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(在两条直线内部,位于第三条直线同侧)在两条直线之间,又在直线
EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。
∠3和∠6。
1
5.2平行线及其判定
(一)平行线
1.平行:
两条直线不相交。
互相平行的两条直线,互为平行线。
a∥b(在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
)
2.平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
3.平行公理推论:
平行于同一直线的两条直线互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c
(二)平行线的判定:
1.两条平行线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。
(同位角相
等,两直线平行)
2.两条平行线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。
(内错角相
3.两条平行线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
(同旁内
角互补,两直线平行)
4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a∥b,a∥c,则b∥c。
推论:
在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。
5.3平行线的性质
(一)平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
(两直线平行,同位角相等)
2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
(两直线平行,内错角相等)
3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
(两直线平行,同旁内角相等)
(二)命题、定理、证明
1.命题的概念:
判断一件事情的语句,叫做命题。
2.命题的组成:
每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;
结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果,,,那么,,”的形式。
具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是
结论。
3.真命题:
正确的命题,题设成立,结论一定成立。
4.假命题:
错误的命题,题设成立,不能保证结论一定成立。
5.定理:
经过推理证实得到的真命题。
(定理可以做为继续推理的依据)6.证明:
推理的过程叫做证明。
5.4平移
1.平移:
平移是指在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫做平移变换(简称平移),平移不改变物体的形状和大小。
2.平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点。
连接各组对应点的线段平行且相等。
①对应点的连线平行且相等;
②对应线段相等;
③对应角相等。
2
第六章实数
6.1平方根
1、平方根
(1)平方根的定义:
如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根.即:
(2)开平方的定义:
求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方
数必须是非负数才有意义。
(3)平方与开平方互为逆运算:
3的平方等于9,9的平方根是3
(4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;
一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算;
0的平方根是0.
(5)符号:
正数a的正的平方根可用a表示,a也是a的算术平方根;
正数a的负的平方根可用-a表示.
(6)x2a<
—>
xa
a是x的平方x的平方是a
x是a的平方根a的平方根是x
2、算术平方根
(1)算术平方根的定义:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2a,那么
这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为a,读作
“根号a”,a叫做被开方数.
规定:
0的算术平方根是0.
也就是,在等式x2a(x≥0)中,规定xa。
(2)a的结果有两种情况:
当a是完全平方数时,a是一个有限数;
当a不是一个完全平方数时,a是一个无限不循环小数。
(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小
(5)x2a(x≥0)<
—>
x是a的算术平方根a的算术平方根是x
(6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
a(a
)
a0
a2
a
;
注意
a的双重非负性:
-
<
(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:
区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
3
6.2立方根
(1)立方根的定义:
如果一个数x的立方等于a,这个数叫做a的立方根(也叫做三次方根),即如果x3a,那么x叫做a的立方根。
求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
(2)一个数a的立方根,记作3a,读作:
“三次根号a”,
其中a叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。
(3)一个正数有一个正的立方根;
1有一个立方根,是它本身;
一个负数有一个负的立方根;
任何数都有唯一的立方根。
(4)利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再
取其相反数,即3
3aa
0。
(5)x3
x
3a
a是x的立方
的立方是a
x是a的立方根
的立方根是x
(6)3
a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
6.3实数
一、实数的概念及分类
无理数:
像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数。
实数:
有理数和无理数统称实数。
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数或无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
正实数
实数0
负实数
整数包括正整数、零、负整数。
零和正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如
7,32等;
4
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如π+8等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001⋯等;
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数
是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
数a的相反数是—a,这里a表示任意一个实数。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。
零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;
若|a|=-a,则a≤0。
一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是
0。
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4.实数与数轴上点的关系:
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,
实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表
示;
反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。
三、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做a10n的形式,其中1a10,n是整数,这种记数法叫做科学记
数法。
四、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:
设a、b是实数,
ab0ab,
5
ab0a
b
(3)求商比较法:
设a、b是两正实数,a
b;
a
ab;
1ab;
(4)绝对值比较法:
设a、b是两负实数,则a
b。
(5)平方法:
设a、b是两负实数,则a2
b2
五、实数的运算
1、加法交换律
2、加法结合律
(a
b)
c
(b
c)
3、乘法交换律
ab
ba
4、乘法结合律
(ab)ca(bc)
5、乘法对加法的分配律
a(b
ac
6、实数混合运算时,对于运算顺序有什么规定?
实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二能为运算,乘方为三级运算。
同级运算时,从左到右依次进行;
不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,而后才算加减;
运算中如有括号时,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则是什么?
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述:
第一,除以一个不等于零的数,等于乘以这个数的倒数;
第二,两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数,商都是零。
8、什么叫有理数的乘方?
幂?
底数?
指数?
相同因数相乘积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂,相同因数的个数叫指数,这个因数叫底数。
记作:
an
9、有理数乘方运算的法则是什么?
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数。
零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么?
去(加)括号时如果括号外的因数是正数,去(加)括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同;
括号外的因数是负数去(加)括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
第七章平面直角坐标系
7.1平面直角坐标系
(一)有序数对
1.有序数对:
用两个数来表示一个确定的位置,其中两个数各自表示不同的意义,我
们把这种有顺序的两个数组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b)
2.坐标:
数轴(或平面)上的点可以用一个数(或数对)来表示,这个数(或数对)叫做这个点的坐标。
(二)平面直角坐标系
1.平面直角坐标系:
在平面内画两条互相垂直,并且有公共原点的数轴。
这样我们就
说在平面上建立了平面直角坐标系,简称直角坐标系。
2.X轴:
水平的数轴叫X轴或横轴。
向右方向为正方向。
6
左右平移→纵坐标不变,横坐标左减右加;
上下平移→横坐标不变,纵坐标上加下减。
找特殊点
3.Y轴:
竖直的数轴叫Y轴或纵轴。
向上方向为正方向。
4.原点:
两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。
对应关系:
平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。
坐标:
对于平面内任一点P,过P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别在x轴,y轴上,对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
(三)象限
1.象限:
X轴和Y轴把坐标平面分成四个部分,也叫四个象限。
右上面的叫做第一象限,
其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
象限以数轴为界,
横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。
一般,在x轴和y轴取相同的单位长度。
2.象限的特点:
1、特殊位置的点的坐标的特点:
(1)x轴上的点的纵坐标为零;
y轴上的点的横坐标为零。
(2)第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
(3)在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴;
如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。
2、点到轴及原点的距离:
点到x轴的距离为|y|;
点到y轴的距离为|x|;
点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号;
3、三大规律
(1)平移规律:
点的平移规律
图形的平移规律
(2)对称规律
关于x轴对称→横坐标不变,纵坐标互为相反数;
关于y轴对称→横坐标互为相反数,纵坐标不变;
关于原点对称→横纵坐标都互为相反数。
(3)位置规律
各象限点的坐标符号:
(注意:
坐标轴上的点不属于任何一个象限)
第二象限第一象限
(—,+)(+,+)
第三象限第四象限
(—,—)(+,—)
假设在平面直角坐标系上有一点P(a,b)
1.如果P点在第一象限,有a>
0,b>
0(横、纵坐标都大于0)
2.如果P点在第二象限,有a<
0(横坐标
小于0,
纵坐标
大于0)
3.如果P点在第三象限,有a<
0,b<
0(横、纵坐标都小于0)
7
7.2坐标方法的简单应用
(一)用坐标表示地理位置的过程:
1.建立坐标系,选择一个合适的参照点为原点,确定X轴和Y轴的正方向。
2.根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度。
3.在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
(二)用坐标表示平移
在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就把原图形向右(左)平移a个单位长度;
如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就把原图形向上(下)平移a个单位长度。
第八章二元一次方程组
8.1二元一次方程组
1.二元一次方程:
含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1,这样的整式方程叫做二元一次方程。
2.方程组:
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程的解:
一般地,使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解:
一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
8.2消元——解二元一次方程组
二元一次方程组有两种解法:
一种是代入消元法,一种是加减消元法.
1.代入消元法:
用代入法解二元一次方程组的一般步骤:
观察方程组中,是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数,如果有,则将它直接代入另一个方程中;
如果没有,则将其中一个方程变形,用含一个未知数的式子表示另一个未知数;
再将表示出的未知数代入另一个方程中,从而消去一个未知数,求出另一个未知数的值,将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程,求出另外一个未知数的值。
2.加减消元法:
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程。
方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数,就用适当的数去乘方程的两边,使同一个未知数的系数相等或互为相反数;
(2)把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数;
(3)解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;
(4)将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程,求出另外一个未知数的值,从而得到原方程组的解。
3、三元一次方程组的解法
三元一次方程组:
方程组含有三个未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程组,像这样的方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组的一般步骤:
①观察方程组中未知数的系数特点,确定先消去哪个未知数;
②利用代入法或加减法,把方程组中的一个方程,与另外两个方程分别组成
8
两组,消去同一个未知数,得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组;
③解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;
④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中,求出第三个未知数的值,从而得到原三元一次方程组的解。
8.3实际问题与二元一次方程组
实际应用:
审题→设未知数→列方程组→解方程组→检验→作答。
关键:
找等量关系
常见的类型有:
分配问题、追及问题、顺流逆流、药物配制、行程问题
顺流逆流公式:
v顺v静v水v逆v静v水
第九章不等式与不等式组
9.1不等式
一、不等式及其解集
1.不等式:
用不等号表示不等关系的式子叫不等式,不等号主要包括:
>、<、≥、≤、≠。
2.不等式的解:
使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解。
3.不等式的解集:
一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
二、不等式的性质:
性质1:
如果a>
b,b>
c,那么a>
c(不等式的传递性).
性质2:
不等式的两边同加(减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
如果a>
b,那么
a+c>
b+c(不等式的可加性).
性质3:
不等式的两边同乘(除以)同一个正数,不等号的方向不变。
不等式的两边同乘(除以)同一个负数,不等号的方向改变。
b,c>
0,那么ac>
bc;
b,c<
0,ac<
bc.(不等式的乘法法则)性质4:
d,那么a+c>
b+d.(不等式的加法法则)性质5:
b>
0,c>
d>
bd.(可乘性)
nn
性质6:
0,n∈N,n>
1,那么a>
b,且.当0<
n<
1时也成立.(乘方法则)
1.一元一次不等式:
含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式。
2.不等式的解法:
步骤:
:
①去分母;
②去括号;
③移项;
④合并同类项;
⑤系数化为1。
这与解一元一次方程类似,在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。
注意:
去分母与系数化为一要特别小心,因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数,
要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。
9.3一元一次不等式组
1.一元一次不等式组:
一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
2.不等式组的解:
几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们组成的不等式组的解集。
解不等式组就是求它的解集。
3.解不等式组:
先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴
9
可以直观地表示不等式的解集。
解一元一次不等式组的一般步骤:
①求出这个不等式组中各个不等式的解集;
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,得到这个不等式组的解集。
如果这些不等式的解
集的没有公共部分,则这个不等式组无解(此时也称这个不等式组的解集为空集)。
求出各个不等式的解集后,确定不等式组的解的口诀:
大大取大,小小取小,大小小大取中间,大大小小无处找。
以两条不等式组成的不等式组为例,
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左,就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右,就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同大取大”
③若两个未知数的解集在数轴上相交,就取它们之间的值为不等式组的解集。
若x表示不等式的解集,此时一般表示为a<x<b,或a≤x≤b。
此乃“相交取中④若两个未知数的解集在数轴上向背,那么不等式组的解集就是空集,不等式组无解。
此乃“向背取空”
不等式组的解集的确定方法(
a>b):
不等式组
在数轴上表示的解集
解
集
口
诀
x>a
x>a
同大取大;
x>b
x<a
x<b
同小取小;
x<b
ba
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