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1、理解古典概型及其概率计算公式;
2、会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.。
教学重点
古典概型概率的计算
教学难点
古典概型与事件关系及运算的综合应用
教学过程
一、课堂导入
问题:
抛掷一只均匀的骰子一次,点数朝上的试验结果是有限的还是无限的?
如果是有限的共有几种?
二、复习预习
古典概型在高考中经常考察以下几点:
1.考查古典概型概率公式的应用;
2.考查古典概型与事件关系及运算的综合题;
3.与统计知识相结合,考查解决综合问题的能力.所以在复习时,要掌握以下几点:
1.掌握解决古典概型的基本方法,列举基本事件、随机事件,从中找出基本事件的总个数,随机事件所含有的基本事件的个数;
2.复习时要加强与统计相关的综合题的训练,注重理解、分析、逻辑推理能力的提升.
三、知识讲解
考点1
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
考点2
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相等.
考点3
3.古典概型概率
如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是
;
如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=
考点4
4.古典概型的概率公式
P(A)=
四、例题精析
考点一基本事件
例1有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验:
用(x,y)表示结果,其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数,y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出:
(1)试验的基本事件;
(2)事件“出现点数之和大于3”;
(3)事件“出现点数相等”.
【规范解答】
(1)这个试验的基本事件为
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件:
(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件:
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
【总结与反思】基本事件的确定可以使用列举法和树形图法.
考点二古典概型问题
例2有编号为A1,A2,…,A10
的10个零件,测量其直径(单位:
cm),得到下面数据:
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.47
1.46
1.53
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品.
(1)从上述10个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率;
(2)从一等品零件中,随机抽取2个.
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2个零件直径相等的概率.
(1)由所给数据可知,一等品零件共有6个,记“从10个零件中,随机抽取一个,这个零件为一等品”为事件A,则P(A)=
=
.
(2)①一等品零件的编号为A1,A2,A3,A4,A5,A6,从这6个一等品零件中随机抽取2个,所有可能的结果有{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},
{A5,A6},共15种.
②“从一等品零件中,随机抽取2个,这2个零件直径相等”记为事件B,则其所有可能结果有{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共6种,
所以P(B)=
【总结与反思】求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法,具体应用时可根据需要灵活选择.
考点三典概型的综合应用
例3为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:
(1)估计该校男生的人数;
(2)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;
(3)从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm之间的概率.
(1)样本中
男生人数为40,由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)
由统计图知,样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人),样本容量为70,所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率f=
=0.5.故由f估计该校学生身高在170~185cm之间的概率p=0.5.
(3)样本中身高在180~185cm之间的男生有4人,设其编号为①②③④,样本中身高在185~190cm之间的男生有2人,设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为
故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15,至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9,因此,所求概率p2=
【总结与反思】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型,已成为高考考查的热点,概率与统计结合题,无论是直接描述还是利用概率
分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,则此类问题即可解决.
例4一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,
求n<
m+2的概率.
【规范解答】
(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6个.
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2},{1,3}两个.因此所求事件的概率P=
(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4
4),共16个.
又满足条件n≥m+2的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共3个,
所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=
故满足条件n<
m+2的事件的概率为1-P1=1-
【总结与反思】
(1)本题在审题时,要特别注意细节,使解题过程更加完善.如第
(1)问,注意两球一起取,实质上是不分先后,再如两球编号之和不大于4等;
第
(2)问,有次序.
(2)在列举基本事件空间时,可以利用列举、画树状图等方法,以防遗漏.同时要注意细节,如用列举法,第
(1)问应写成{1,2}的形式,表示无序,第
(2)问应写成(1,2)的形式,表示有序.(3)本题解答时,存在格式不规范,思维不流畅的严重问题.如在解答时,缺少必要的文字说明,没有按要求列出基本事件.在第
(2)问中,由于不能将事件n<
m+2的概率转化成n≥m+2的概率,导致数据复杂、易错.所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求.
课程小结
1.基本事件的特点
2.古典概型
3.古典概型概率
如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是
;
如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=
.
4.古典概型的概率公式
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- 关 键 词:
- 古典