,归纳法有着广泛的应用.例如气象工作者、水文工作者,地震工作者依据积累的历史资料作气象预测,水文预报,地震预测用的就是归纳法.
4.引导学生举例:
⑴不完全归纳法实例:
如欧拉发现立体图形的欧拉公式:
(V为顶点数,E为棱数,F为面数)
⑵完全归纳法实例:
如证明圆周角定理时,分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论.
从生活走向数学,与学生一起回顾以前学过的数学知识,并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例,进一步体会归纳意识,同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法,并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.
三、借助史料,引申思辨
问题1:
已知=(nN),
(1)分别求;
;
.
(2)由⑴你会有怎样的一个猜想?
这个猜想正确吗?
问题2:
费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家,他是解析几何的发明者之一,是对微积分的创立作出贡献最多的人之一,是概率论的创始者之一,他对数论也有许多贡献.他曾认为,当nN时,一定都是质数,这是他对n=0,1,2,3,4作了验证后得到的.后来,18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了=4294967297=6700417641,从而否定了费马的推测.没想到当n=5这一结论便不成立.
教师总结:
有人说,费马为什么不再多算一个数呢?
今天我们是无法回答的.但是要告诉同学们,失误的关键不在于多算一个数上!
问题3:
当nN时,是否都为质数?
验证:
f(0)=41,f
(1)=43,f
(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,…,f(39)=1601.但是f(40)=1681=,是合数.
这里算了39个数不算少了吧,但还是不行!
我们介绍以上两个资料,不是说世界级大师还出错,我们有错就可以原谅,也不是说归纳法不行,不去学了,而是要找出运用归纳法出错的原因,并研究出对策来,寻求数学证明.
教师设问:
不完全归纳法为什么会出错?
如何弥补不足?
怎么给出证明呢?
在生活引例与已学数学知识的基础上,进一步引导学生看数学史料,能够让学生多方位多角度体会归纳法,感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨:
在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论,不管是我们还是数学大师都有可能如此.那么,不完全归纳法价值体现在哪里?
不足之处如何去弥补呢?
结论正确性怎样给出证明?
学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.
四、实例再现,激发兴趣
1、演示多米诺骨牌游戏视频.
师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件:
⑴第一块要倒下;
⑵当前面一块倒下时,后面一块必须倒下;
当满足这两个条件后,多米诺骨牌全部都倒下.
再举例:
再举几则生活事例:
推倒自行车,早操排队对齐等.
2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理,探究出证明有关正整数命题的方法(建立数学模型).
布鲁纳的发现学习理论认为,“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程.这里通过类比多米诺骨牌过程,让学生发现数学归纳法的雏形,是一种再创造的发现性学习.另外,这个环节里,我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好.应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理,教师给予肯定和补充即可。
事实上,情境的设计都是为学生更好的知识迁移而服务的。
概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦指出:
思维都是在概括中完成的.心理学认为“迁移就是概括”,这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移,突破口就是学生的概括过程.
五、类比联想,形成概念
1、类比多米诺骨牌过程,证明等差数列通项公式(师生共同完成,教师强调步骤及注意点)
(1)当n=1时等式成立;
(2)假设当n=k时等式成立,即,
则=,即n=k+1时等式也成立.
于是,我们可以下结论:
等差数列的通项公式对任何n都成立.
2.数学归纳法原理(学生表述,教师补正):
(1)(递推奠基):
n取第一个值(例如)时命题成立;
(2)(递推归纳):
假设当n=k(kN__,且kn0)时结论正确;
(归纳假设)
利用它证明当n=k+1时结论也正确.(归纳证明)
由
(1),
(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确,这种证明方法叫做数学归纳法.
3、数学归纳法的本质:
无穷的归纳有限的演绎(递推关系)
至此,由生活实例出发,与学生一起解析归纳原理,揭示递推过程.教师强调数学归纳法特点.数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理,它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程,是处理自然数有关问题的有力工具,一种具普遍性的`方法.
六、讨论交流,深化认识
例1、数列中,=1,(n),通项公式是什么?
你是怎么得到的?
探讨一:
观察数列特点,变形解出.
探讨二:
先计算,,的值,再推测通项的公式,最后用数学归纳法证明结论.
通过典型例题使学生探究尝试,一方面体验“观察—归纳—猜想—证明”完整过程,既能巩固归纳法和数学归纳法,也能使他们体验数学方法,培养学生独立研究数学问题的意识和能力.不同的方法也体现解决问题的灵活性.
七、反馈练习,巩固提高
(请两位同学板演以下两题,教师指正)
1、用数学归纳法证明:
1+3+5+…+(2n-1)=.
2、首项是,公比是q的等比数列的通项公式是.
3、用数学归纳法证明:
时,下列推证是否正确,说出理由?
证明:
假设时,等式成立就是成立那么=这就是说当时等式成立,
所以时等式成立.
4、判断下列推证是否正确,若是不对,如何改正.
求证:
①当n=1时,左边=右边=,等式成立.
②设n=k时,有
那么,当n=k+1时,有,即n=k+1时,命题成立
根据①②可知,对nN__,等式成立.
练习题1,2的证明难度不大,套用数学归纳法的证明步骤不难解答,通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况.这样既可以检验学生的学习水平,保证不盲目拔高,同时不冲淡本节课的重点,对例题是一个很好的对比与补充.通过3,4的易错辨析,进一步体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论,“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.
八、总结归纳,加深理解
1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法;
2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种,枚举法仅局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性,数学归纳法属于完全归纳法;
3、数学归纳法作为一种证明方法,其基本思想是递推(递归)思想,使用要点可概括为:
两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉;
4、本节课所涉及到的数学思想方法有:
递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证思想.
九、布置作业,课外延伸
十、书面作业:
见教材P56
课后思考题:
1.是否存在常数a、b、c使得等式:
对一切自然数n都成立并证明你的结论.
2.是否存在常数a、b、c,使得等式1
对一切自然数n都成立?
并证明你的结论(a=3,b=11,c=10)
设计意图:
思考题则起着承上启下的作用,它既是“观察—归纳—猜想—证明”的完整思维探究过程的再体验,也是对下节课内容的铺垫与伏笔.
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- 数学 归纳法 总结
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