成考高数1数学公式.docx
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成考高数1数学公式
成考高数1_数学公式
导数公式
(C)0
(x)1,(kx)kxaxa
xxa1(a)alna
(e)exx
(logax)
(lnx)1
x1xlna
(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)secx(cotx)cscx(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx(arcsinx)(arccosx)(arctanx)1
1x2221x211x2
(arccotx)1
1x2
拉格郎日中
f()值定理ba),或f(b)f(a)f()(ba),abf(b)f(a)1
不定积定
0dx
dx
x
1aCxC,kdxkxCdxxa1a1Cxdx
e
axxlnxCxdxeCdxax
lnaC
cosxdx
sin
2sinxCxdxcosxCsecxdx
2cos12x
2dxtanxCdxcotxCcscxxdx
sec
1sin1xxtanxdxsecxCxdxcscxCcscxcot1x
11x22dxarctanxCarccotxCdxarcsinxCarccosxC
极限:
lim
x0
推导公式有sinxx1,1xlim
(1)exx:
limtanxx,
x0
1
xlim(1x)xe,lime1x
x0x0
偏导数
求N元函数的偏导数,对那个变量求偏导数,就将f中其他自变量作为常量,把f作为以该自变量为自变量的一元函数求导.
全导导:
dz(x0,y0)fx(x0,y0)dxfy(x0,y0)dy
2
求隐函数求导
F
dyx
Fdx
y
x
a22例:
设yb22zc22
2
21,求yb
222zxzc221,故Fx2xF2z,22azc解:
令F(x,y,z)F
于是zxa2xxc2
2F2zxza
2zc
二元函数zf(x,y)求极值步骤
fx(x,y)01。
由求出zf(x,y)的所有稳定点fy(x,y)0
,fxy,fyy(分别对应的是2。
求出fxxA,B,C),
;
2)2fxxfyy在每个稳定点符号并计算BAC(fxy23。
对BAC0的稳定点P,若A0,P为极小值,若A0,P为极大值
4。
当BAC0,不能确定该稳定点是否
5。
当BAC0,该点非极值点
二重积分22是极值
Dxf(x,y)dsbay2(x)f(x,y)dydxy1(x)ba
ydxy2(x)y1(x)y2(x)
y1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxdyDx
Dydx2(y)f(x,y)dsf(x,y)dxdycx1(y)
22cdyf(x,y)dxf(x,y)dxdyDy1。
在f(x,y)中含有xy时,二重积分常转为极坐标
2。
f(x,y)ds中面积微元
D计算rdrdds,在直角坐标为dxdy;在极坐标为
3.设D(r,)02,0rr()
Df(x,y)dsDf(rcos,rsin)rdrd20dr()0f(rcos,rsin)rdr
3
正项项级
若正项项级
u
n1
n
,满足条件
lim
un1un
n
,则
1。
当01时,un收敛;
n1
2。
当1时,un发散,当时,un也发散;
n1
n1
3。
当1时,无法判断
u
n1
n
敛散性
幂级数
对于幂级数
n0
anx,若lim
n
n
an或lim
n
an1an
n
则
1
1。
当0时,幂级数
n0n
anx的收敛半径是x的收敛半径是
n
R
;
2。
当时,幂级数
a
n0
n
R0;R;
3。
当0时,幂级数
a
n0
x的收敛半径是
n
麦克劳林级数
f(x)f(0)f(0)x常用初等函数展开为11-x
x
2
f(0)2!
x
2
f
(n)
(0)
n!
x
n
麦克劳林级数
n
1xxx,(x1)
xx
32
e1xsinxx
2!
3!
x
2
x
5
x
n
n!
,(x)
n1
5!
x
4
(1)
x
2n1
(2n1)!
n1
,(x)
cosx1
n
2!
4!
(1)
2
x
2n
(2n)!
,(x)
x,(x1)
n
(1x)1ax11x
2
a(a1)2!
x
n
n
a(a1)(an1)
n!
1xx
(1)x,(x1)
xx
2
ln(1x)xarctanxx
2
3
xx
3
3
5
(1)
n
n1
x
n1
,(x1)
2n1
35
(1)
n1
x
(2n1)
,(x1)
一阶微分方程对形如对方程
dydxdydx
p(x)q(y),即
dyq(y)
p(x)dx,两边求积分即可的通解
:
P(x)yQ(x)
(1)求通解过程如下
dydx
P(x)y0的通解
1。
先求对应方程
P(x)dx
yCe
(2)
2。
将
(2)中的C换成x的未知函数
P(x)dxyu(x)e(3)
u(x),做变换为
3。
在对(3)求微分得
dydx
P(x)dxP(x)dx
ue-uP(x)e(4)
4。
将(3),(4)代入
(1)可得uQ(x)e
P(x)dx
dxC(5)
5。
把(5)代入(3)可得方程
(1)的通解为:
P(x)dxP(x)dxP(x)dxP(x)dxyCeeQ(x)edxe(C
Q(x)e
P(x)dx
dx)
二阶常系数微分方程的
求解
ypyqy0
(1)1。
(1)对应的特征方程为
:
rprq0
(2)2.解得特征方程3.
(1)的通解为:
(1).yC1e1C2e
(2).y(C1C2x)e
ax
rx
r2xr1x
(2)的根为r1,2
pp4q2
,且r1r2;;
,
2
,r1,r2为两不相等的实根,r1,r2为两相等的实根
(3).ye(C1cosxC2sinx),r1,r2为一对共轭复根其中r1,2ai;a
p2,
4qp2
2
;
二阶阶常系数非齐次方求解
ypyqyf(x),
(1)f(x)Px
m(x)e
,Pm(x)是一个m次的多项式,即
m
P
a
m
m(x)m
x
则通解为:
y(x)y
(x),
(2)其中为
(1)对应齐次方程的通解,y
(x)为特解
y
(x)xk
Qx
m(x)e
,(4)设Qm是与Pm同幂次的方程1.设(x)对应的特征方程为:
r2
prq0,(3)
当λ不为(3)的根时,k0;当λ为(3)的单根时,k1;当λ为(3)的重根时,k2;
2.将特解(4)的一次,二次导数代入
(1),比较f(x)的同幂系数计算相应的幂系数求
Qm,在代入(4)可得特解.
三角函数公式sin
2
acos2a1,sec2atan2
a1
sin(ab)sinacosbcosasinbcos(ab)cosacosbsinasinbsinasinb2sinabb2cosa2sinasinb2cosabab
2sin
2cosacosb2cosab
2cosab2cosacosb2sinab
2sin
ab2
sin2a2sinacosacos2acos2
asin
2
a
对数logaxylogaxlogay
xlogay
logax
logay
loga
x
a
aloga
x
mam
an
amn
,
aa
n
a
mn
(am
)n
a
mn
,(ab)m
amb
m
,
平面的点法式方程
设n{A,B,C},M(x0,y0,z0)平面a,N(x,y,z)为平面a上任一点,
则由nMN0知:
A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)0,此方程为平面
a的点法式方程
.
x,y,z点M到平面A的距离公式为xByCzD00000
AxByCz000
ABC
2
2
2
d
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