高考试题数学文四川卷word版解析.doc
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2013年普通高等学校招生全国统一考试
(四川卷)数学(文史类)
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,
只有一个是符合题目要求的。
1、设集合,集合,则()
(A)(B) (C)(D)
【答案】选B.
【解析】本题考查用列举法表示的集合的交运算.A、B两集合中
只有一个公共元素2,∴A∩B={2},选B.
2、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是()
(A)棱柱
(B)棱台
(C)圆柱
(D)圆台
【答案】选D.
【解析】由俯视图可排除A、B,由正视图可排除C,选D.
3、如图,在复平面内,点表示复数,则图中表示的共轭复数的点是()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】选B.
【解析】若(),则,选B.
4、设,集合是奇数集,集合是偶数集。
若命题,则()
(A)(B)
(C)(D)
【答案】选C.
【解析】本题考查命题的否定,将改为,将改为,选C.
5、抛物线的焦点到直线的距离是()
(A)(B) (C)(D)
【答案】选D.
【解析】抛物线的焦点为,则到直线的距离,选D.
6、函数的部分图象如图所示,
则的值分别是()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】选A.
【解析】由图可知,,,又点在图像上,
则,又,则,选A.
7、某学校随机抽取个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示。
以组距为将数据分组成,,…,,时,所作的频率分布直方图是()
【答案】选A.
【解析】首先由题意可知,排除C、D,由图可知,,的频数分别为,则相应的
频率为,,又频率=组距*高,所以相应的高为,,排除B,选A.
8、若变量满足约束条件且的最大值为,最小值为,
则的值是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】选C.
【解析】作出可行域,如图,则在A点取得最大值,在B点取得最小值,
则,选C.
9、从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】选C.
【解析】由题意可知,,则,又,
则,即,所以,选C.
10、设函数(,为自然对数的底数)。
若存在
使成立,则的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】选A.
【解析】若在上恒成立,则,
则在上无解;
同理若在上恒成立,则。
所以在上有解等价于在上有解,
即,
令,所以,
所以.
第二部分(非选择题共100分)
注意事项:
必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
答在试题卷上无效。
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11、的值是____________。
【答案】.
【解析】.
12、如图,在平行四边形中,对角线与交于点,,
则____________。
【答案】.
【解析】,
则.
13、已知函数在时取得最小值,则____________。
【答案】.
【解析】因为,,
当且仅当,即,解得.
14、设,,则的值是____________。
【答案】.
【解析】,则,又,
则,.
15、在平面直角坐标系内,到点,,,
的距离之和最小的点的坐标是_______。
【答案】.
【解析】直线,,则直线与直线的交点为所求,
而交点为.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
在等比数列中,,且为和的等差中项,
求数列的首项、公比及前项和。
【答案】,,
【解析】由题意可知,,
即,
解得,所以.
17、(本小题满分12分)
在中,角的对边分别为,
且。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影。
【答案】,
【解析】(Ⅰ)依题意可知
所以;
(Ⅱ)由正弦定理,,则,
又由余弦定理有,解得或(舍),
又向量在方向上的投影.
18、(本小题满分12分)
某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生。
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率;
(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行次后,统计记录了输出的值为的频数。
以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。
甲的频数统计表(部分)
运行
次数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
…
…
…
…
运行
次数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
…
…
…
…
当时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。
【答案】(Ⅰ),,(Ⅱ)乙编写的程序更符合算法要求
【解析】(Ⅰ)当时,即输出的数为奇数,奇数有个,则;
当时,即输出的数为能整除的偶数,
有个,则;当时,
即输出的数为剩下的个,则,
即,,;
(Ⅱ)甲:
乙:
根据频率的趋势与概率可知,乙编写的程序更符合算法要求。
19、(本小题满分12分)
如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,分别是线段的中点,是线段上异于端点的点。
(Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,
说明理由,并证明直线平面;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,求三棱锥的
体积。
(锥体体积公式:
,其中为底面面积,为高)
【答案】(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由题意可知,直线,又,是的中点,则,
又在三棱柱中,,且,
则,所以直线平面;
(Ⅱ)因为,则上任意一点到面的距离相等,
则.
又,,
则,,则,
所以.
20、(本小题满分13分)
已知圆的方程为,点是坐标原点。
直线与圆交于两点。
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)设是线段上的点,且。
请将表示为的函数。
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)几何法:
直线与圆有两个交点,所有圆心到直线的距离小于半径.
即或,
所以的取值范围为.
代数法:
直线与圆有两个交点,方程有两解,
即有两根,
或,
所以的取值范围为.
(Ⅱ)在直线上,所以,直线方程:
,
设.,
同理,
,
,即,
得.
21、(本小题满分14分)
已知函数,其中是实数,设,
为该函数图象上的两点,且。
(Ⅰ)指出函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,证明:
;
(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围。
【答案】
【解析】(Ⅰ),
令,得。
又,
的单调增区间为;减区间为。
(Ⅱ)由(Ⅰ),
,
由题意得,
,
,
(Ⅲ)设上一点在切线上,且直线与抛物线切于轴左侧,
则只有一个负解,
有唯一负根,
有唯一负根,
且,
令,
在上恒成立,
在上递减,故
的取值范围为。
-10-
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