《反比例函数》教学设计及说明文档格式.docx

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（1）用数学表达式表示日常生活的一些实际问题，并能够分析变量之间的变化规律；

（2）能在众多的具体的函数表达式中找出一次函数、正比例函数以及蕴含反比例关系的函数，通过对这些蕴含反比例关系的具体函数实行分析，抽象概括出反比例函数概念；

（3）通过对反比例函数的概念理解，根据已知条件更准确、规范的确定一些实际问题的函数表达式；

（4）通过大量实例感受反比例函数是一种反映现实世界特定数量关系的数学模型，体会类比、归纳、函数等思想方法对学习数学知识的重要性.

学情分析：

在前面的学习过程中，学生对函数的概念，函数所反映的是两个变量之间的关系的内涵有了一定的了解，在已经学习了正比例函数、一次函数后，又一次学习函数，根据变量间的不同变化情况让学生们理解到了另一种函数——反比例函数.九年级学生已经具备了思维的完备性、深刻性、实践性、批判性等思维品质，但尚待提升，学生抽象概括水平也有限，对函数的意义的理解、数量变化规律的把握还有一定的难度，特别是对抽象的表达式中的变量的取值理解不深.所以本节课的教学难点是：

领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.在反比例函数概念的形成过程中，应注重充分利用学生已有的生活经验与背景知识，创设丰富的现实情境，同时充分让学生自主学习与合作交流相结合，通过举例、说理、交流等形式，内化、升华、巩固其知识，让学生揭示规律，形成水平.

教学支持条件分析：

（1）设计并应用PPT课件整合教学资源的同时协助学生直观理解反比例函数的概念

（2）各小组的答题板能直接观察到学生掌握知识和使用知识解决问题的水平，有利于教师了解学生的学情；

调动了学生学习的积极性，激发了学生学习的主动意识，真正做到把课堂时间还给了学生，学生成了课堂的主人；

锻炼了学生的心理承受水平，提升了学生思维敏捷水平，起到了榜样示范的作用，同时也有利于查漏补缺。

（3）采用小组合作学习模式，打破了教师垄断课堂信息源的局面，学生的主动性、创造性得到充分发挥，把学生由旁观者变为参与者。

在学生小组交流的基础上，适当地组织学生实行分析、比较得出结论。

一方面能够引导和协助学生提升所学知识的准确性，另一方面，每个学生都能够不同水准地体会自己是“发现者”、“研究者”、“探索者”，品尝到“学习成功的喜悦”，激起更浓厚的合作学习兴趣，以取得更大的进步，从而促动学生创新意识的培养和创新精神的提升。

（4）在教学中，利用初中生表现欲望强的特点，采用小组比赛的形式，展开小组竞赛，让学生在“赛中学”、“学中赛”，既能提升学习效率，扩大学生的知识面，又能在调动学生学习积极性的同时培养了学生集体主义观点和竞争意识.

教学过程设计：

一、创设情境，提出问题

[活动1]

同学们课余时间和自己的爸爸、妈妈逛过菜市场吧，下面老师带着你们到菜市场再去逛一逛，我们边逛边思考下列问题（大屏幕演示菜市场热闹场面）：

问题1说一说你们都喜欢吃什么菜？

问题210元钱分别能买每种蔬菜的重量一样吗？

为什么？

问题3设你买的一种蔬菜单价为x，相对应的所能购买的重量为y，则y与x满足怎样的关系式呢？

问题4妈妈喜欢吃1.5元/斤的茄子，如果买n斤，所花钱数y应如何表示？

问题5妈妈买菜已经用了25元，还想买5元/斤的鱼a斤，则总的花费y与a的关系式如何表示？

问题6妈妈买完菜准备回家，如果菜市场离家1000米，则妈妈到家所用的时间t与平均速度v之间的关系式如何表示？

[教学形式]：

学生独立思考完成问题3—问题6，学习小组成员达成共识后将每题得到的的表达式写在本组答题板上，所有学习小组完成后，各小组之间实行展示、交流

[设计意图]本着课程来源于生活的理念，选择学生所熟悉的菜市场购买蔬菜的场景，提出问题串，这些问题来自于学生生活圈子，符合学生最近发展区的认知规律，使学生感到亲切、自然，同时学生应用生活经验很容易能够解决这些问题.所以最大限度地激发学生的学习兴趣，提升学生思考问题的主动性和解决问题的水平，从而培养对数学学科的浓厚兴趣.让学生真正体会到生活处处皆数学，生活处处有函数.学生在答题板上板演的过程，就是学生主动参与学习的过程，既提升了学生的参与度，又发挥了学生的自由度，变调动学为主动学。

无论学习成绩好坏，学生都有自己的思维方式和解决问题的途径，通过板演能把这些情况展示出来，有利于教师对症下药，掌握学生思路上的偏差。

反应迅速、解题工整自然会给所有学生留下直观的第一印象，同时，存有问题的学生亦给其他同学留下“误区”的提醒，无论好与坏都起到了榜样示范的作用。

问题7我们利用数学的表达式描述了上述几个生活中的例子，同学们观察这四个表达式，思考下面几个问题：

（1）每个表达式中有几个变量？

（2）（学生通过观察会发现有两个变量）两个变量之间有联系吗？

能具体说一说它们之间的联系吗？

研究两个变量之间的关系我们通常用的是哪类数学模型？

（函数）每个表达式中出现的两个变量是函数关系吗？

（3）这里有你熟悉的函数吗？

另外的两个函数理解吗？

（通过问题串学生得到四个具体函数，有正比例函数、b不等于0的一次函数和反比例函数，其中有学生学习过的一次函数，即自变量x增大，因变量y增大的类型，另外两个函数学生通过比例关系能够得出随着自变量x增大，因变量y减小.）

[设计意图]上述层层递进的问题串，首先使学生进一步感受到函数是反映现实生活的一种有效模型，在原有函数知识的基础上，进一步深化对函数概念的理解，即明确两点：

第一，明确自变量和因变量的关系，在某变化过程中，有两个变量x，y，如果看成y随x的变化而变化，那么x称为自变量，y称为因变量；

如果看成x随y的变化而变化，那么y称为自变量，x称为因变量。

第二，函数定义的核心是“一一对应”，即给定一个自变量x的值就有唯一确定的因变量y的值和它对应，然后通过比较四个具体函数表述形式和变化规律，发现一次函数（包括正比例函数）与反比例函数的联系和区别，引导学生对具体的反比函数形成深刻的感性理解，为下面形成对反比例函数的理性理解垫定基础，并通过与一次函数、正比例函数对比使学生产生认知冲突，引出课题.

问题8从这节课开始我们要研究的一类新的函数——反比例函数（教师板书第五章反比例函数），请同学们回忆八年级上学期我们研究一次函数是从哪几个方面实行的？

我们研究反比例函数应该从哪些方面实行呢？

（这个章中我们首先研究反比例函数的概念、其次研究它的图象和性质，最后研究它的应用，本节课我们先来研究反比例函数概念.）

[设计意图：

初中阶段我们研究任何一类函数的基本思想方法都是先研究概念，然后研究其图象和性质，最后利用函数来解决问题，上述两个问题看似简单，一方面起到了知识的导入的作用，另一面使用类比的思想向学生渗透了研究初等函数的基本方法，为今后研究其它函数给出了思维方向.]

二．循序渐进，学习新知

（一）增强感性理解

[活动2]

请同学们看下面两个实际问题：

问题9我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时，你能写出I与R的关系式吗？

问题10某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t天完成，写出平均每天生产量w（件）与生产时间t（天）之间的函数表达式

问题11得到的这两个函数表达式与前面由问题串中得到的4个函数表达式，哪些表达式从形式上类似？

[设计意图]再通过两个生活中的实际问题得出两个具体的反比例函数，其目的是丰富具体的反比例函数的实例，增强学生对反比例函数的感性理解，为下面归纳、抽象反比例函数的概念做好铺垫.

（二）合作交流、抽象概念

[活动3]

问题12请同学们观察黑板上这4个表达式有什么共同的特点？

先独立思考，然后学习小组内互相交流想法，组内达成一致后将找到的特点分别写在本组答题板上，所有学习小组完成后，教师将每小组的答题板同时放到黑板上，学生再次将所有同学的智慧实行归纳总结

1．引导学生归纳总结共同特点.

①每个表达式中都有2个变量（因变量随自变量变化而变化）1个常数；

②表达式右面是分式形式且常数在分子位置、分母位置只有一个自变量；

③常数为正数且自变量增加因变量随之减小.（因为都是由实际问题得出的表达式）

[设计意图：

学生通过观察、比较、归纳发现四个具体的反比例函数共同特点，顺理成章地从对反比例函数的感性理解上升到理性理解，也自然的使用从特殊到一般的思维方法抽象归纳概括出反比例函数概念.从创设情景的问题串，到学生使用类比、比较等思想方法从多个函数中辨别出正比例函数、一次函数和反比例函数，再到从4个具体的反比函数中归纳出它们共同的特点，抽象出反比例函数的定义的过程，有效地突出重点，使学生领会了反比例函数的意义.]

2．由特例抽象概括定义

问题13这些具有相同特征的函数是一类函数叫做反比例函数，你能根据上述分析的特点类比着正比例函数的定义给反比例函数下一个定义吗？

（数学教学的目的和实质是对学生实行思维水平的培养，以提升他们分析和解决问题的水平。

本环节通过对若干实际问题的分析抽象出函数模型，再类比一次函数的定义归纳出反比例函数的定义，渗透了归纳与类比的数学思想）

问题14我们再认真分析反比例函数的定义中，定义中都告诉我们哪些本质的东西？

或者说你是怎样理解反比例函数概念的？

教师引导学生归纳总结（剖析概念）

①定义的双重性，即若y是x的反比例函数，则y=

，反过来如果y、x满足：

y=

，则y是x的反比例函数.

②

；

③等价形式：

（与正比例函数对比）

④y是x的反比例函数；

[深刻体会因变量是自变量的函数，区分y=

与x=

的不同]

[设计意图]使用类比思维方式让学生自己归纳定义，再一次使学生感受函数研究方法的一般性.通过对定义的剖析，使学生对反比例函数的表象理解上升到本质的理解，从而深刻理解反比例函数的概念，突破难点，为后续使用概念解决问题提供扎实的理论基础.

三、即时训练、巩固新知

（一）联系生活、深化概念

问题15反比例函数在生活中的应用是非常广泛的，你还能举出反比例函数的其他实例吗？

【选择学生所举实例中的某个实行说明：

例如s、v、t三者之间的关系：

当s一定时

v是t的反比例函数；

当v一定时s=vts是t的正比例函数】

让学生进一步感受反比例函数是一类反映现实世界特定数量关系的数学模型.学生利用已有的生活经验与刚刚形成的对反比例函数的理解，通过举例、说理、交流达到内化、升华、巩固反比例函数的意义，感受反比例函数与正比例函数的区别与联系，理解反比例函数概念的目的，渗透函数建模的数学思想.]

（二）小组竞赛，巩固新知

[活动4]

将学生分成三组，接下来我们三个组的同学来一场智慧大比拼，比赛分三个环节：

抢答题、必答题、选答题，总分最多的组获胜，请同学们听好比赛规则……

让学生在“赛中学”、“学中赛”，既巩固了所学的新知，提升了学习效率，又扩大学生的知识面，调动学习的积极性.小组竞赛的学习形式，把学生个体之间的竞争转化为集体之间的对抗，这样的设计既培养了学生集体主义观点，竞争意识，又避免了学生形成狭隘、自私的学习心理.]

1.抢答题：

判断下列函数中y是否为x的反比例函数，若是指出k的值；

若不是，请说明理由.

①

②

③

④

⑤

⑥

.

[学生总结：

解决此类判断题的依据是反比例函数的定义，体会数学定义的形式化思想；

其中第③⑤小题适时向学生渗透整体的数学思想]

进一步巩固反比例函数的概念，区分反比例函数与其它函数的不同之处.]

2．必答题：

一组：

一个游泳池蓄水60立方米，设放完池中的水所需时间为y小时，而每小时放水量为x立方米，写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？

二组：

北京市的总面积为

平方千米，写出人均占有土地面积s（平方千米/人）与全市总人口n（人）的函数关系式，并指出s是n的什么函数？

三组：

一个直角三角形两直角边长分别为x和y,其面积为2，请写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？

突出反比例函数与现实世界的密切的联系，加深理解反比例函数是刻画现实世界的重要数学模型.一方面使学生感受现实世界反比例函数大量存有，另一方面体会用反比例函数的知识能够分析和解决实际问题，渗透数学函数建模的思想.]

3．选答题：

①若y是x的反比例函数且

，请补全下表中的x，y相对应的值

x

…

-4

-2

y

-1

2

8

②根据表格中的数据判断y是x的什么函数

-5

-3

4

15

9

3

-6

-12

③根据表格中的数据判断y是x的什么函数

1

-8

让学生经历函数的三种表示方法中表格法与关系式法的转化过程，理解函数的不同表示形式，深刻体会反比例函数与正比例函数的区别，在解决问题中揭示规律，形成水平.]

以上三组由浅入深、循序渐进的练习题目，表现出本节课的知识重点，检验了对重点知识的掌握情况以及对难点的理解水准.通过对相关问题的解答，使学生对本节课的知识的条理更清晰，理解更加透彻.因为是大家努力共同完成三组练习题目，使学生体会到团结协作的力量和努力后的成就感和自豪感.

[师]宣布各小组成绩和比赛结果.[适时实行德育教育，祝贺获胜组，鼓励、肯定其他两组，让德育之花在数学课堂绽放]

四、课时小结、总结收获

（1）对于这节课大家还有什么疑问吗？

（2）通过这节课学习，同学们有什么收获？

在独立思考和合作交流中引导学生梳理本节课在知识和数学思想方法方面的收获，形成知识网络，提升对数学思想方法的理性理解.在总结的同时让学生体验收获知识的快乐，培养敢于展示自我，敢说、敢问、自信的学习品质.]

结束语：

本节课我们从实际问题中抽象出反比例函数，要进一步研究反比例函数的性质我们还要借助于图像，这也是下节课我们即将要学习的内容.同学们，数学是自然科学的灵魂，函数又是数学的皇后，是描述现实世界变化规律的重要数学模型，它以简洁而著称，犹如音乐，与物理化学等学科共舞.老师希望同学们能分清每个函数的特征，并灵活使用它们解决你身边的问题.

五、布置作业，深化知识.（书后练习题）

课后反思

1．问题情景调动了学生学习兴趣，深化了学生数学思维

本节课以学生熟悉的到菜市场购买蔬菜的实际问题为背景提出问题，最大限度地调动了学生兴趣，每一个学生从上课伊始就积极投入到学习之中.又因为蔬菜价格、购买的重量和花费的钱三者之间的数量关系是学生已有的生活经验，学生自然、顺畅地理解了问题串，并根据问题串的要求列出一组函数关系式.教师又引导学生对这组函数关系式的观察、比较、分析，辨析出一次函数、正比例函数和即将研究的反比例函数.这样的问题设计符合果尔维茨的最近发展区的理解理论，深化了学生的数学思维.

2．重视概念的深化，数学思想方法的渗透

概念教学的关键是让学生理解概念，并能灵活应用概念解决问题.本节课教师从四个方面对反比例概念实行了剖析，使学生对反比例概念的内涵和外延有了更加清晰的理解，并能从多角度辨析反比例函数.这样教学设计，既夯实了基础概念，又拓宽了学生数学视野.本节课教师在深化概念教学的前提下，通过高质量的教学问题，渗透了归纳、转化、对应、函数模型等数学思想方法，例如：

在合作交流、抽象反比例概念的环节中，教师首先引导分析问题串中得到的一次函数中因变量随着自变量增大而增大，以及得到的几个具体的反比例函数中，因变量随着自变量增大而减小的变化关系，进一步渗透对应数学思想方法，其次教师引导学生进一步分析几个具体的反比例函数的共同特征，从而抽象出反比例函数概念，渗透了由特殊到一般归纳的数学思想方法.

3．小组合作与小组竞争有机的结合

本节课在巩固练习环节教者设计了小组之间的智慧大比拼，让学生在“赛中学”、“学中赛”，既巩固了所学的新知，提升了学习效率，又调动学习的积极性和主动性.引入小组竞赛的学习形式，把学生个体之间的竞争转化为集体之间的智慧对抗，既培养了学生互相协助、团结协作的集体主义观点，又形成了合作竞争的意识.这样的学习活动避免了学生形成狭隘、自私的学习心理，养成了良好的团队意识.

本节课的实际教学效果

本节课最大限度调动学生积极性，从教师演示菜市场热闹场面开始，学生就全身心投入到课堂学习中来，每一个学生在积极思考教学问题，争先恐后的举手回答问题.从课堂伊始到最后巩固练习环节的小组大比拼，学生们都处在学习的亢奋状态，通过三组有梯度的抢答题、必答题、选答题的作答情况检验，95%以上的学生理解了反比例函数的概念，并能应用概念解决具体的问题.

本节课的设计特色：

第一，概念教学扎实

本节课首先从学生已有生活经验出发，列出具体的反比例函数表达式，再到对具体的反比例函数表达式特征的分析，抽象归纳出反比例函数概念，最后对反比例函数概念的剖析，逐步深化了概念，使学生深刻地理解和理解反比例函数概念，夯实了基础知识，在后续的学习中不会对概念产生模糊的记忆.

第二，突出数学思想方法

数学思想方法是数学的灵魂，数学思想方法是数学教学的本质.本节课的教学设计，无论是在问题情景的创设中，还是在反比例函数概念的抽象过程中，以及在概念应用过程中，都突出了数学思想方法教学，使学生进一步领悟了模型、对应、转化、函数等数学思想.

第三，小组合作学习，在赛中学，学中赛

本节课教学改变以往课堂巩固练习中，学生个体解答的方式，采用小组大比拼的竞赛方式，集小组同学的集体智慧，不但培养了学生互帮互助的团队精神，又体现了合作竞争的力量.因为学生们怕给自己的小组抹黑，全力投入到学习当中，这样的活动形式最大限度地调动学生学习的主动性，培养了学生集体荣誉感.http：

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