高考文科数学重庆卷解析版.docx
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2014年普通高等学校招生考试(重庆卷)数学文科试题答案及解析
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】实部为横坐标,虚部为纵坐标。
2.在等差数列中,,则
A.5B.8C.10D.14
【答案】B
【解析】将条件全部化成:
解得,于是.考察关于等差数列的基本运算,属于简单题.
3.某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本。
已知从高中生中抽取70人,则为()
A.100B.150C.200D.250
【答案】A
【解析】高中生在总体中所占的比例,与样本中所占的比例相等,也就是有:
。
考察分层抽样的简单计算.
4.下列函数为偶函数的是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】利用奇偶性的判断法则:
。
即可得到答案为D。
考察最简单的奇偶性判断.
5.执行如图所示的程序框图,则输出的值为()
A.10B.17C.19D.36
【答案】C
【解析】按照程序框图问题的计算方法,按照程序所给步骤进行计算:
【点评】:
本题考查了对程序框图循环结构的理解。
何时开始运算,运算几次能够达到条件是求出的关键。
属于容易题。
6.已知命题
对任意的,总有;
是方程的根.
则下列命题为真命题的是()
A.B.C.D.
【答案】A.
【解析】易知命题P是真命题,q是假命题。
为假命题,为真命题。
所以为真命题。
此题考查复合命题的真假性判断。
【点评】:
本题主要考查了四种命题复合之后的关系,在对符号进行区分的时候容易出错。
属于容易题。
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.12B.18C.24D.30
【答案】:
C
【解析】:
根据三视图,我们可以得到原图如图PDACBB1所示,可以看作是底面为直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥B1-A1C1PD的组合体,因此V=V柱+V锥=AC×AB×12×AA1+13×PD×DA1×A1B1=3×4×12×2+13×3×3×4=24,
【点评】:
此题考查几何体三视图,关键是会根据三视图还原原图,难度中等。
8.设分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为()
A.B.C.4D.
【答案】D
【解析】由题意,同除以得。
【点评】本题考查双曲线的定义、离心率问题,首先由题意建立关于的齐次方程,解出再代入离心率公式即可,属于中档难度。
9.若,则的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】,条件足以说明。
经过化简得:
,即,于是
【点评】本题考查了对数的定义及运算,均值不等式的应用。
10.已知函数fx=1x+1-3,xϵ-1,0,x,xϵ0,1,,且gx=fx-mx-m在-1,1内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是()
A.(-94,-2]∪(0,12];B.(-114,-2]∪(0,12];
C.(-94,-2]∪(0,23];D.(-114,-2]∪(0,23]
【答案】A
【解析】函数的图像为下图所示的黑色图像部分.
gx=fx-mx-m在-1,1内的零点可看成函数与直线的交点,又知道该直线过定点.要有两个交点,直线的位置必须是如图所示的红色直线之间或是蓝色直线之间。
计算出这些直线的斜率,可以得到满足条件的直线的斜率的范围是(-94,-2]∪(0,12]
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡相应位置上。
11.已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B=.
【答案】{3,5,13}
【解析】根据集合的运算,两个集合的交集就是两个集合中都有的元素,根据题意3,5,13在A集合与B集合中都出现了,所以A∩B={3,5,13}
【点评】本题考查集合的运算,难度较低,但考生在审题的时候容易错把交集看成补集,需要注意。
12.已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),b=10则a.b=.
【答案】10
【解析】根据向量的数量积公式与向量模长公式:
a.b=abcosa,b,a=x2+y2
得a=(-2)2+(-6)2=40,
向量积:
a.b=abcosa,b=a.b=4010cos60°=10。
【点评】此题考查向量运算,难度较低,主要是公式的运用。
13.将函数fx=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图像,则fπ6=.
【答案】22
【解析】根据函数的伸缩变换规则:
函数fx=sin(ωx+φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半变成函数fx=sin(2ωx+φ)的图像,再根据平移变换规则:
向右平移π6个单位长度得到函数fx=sin2ωx-π6+φ=fx=sin(2ωx-πω3+φ)的函数图像,因此fx=sin2ωx-πω3+φ=sinx,得到ω=12,-πω3+φ=-π6+φ=2kπ,因为-π2≤φ<π2,所以φ=π6,因此得到fx的解析式为fx=sinωx+φ=fx=sin12x+π6,所以fπ6=sinπ4=22
【点评】此题考查三角函数的平移变换和伸缩变换,难度中等,关键是要记住三角函数图像变换规则,三角函数横坐标缩短为原来的一半是在x前面乘以2,而不是除以2,这点学生容易记错。
14.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆
x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为。
【答案】a=0或a=6
【解析】将圆的方程转换成标准方程得(x+1)2+(y-2)2=9,圆C的圆心为(-1,2),半径为3,如图所示,因为直线x-y+a=0与圆C的交点A,B满足AC⊥BC,所以∆ABC为等腰直角三角形,则弦AB的长度为32,且C到AB的距离为322,而由点到直线的距离公式得C到AB的距离为d=|-1-2+a|12+12=|-3+a|2,所以得|-3+a|2=322,|-3+a|=3,所以a=0或a=6,
【点评】此题考查直线与圆,关键在于运用点到直线的距离公式,而有的学生会想不到用距离公式来计算,难度中等。
15.某校早上8:
00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上
7:
30~7:
50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为。
(用数字作答)
【答案】932
【解析】这是一个几何概型的题目,由题意可知有两个变量,因此是与面积有关的几何概型,如图建立平面直角坐标系,分别设小张到达学校的时间是x,小王到达学校的时间为y,则x,y满足0≤x≤20,0≤y≤20,那么小张和小王到达学校的情况可以用如图中的正方形表示,而小张比小王至少早到5分钟可以用不等式x-y≥5表示,即图中的阴影部分,则小张比小王至少早5分钟到校的概率P=S阴影S正方形=15×15×1220×20=932。
【点评】此题考查几何概型,关键是会区分几何概型的类型,此题为与面积有关的几何概型,关键是找到变量以及变量之间的关系,建立坐标系,难度中等。
三、解答题:
本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分13分.(Ι)小问5分,(ΙΙ)小问8分)
已知是以首项为1,公差为2的等差数列,是的前项和.
(Ι)求和
(ΙΙ)设是以2为首项的等比数列,公比满足,求的通项公式及其前项和。
【答案】(Ι);(ΙΙ)
【解析】(Ι)此题是对等差数列通项和前项和公式的直接考察,直接带入即可。
(ΙΙ)由
(1)知,,故,
【点评】整道题都是属于简单基础题,纯粹是公式的套用.学生感到犯难的,是没有解方程的意识,以及看到那一大串式子所带来的恐惧感.
17.本小题满分13分(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问4分;(III)小问5分。
20名学生某次学生考试成绩(单位:
分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)分别求出成绩落在与中的学生人数;
(3)从成绩在的学生中任选2人,求此2人的成绩都在的概率。
【答案】(Ⅰ)(ΙΙ)2,3(Ⅲ)
【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图可知组距为10,频率总和为1可列如下等式
【点评】此题主要考查的频率分布直方图,较为简单注意审题.
18.(本小题满分13分.(Ι)小问5分,(ΙΙ)小问8分)
在∆ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8
(Ι)若a=2,b=52,求cosC的值;
(ΙΙ)若sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC,且∆ABC的面积S=92sinC,求a和b的值.
【答案】(Ι)-15(ΙΙ)a=3,b=3
【解析】(Ι)由题意可知:
c=8-a+b=27.
由余弦定理得:
cosC=a2+b2-c22ab=22+(52)2-(72)22∙2∙52=-15.
(ΙΙ)由sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC可得:
sinA1+cosB2+sinB1+cosA2=2sinC
化简得:
sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC
因为sinAcosB+cosAsinB=sinA+B=sinC,所以sinA+sinB=3sinC.
由正弦定理可知:
a+b=3c.又因a+b+c=8,故a+b=6.
由于S=12absinC=92sinC,所以ab=9,从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.
19.本小题满分12分(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分。
已知函数fx=x4+ax-lnx-32,其中a∈R,且曲线y=fx在点(1,f1)处的切线垂直于直线y=12x
(Ι)求a的值;
(ΙΙ)求函数fx的单调区间和极值。
【答案】(Ι)a=54(ΙΙ)fx的单调递增区间为(5,+∞);单调递减区间为(0,5).
并在x=5处取得极小值-ln5
【解析】(Ι)对f(x)求导得f‘x=14-ax2-1x,
因为曲线y=fx在点(1,f1)处的切线垂直于直线y=12x
所以f‘1=14-a1-11=-2
解得:
a=54
(ΙΙ)fx=x4+54x-lnx-32,其定义域为(0,+∞)
f‘x=14-54x2-1x=x2-4x-54x2=(x-5)(x+1)4x2
令f‘x≥0解得x≤-1或x≥5
所以fx的单调递增区间为(5,+∞);单调递减区间为(0,5).
并在x=5处取得极小值f5=54+520-ln5-32=-ln5,
20.本小题满分12分(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分。
如图,四棱锥中,底面是以为中心的菱形,,,为上一点,且
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若,求四棱锥的体积
【答案】(Ⅰ)略,在解析中呈现(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)因为底面,底面,故。
因为是以为中心的菱形,,所以。
又因为,所以,
(Ⅱ)由
(1)可知,,,在中,利用余弦定理可以求得.
设,可得,
又因为,解得,即.
所以四棱锥的体积为
【点评】总体来说难度不大,但是计算量稍高。
特别是对平面几何的计算有很高的要求。
而对于立体几何中的内容涉及不多。
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