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平行四边形的两组对角分别______;
两邻角____;
平行四边形的面积=底边长×
______.
3.在□ABCD中,若∠A-∠B=40°
,则∠A=______,∠B=______.
4.若平行四边形周长为54cm,两邻边之差为5cm,则这两边的长度分别为______.
5.若□ABCD的对角线AC平分∠DAB,则对角线AC与BD的位置关系是______.
6.如图,□ABCD中,CE⊥AB,垂足为E,如果∠A=115°
,则∠BCE=______.
6题图7题图9题图
7.如图,在□ABCD中,DB=DC、∠A=65°
,CE⊥BD于E,则∠BCE=______.
8.若在□ABCD中,∠A=30°
,AB=7cm,AD=6cm,则S□ABCD=______.
选择题
9.如图,将□ABCD沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F处,则下列结论不一定成立的是().
A、AF=EFB、AB=EFC、AE=AFD、AF=BE
10.如图,下列推理不正确的是().
A、∵AB∥CD∴∠ABC+∠C=180°
B、∵∠1=∠2∴AD∥BC
C、∵AD∥BC∴∠3=∠4D、∵∠A+∠ADC=180°
∴AB∥CD
11.平行四边形两邻边分别为24和16,若两长边间的距离为8,则两短边间的距离为().
A、5B、6C、8D、12
解答题
12.已知:
如图,□ABCD中,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F.求证:
DE=BF.
13.如图,在□ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADE的平分线交AB于点F,试判断AF与CE是否相等,并说明理由.
14.已知:
如图,E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点.
(1)求证:
DE=FB;
(2)若DE、CB的延长线交于G点,求证:
CB=BG.
15.已知:
如图,□ABCD中,E、F是直线AC上两点,且AE=CF.
求证:
(1)BE=DF;
(2)BE∥DF.
16.已知:
□ABCD中,AB=5,AD=2,∠DAB=120°
,若以点A为原点,直线AB为x轴,如图所示建立直角坐标系,试分别求出B、C、D三点的坐标.
四、总结反思,拓展升华
1、平行四边形的性质
2、平行四边形性质的证明过程
3、质疑:
平行四边形还有哪些性质?
五、教学反思
平行四边形的性质
(二)导学案
1.理解平行四边形中心对称的特征,掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2.能综合运用平行四边形的性质解决有关计算问题和简单的证明题.
3.培养推理论证能力和逻辑思维能力.
平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用.
综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
一、复习旧知,揭示课题
1.什么样的四边形是平行四边形?
四边形与平行四边形的关系是:
2.平行四边形的性质:
3、提出问题,揭示课题
二、活动演示,探索新知
1.在纸上画
ABCD,并连接对角线AC、BD交于点O.在点O处钉一个图钉,将
ABCD绕点O旋转
,观察它还和原来的图形完全重合吗?
你还能发现平行四边形的什么性质吗?
2.得出结论并证明
3.例题解析
已知四边形ABCD是平行四边形,AB=10cm,AD=8cm,AC⊥BC,求BC、CD、AC、OA的长以及
ABCD的面积.
1.平行四边形一条对角线分一个内角为25°
和35°
,则4个内角分别为_____。
2.□ABCD中,对角线AC、BD交于O,若AC=8,BD=6,则边AB的取值_____。
3.平行四边形周长是40cm,则每条对角线长不能超过______cm.
4.如图,在□ABCD中,AE、AF分别垂直于BC、CD,若∠EAF=30°
,AB=6,AD=10,则CD=______;
AB与CD的距离为______;
AD与BC的距离为______;
∠D=______.
5.□ABCD的周长为60cm,其对角线交于O点,若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm,则AB=______,BC=______.
6.在□ABCD中,AC与BD交于O,若OA=3x,AC=4x+12,则OC的长为______.
7.在□ABCD中,CA⊥AB,∠BAD=120°
,若BC=10cm,则AC=______,AB=______.
8.在□ABCD中,AE⊥BC于E,若AB=10cm,BC=15cm,BE=6cm,则□ABCD的面积为______.
9.有下列说法:
①平行四边形具有四边形的所有性质;
②平行四边形是中心对称图形;
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形;
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.
其中正确说法的序号是().
A、①②④B、①③④C、①②③D、①②③④
10.平行四边形一边长12cm,那么它的两条对角线的长度可能是().
A、8cm和16cmB、10cm和16cmC、8cm和14cmD、8cm和12cm
11.以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有()个.
A、1B、2C、3D、无数
12.在□ABCD中,点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点,点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1,则□ABCD的面积为()
A、2B、
C、
D、15
13.根据如图所示的
(1),
(2),(3)三个图所表示的规律,依次下去第n个图中平行四边形的个数是()
A3nB3n(n+1)C6nD6n(n+1)
……
如图,在□ABCD中,从顶点D向AB作垂线,垂足为E,且E是AB的中点,已知□ABCD的周长为8.6cm,△ABD的周长为6cm,求AB、BC的长.
如图,在□ABCD中,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,∠2=30°
,求∠1、∠3的度数.
如图,O为□ABCD的对角线AC的串点,过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N,点E、F在直线MN上,且OE=OF.
(1)图中共有几对全等三角形?
请把它们都写出来;
(2)求证:
∠MAE=∠NCF.
17.已知:
如图,在□ABCD中,点E在AC上,AE=2EC,点F在AB上,BF=2AF,若△BEF的面积为2cm2,求□ABCD的面积.
1、平行四边形对角线的性质及证明
2、质疑
平行四边形的判定
(一)导学案
1.理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法.
2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.
3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.
4..经历平行四边形判定条件的探索过程,发展学生的合情推理意识和表述能力。
理解和掌握平行四边形的判定定理。
几何推理方法的应用。
一、复习性质,提示问题
1.平行四边形定义是什么?
2.平行四边形性质是什么?
3.提示问题:
怎样判断一个四边形是否是平行四边形呢?
二、操作演示,探讨新知
1.想一想:
对于平行四边形性质的逆定理成立吗?
2.小明的父亲手中有一些木条,他想通过适当的测量、割剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗?
请通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件,思考并探讨:
(1)你能适当选择手中的板条搭建一个平行四边形吗?
(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形?
(3)你能说出你的做法及其道理吗?
(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法?
你能用文字语言表述出来吗?
(5)你还能找出其他方法吗?
3.归纳:
平行四边形判定1:
平行四边形判定2:
4.例题解析
已知:
如图
ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上的两点,并且AE=CF.
四边形BFDE是平行四边形.(想出多种办法证明)
1.平行四边形的判定方法有:
从边的条件有:
①两组对边__________的四边形是平行四边形;
②两组对边__________的四边形是平行四边形;
③一组对边__________的四边形是平行四边形.
从对角线的条件有:
④两条对角线__________的四边形是平行四边形.
从角的条件有:
⑤两组对角______的四边形是平行四边形.
注意:
一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形.(填“一定”或“不一定”)
2.四边形ABCD中,若∠A+∠B=180°
,∠C+∠D=180°
,则这个四边形______(填“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形.
3.一个四边形的边长依次为a、b、c、d,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形为______.
4.四边形ABCD中,AC、BD为对角线,AC、BD相交于点O,BO=4,CO=6,当AO=______,DO=______时,这个四边形是平行四边形.
5.如图,四边形ABCD中,当∠1=∠2,且______∥______时,这个四边形是平行四边形.
6.下列命题中,正确的是().
A、两组角相等的四边形是平行四边形
B、一组对边相等,两条对角线相等的四边形是平行四边形
C、一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
7.已知:
四边形ABCD中,AC与BD交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法:
①如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
②如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
③如果再加上条件“OA=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”,那么四边形ABCD一定是平行四边形.其中正确的说法是().
A、①②B、①③④C、②③D、②③④
8.能确定平行四边形的大小和形状的条件是().
A、已知平行四边形的两邻边B、已知平行四边形的相邻两角
C、已知平行四边形的两对角线D、已知平行四边形的一边、一对角线和周长
9.如图,在□ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,已知AE=CF,M、N是DE和FB的中点,求证:
四边形ENFM是平行四边形.
10.如图,在□ABCD中,E、F分别是边AD、BC上的点,已知AE=CF,AF与BE相交于点G,CE与DF相交于点H,求证:
四边形EGFH是平行四边形.
11.如图,在□ABCD中,E、F分别在边BA、DC的延长线上,已知AE=CF,P、Q分别是DE和FB的中点,求证:
四边形EQFP是平行四边形.
12.如图,在□ABCD中,E、F分别在DA、BC的延长线上,已知AE=CF,FA与BE的延长线相交于点R,EC与DF的延长线相交于点S,求证:
四边形RESF是平行四边形.
13.已知:
如图,四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,点E在BC上,点F在AD上,AF=CE,EF与对角线BD交于点O,求证:
O是BD的中点.
如图,△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连结AE、CF.求证:
CF∥AE.
如图,△ABC,D是AB的中点,E是AC上一点,EF∥AB,DF∥BE.
(1)猜想DF与AE的关系;
(2)证明你的猜想.
1、平行四边形的判定定理
2、学习几何图形的方法
平行四边形的判定
(二)导学案
1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.
2.会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题.
3.熟练掌握平行四边形判定的五种方法,并通过定理,习题的证明提高自己的逻辑思维能力;
进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联系。
能根据不同条件正确地选择判定方法.
几何推理方法的应用;
平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用.
一、复习导入,揭示课题
1.平行四边形的性质
2.平行四边形的判定方法
二、探究新知,归纳小结
1.【探究】取两根等长的木条AB、CD,将它们平行放置,再用两根木条BC、AD加固,得到的四边形ABCD是平行四边形吗?
2.结论
3.小结:
现在你有几种方法判断一个四边形是平行四边形?
1.如图,□ABCD中,CE=DF,则四边形ABEF是____________.
1题图2题图5题图
2.如图,□ABCD,EF∥AB,GH∥AD,MN∥AD,图中共有____个平行四边形.
3.已知三条线段长分别为10,14,20,以其中两条为对角线,其余一条为边可以画出个平行四边形。
4.已知三条线段长分别为7,15,20,以其中一条为对角线,另两条为邻边,可以画出______个平行四边形.
5.已知:
如图,四边形AEFD和EBCF都是平行四边形,则四边形ABCD是______.
6.能判定一个四边形是平行四边形的条件是().
A一组对边平行,另一组对边相等B一组对边平行,一组对角互补
C一组对角相等,一组邻角互补D一组对角相等,另一组对角互补
7.能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是().
A、AD=BC,AB∥CDB、∠A=∠B,∠C=∠D
C、AB=BC,AD=DCD、AB∥CD,CD=AB
8.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是:
∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为().
A、1∶2∶3∶4B、1∶4∶2∶3C、1∶2∶2∶1D、1∶2∶1∶2
9.如图,E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点,则图中平行四边形的个数共有().
A2个B3个C4个D5个
10.□ABCD的对角线的交点在坐标原点,且AD平行于x轴,若A点坐标为(-1,2),则C点的坐标为().
A、(1,-2)B、(2,-1)C、(1,-3)D、(2,-3)
11.如图,□ABCD中,对角线AC、BD交于点O,将△AOD平移至△BEC的位置,则图中与OA相等的其他线段有().
A、1条B、2条C、3条D、4条
第11题图第12题图
如图,在□ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AE=CF.请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可).
(1)连结______;
(2)猜想:
______=______;
(3)证明:
13.如图,在△ABC中,EF为△ABC的中位线,D为BC边上一点(不与B、C重合),AD与EF交于点O,连结EF、DF,要使四边形AEDF为平行四边形,需要添加条件(只添加一个条件)证明。
如图,△ABC中,AB=AC=10,D是BC边上的任意一点,分别作DF∥AB交AC于F,DE∥AC交AB于E,求DE+DF的值.
如图,在等边△ABC中,D、F分别为CB、BA上的点,且CD=BF,以AD为边作等边三角形ADE.
(1)△ACD≌△CBF;
(2)四边形CDEF为平行四边形.
16.若一次函数y=2x-1和反比例函数
的图象都经过点(1,1).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)已知点A在第三象限,且同时在两个函数的图象上,利用图象求点A的坐标;
(3)利用
(2)的结果,若点B的坐标为(2,0),且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形,请你直接写出点P的坐标.
17.如图,点A(m,m+1),B(m+3,m-1)在反比例函数
的图象上.
(1)求m,k的值;
(2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点,以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数表达式.
我们学习了平行四边形的定义,性质、判定、画法。
平行四边形的性质和判定尤为重要,同学们要掌握好。
平行四边形的判定(三)导学案
1.能应用平行四边形的性质及判定方法来证明实际问题。
2.掌握三角形中位线的性质,并能应用来解决实际问题。
3.掌握三角形与平行四边形的相互转化,学会用添辅助线。
应用平行四边形的性质和判定得出三角形的中位线性质。
会用添加辅助线,将三角形与平行四边形之间的合理转化。
1.平行四边形的判定
2.想一想将任意一个三角形分成四个全等的三角形,你是如何切割的?
3.图中有几个平行四边形?
你是如何判断的?
二、师生互动,共探新知
1.如图,点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点,求证:
DE∥BC且DE=
BC.
分析:
所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.
2.你还有其他的辅助线的做法吗?
3.提示三角形中位线定义:
3.思考:
①一个三角形的中位线共有几条?
②三角形的中位线与中线有什么区别?
三角形的中位线与第三边有怎样的关系?
1.已知:
如图
(1),在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
四边形EFGH是平行四边形
归纳:
顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.
2.如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果测得MN=20m,那么A、B两点的距离是m,理由是.
2.已知:
三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm,求连结各边中点所成三角形的周长.
3.一个三角形的周长是135cm,过三角形各顶点作对边的平行线,则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm.
4.已知:
△ABC中,点D、E、F分别是△ABC三边的中点,如果△DEF的周长是12cm,那么△ABC的周长是cm.
5.如图,△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,
(1)若EF=5cm,则AB=cm;
若BC=9cm,则DE=cm;
(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?
证明你的猜想.
6.已知:
如图,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:
四边形EFGH是平行四边形.
1、平行四边形的性质和判定
2、三角形中位线定理及证明
3、有关中点常规辅助线的作法
专题:
平行四边形的性质和判定的小结1
1..如图3,若AC、BD、EF两两互相平分于点O,请写出图中的一对全等三角形(只需写一对即可)______________________.
2.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______.
3.已知四边形ABCD中,AD∥BC,分别添加下列条件,①AB∥CD,②AB=DC,③AD=BC,④∠A=∠C,⑤∠B=∠C,能使四边形ABCD成为平行四边表的条件的序号是.
4.如图4,已知□ABCD的对角线交点是O,直线EF过O点,且平行于BC,直线GH过且平行于AB,则图中共有()
5.平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.
(1)图中有哪些三角形全等?
有哪些相等的线段?
(2)若平行四边形ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.
6.如图,在格点图中,以格点A、B、C、D、E、F为顶点,你能画出多少个平行四边形?
试在图中画出来.
7.如图在ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知点E、F分别为AO、OC的中点,证明:
四边形BFDE是平行四边形.
8.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,F是DE延长线上的点,且EF=DE,则图中的平行四边形有哪些?
说说你的理由.
9.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E是边DA的延长线上一点,且AE=AD,连结EC,分别交AB,BD于点F,G,证明:
AF=BF.
10、如图所示,
ABCD中的对角线AC、BD相交于O,
EF经过点O与AD延长线交于E,与CB延长线交于F。
求证:
OE=OF
11、如图所示,在ΔABC中,AE平分∠BAC交BC于E,DE∥AC交AB于D,
过D作DF∥BC交AC于F。
AD=FC
12.如图,
ABCD中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,
.
(1)求证:
DF=BG;
(2)求
的度数.
13、如图所示,在
ABCD中,P是AC上任意一点,求证:
14、如图所示,
ABCD中,E、F分别为AD、BC的中点,AF与BE相交于G,DF与CE相交于H,连结EF、GH。
EF、GH互相平分。
15、如图,在□ABCD中,E、F、G、H分别是四条边上的点,且满足BE=DF,CG=AH,连接EF、GH。
EF与GH互相平分。
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