小学奥数系列第十三讲 三角形的等积变形Word文档下载推荐.docx
- 文档编号:18664513
- 上传时间:2022-12-31
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:276KB
小学奥数系列第十三讲 三角形的等积变形Word文档下载推荐.docx
《小学奥数系列第十三讲 三角形的等积变形Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小学奥数系列第十三讲 三角形的等积变形Word文档下载推荐.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍.
例如在右图中,△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC),它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上,(也就是它们的高相等),那么这两个三角形的面积相等.
例如右图中,△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC),△ABC的高是△DBC高的2倍(D是AB中点,AB=2BD,有AH=2DE),则△ABC的面积是△DBC面积的2倍.
上述结论,是我们研究三角形等积变形的重要依据.
例1用四种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.
方法2:
如右图,先将BC二等分,分点D、连结AD,得到两个等积三角形,即△ABD与△ADC等积.然后取AC、AB中点E、F,并连结DE、DF.以而得到四个等积三角形,即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积.
例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形,使它们的面积比为及1∶3∶4.
方法1:
如下左图,将BC边八等分,取1∶3∶4的分点D、E,连结AD、AE,从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4.
DE,从而得到三个三角形:
△ADE、△BDE、△ACD.其面积比为1∶3∶4.
当然本题还有许多种其他分法,同学们可以自己寻找解决.
例3如右图,在梯形ABCD中,AC与BD是对角线,其交点O,求证:
△AOB与△COD面积相等.
证明:
∵△ABC与△DBC等底等高,
∴S△ABC=S△DBC
又∵S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD.
例4如右图,把四边形ABCD改成一个等积的三角形.
分析本题有两点要求,一是把四边形改成一个三角形,二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法,如右图,
把顶点A移到CB的延长线上的A′处,△A′BD与△ABD面积相等,从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC.问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则.过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点.
解:
①连结BD;
②过A作BD的平行线,与CB的延长线交于A′.
③连结A′D,则△A′CD与四边形ABCD等积.
例5如右图,已知在△ABC中,BE=3AE,CD=2AD.若△ADE的面积为1平方厘米.求三角形ABC的面积.
解法1:
连结BD,在△ABD中
∵BE=3AE,
∴S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米).
在△ABC中,∵CD=2AD,
∴S△ABC=3S△ABD=3×
4=12(平方厘米).
解法2:
连结CE,如右图所示,在△ACE中,
∵CD=2AD,
∴S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米).
在△ABC中,∵BE=3AE
∴S△ABC=4S△ACE
=4×
3=12(平方厘米).
例6如下页图,在△ABC中,BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC=
连结BG,在△ABG中,
∴S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7如右图,ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面积.
连结AF、CE,∴S△ADE=S△ACE;
S△CDF=S△ACF;
又∵AC与EF平行,∴S△ACE=S△ACF;
∴S△ADE=S△CDF=4(平方厘米).
例8如右图,四边形ABCD面积为1,且AB=AE,BC=BF,DC=CG,AD=DH.求四边形EFGH的面积.
连结BD,将四边形ABCD分成两个部分S1与S2.连结FD,有S△FBD=S△DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1.
同理S△AEH=2S2,
因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×
1=2.
同理,连结AC之后,可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位).
例9如右图,在平行四边形ABCD中,直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若S△ADE=1,求△BEF的面积.
连结AC,∵AB//CD,∴S△ADE=S△ACE
又∵AD//BC,∴S△ACF=S△ABF
而S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1.
习题十三
一、选择题(有且只有一个正确答案):
1.如下左图,在△ABC中,D是BC中点,E是AD中点,连结BE、CE,那么与△ABE等积的三角形一共有______个.
(A)0个(B)1个
(C)2个(D)3个
2.如上右图,在平行四边形ABCD中,EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个.
(A)0个(B)1个
3.如下左图,在梯形ABCD中,共有八个三角形,其中面积相等的三角形共有______对.
(A)0对(B)1对
(C)2对(D)3对
4.如上右图,是一个长方形花坛,阴影部分是草地,空地是四块同样的菱形,那么草地与空地面积之比是______.
(A)1∶1(B)1∶1.1
(C)1∶1.2(D)1∶1.4
5.如右图,长方形AEGK四周上共有12个点,相邻两点的距离都是1厘米,以这些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有______个.
(A)24个(B)25个
(C)26个(D)27个
二、填空题:
1.如下左图,A、B两点是长方形长和宽的中点,那么阴影部分面积占长方形面积的______.
2.如上右图,平行四边形ABCD的面积是40平方厘米,图中阴影部分的面积是______.
3.如下左图,正方形ABCD的面积为1平方厘米,S△BEG∶S△CEG=2∶1,S△CFG∶S△DFG=1∶1,那么这四个小三角形面积之和______.
4.如上右图,在△ABC中,EF平行BC,AB=3AE,那么三角形甲、乙、丙面积的连比是______.
三、解答题:
1.如下左图,D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点,已知S△ABC=27平方厘米,求S△DEF.
3.如下左图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AC、BC的三等分点,且SABCD=54平方厘米,求S△BEF.
4.如上页右图,将四边形ABCD各边都延长一倍至A'
、B'
、C'
、D'
.连接这些点得到一个新的四边形A'
B'
C'
D'
.如果四边形ABCD的面积是1,求四边形A'
B'
C'
D'
的面积.
5.如右图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于E,且AF=CE,BG=DE,如果四边形ABCD的面积是1,求△EFG的面积?
习题十三解答
一、选择题:
1.(D)2.(D)3.(D)4.(A)5.(C).
提示:
以KH为边,再在对边的五个点A、B、C、D、E中任取一点为顶点,可分别构成5个面积为3平方厘米的三角形.同理,以JG、AD、BE为边也各自可以构成5个面积为3平方厘米的三角形.又因为△AFI、△BFJ、△CFK、△ELI、△DLH和△CLG也是面积为3平方厘米的三角形.所以面积为3平方厘米的三角形一共有26个.
如右图连结BD,
设Ⅰ=S△BEG,Ⅱ=S△CEG,Ⅲ=S△CFG,Ⅳ=S△DFG,
设S1=Ⅰ+Ⅱ,S2=Ⅲ+Ⅳ,S3=S△BDG.
∵Ⅲ=Ⅳ∴F为CD中点,有:
S△BCF=S△BDF,
又∵Ⅲ=Ⅳ,∴S△BGD=S△BCG,
即S3=S1,由已知Ⅰ为Ⅱ的2倍,∴BE=2EC,
S△BDE=2S△CDE,两边分别减去Ⅰ和2Ⅱ,
可得:
S△BDG=2S△CDG,即S3=2S2,因此:
4.甲∶乙∶丙=1∶2∶6,
∵EF∥BC,AB=2AE
∴AC=3AF,BC=3EF,∵甲∶乙=1∶2,
又∵(甲+乙)∶丙=1∶2
∴甲∶乙∶丙=1∶2∶6.
4.如右图所示,连结AB'
、AC,
∴S△AA'
=S△ABB'
即S△A'
BB'
=2S△ABC
同理S△D'
DC'
=2S△ADC
∴S△A'
+S△C'
DD'
=2△C'
=2S四边形ABCD
同理S△AA'
+S△B'
CC'
∴四边形A'
的面积=5×
S四边形ABCD=5.
5.解:
连结AG、CG,如右图所示,
∵AF=EC,有S△AGF=S△CGE,
又∵ED=BG,有S△AED=S△ABG
且S△CDE=S△BCG,由此可见:
△EFG的三个部分中S△ABG补到了S△EAD,S△AFG补到了S△CEG之后,又将其中的S△BCG补到了S△CDE而S△AEG的位置不变,由此一来相当于将△EFG等积变形到了四边形ABCD,两者面积相同,即:
S△EFG=1.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 小学奥数系列第十三讲 三角形的等积变形 小学 系列 第十 三讲 三角形 变形