学年高中数学北师大版必修3章末综合测评3 概.docx
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学年高中数学北师大版必修3章末综合测评3概
章末综合测评(三) 概率
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列事件:
①如果a,b是实数,那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北风;③当x是实数时,x2≥0;④一个电影院某天的上座率超过50%,其中是随机事件的有( )
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
【解析】 由题意可知①③是必然事件,②④是随机事件.
【答案】 B
2.(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 分别确定n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)和m个两数的平方和小于1的数对所在的平面区域,再用随机模拟的方法和几何概型求出圆周率π的近似值.
因为x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn都在区间[0,1]内随机抽取,所以构成的n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)都在正方形OABC内(包括边界),如图所示.若两数的平方和小于1,则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对),故在扇形OAC内的数对有m个.用随机模拟的方法可得=,即=,所以π=.
【答案】 C
3.从含有3个元素的集合中任取一个子集,所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )
A.B.
C.D.
【解析】 所有子集共8个,其中含有2个元素的为{a,b},{a,c},{b,c},所以概率为.
【答案】 D
4.(2016·山东青岛一模)如图1所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角θ=.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是( )
图1
A.B.
C.D.
【解析】 易知小正方形的边长为-1,故小正方形的面积为S1=(-1)2=4-2,大正方形的面积为S=2×2=4,故飞镖落在小正方形内的概率P===.
【答案】 A
5.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4.从这4张卡片中随机抽取2张,则抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A.B.
C.D.
【解析】 基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6个,其中两数字之和为奇数的有(1,2),(2,3),(1,4),(3,4),所以概率为.
【答案】 C
6.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积不小于的概率是( )
A.B.
C.D.
【解析】 如图,设点M为AB的三等分点,要使△PBC的面积不小于,则点P只能在AM上选取,由几何概型的概率公式得所求概率==.
【答案】 A
7.(2016·东北八校二模)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 任意找两人玩这个游戏,共有6×6=36种猜数字结果,其中满足|a-b|≤1的有如下情形:
①a=1,b=1,2;②a=2,b=1,2,3;③a=3,b=2,3,4;④a=4,b=3,4,5;⑤a=5,b=4,5,6;⑥a=6,b=5,6,总共16种,故他们“心有灵犀”的概率为P==.
【答案】 D
8.ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A.B.1-
C.D.1-
【解析】 长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为,因此取到的点到O的距离小于1的概率为,取到的点到O的距离大于1的概率为=1-.
【答案】 B
9.设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数,则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实数根的概率为( )
A.B.
C.D.
【解析】 若方程有实根,则a2-8>0.a的所有取值情况共6种,满足a2-8>0的有4种情况,故P==.
【答案】 A
10.(2016·石家庄高一检测)有分别写着数字1到120的120张卡片,从中取出1张,这张卡片上的数字是2的倍数或是3的倍数的概率是( )
A.B.
C.D.
【解析】 是2的倍数的数有60个,是3的倍数的数有40个,是6的倍数的数有20个,∴P==.
【答案】 D
11.(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,p2为事件“xy≤”的概率,则( )
A.p1 C. 【解析】 如图,满足条件的x,y构成的点(x,y)在正方形OBCA内,其面积为1.事件“x+y≤”对应的图形为阴影△ODE,其面积为××=,故p1=<,事件“xy≤”对应的图形为斜线表示部分,其面积显然大于,故p2>,则p1< 【答案】 D 12.如图2所示,在矩形ABCD中,AB=5,AD=7.现在向该矩形内随机投一点P,则∠APB>90°的概率为( ) 图2 A.B.π C.πD. 【解析】 由于是向该矩形内随机投一点P,点P落在矩形内的机会是均等的,故可以认为矩形ABCD为区域Ω.要使得∠APB>90°,需满足点P落在以线段AB为直径的半圆内,以线段AB为直径的半圆可看作区域A.记“点P落在以线段AB为直径的半圆内”为事件A,于是求∠APB>90°的概率转化为求以线段AB为直径的半圆的面积与矩形ABCD的面积的比,依题意,得μA=π×2=,矩形ABCD的面积μΩ=35,故所求的概率为P(A)==. 【答案】 B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.某产品分一、二、三级,其中一、二级是正品,若生产中出现正品的概率是0.98,二级品的概率是0.21,则出现一级品与三级品的概率分别是________,________. 【解析】 由题意知出现一级品的概率是0.98-0.21=0.77,又由对立事件的概率公式可得出现三级品的概率是1-0.98=0.02. 【答案】 0.77 0.02 14.如图3的矩形,长为5m,宽为2m,在矩形内随机地撒300粒黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为138粒,则我们可以估计出阴影部分的面积为________m2. 图3 【解析】 由题意得=,S阴=. 【答案】 15.在箱子中装有十张卡片,分别写有1到10的十个整数;从箱子中任取一张卡片,记下它的读数x,然后再放回箱子中;第二次再从箱子中任取一张卡片,记下它的读数y,则x+y是10的倍数的概率为________.【导学号: 63580044】 【解析】 先后两次取卡片,形成的有序数对有(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,10),…,(10,10),共计100个.因为x+y是10的倍数,这些数对应该是(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1),(10,10)共10个,故x+y是10的倍数的概率为P==. 【答案】 16.(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为________. 【解析】 ∵方程x2+2px+3p-2=0有两个负根, ∴解得 故所求概率P==. 【答案】 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料,若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率. 【解】 将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5种饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10种,令D表示此人被评为优秀的事件,E表示此人被评为良好的事件,F表示此人被评为良好及以上的事件,则 (1)P(D)=. (2)P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=. 18.(本小题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为x,第二次出现的点数为y. (1)求事件“x+y≤3”的概率; (2)求事件“|x-y|=2”的概率. 【解】 设(x,y)表示一个基本事件,则掷两次骰子包括(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,5),(6,6),共36个基本事件. (1)用A表示事件“x+y≤3”,则A的结果有(1,1),(1,2),(2,1),共3个基本事件. ∴P(A)==. 即事件“x+y≤3”的概率为. (2)用B表示事件“|x-y|=2”, 则B的结果有(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(6,4),(5,3),(4,2),(3,1)共8个基本事件. ∴P(B)==. 即事件“|x-y|=2”的概率为. 19.(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4,5的五个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个球被取出的可能性相等. (1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (2)求取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率. 【解】 设从甲、乙两个盒子中各取出1个球,编号分别为x,y,用(x,y)表示抽取的结果,结果有以下25种: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5). (1)取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下8种: (1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),故所求概率为P=,即取出的两个球上标号为相邻整数的概率为. (2)标号之和与标号之积都不小于5的结果有以下17种: (1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),故所求概率为P=, 故取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率是. 20.(本小题满分12分)把一颗骰子抛掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b.试就方程组解答下列各题: (1)求方程组只有一组解的概率; (2)求方程组只有正数解(x
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